Тауберова теорема Харди – Литтлвуда

В математическом анализе тауберова теорема Харди -Литтлвуда — это тауберова теорема, связывающая асимптотику частичных сумм ряда с асимптотикой его суммирования Абеля . В этой форме теорема утверждает, что если последовательность $a_{n}\geq 0$ таков, что существует асимптотическая эквивалентность

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}}\ {\text{as}}\ y\downarrow 0$

то существует также асимптотическая эквивалентность

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n$

как $n\to \infty$. Интегральная преобразования формулировка теоремы аналогичным образом связывает асимптотику кумулятивной функции распределения функции с асимптотикой ее Лапласа .

Теорема была доказана в 1914 г. Г.Х. Харди и Дж.Э. Литтлвудом . В 1930 году Йован Карамата дал новое, гораздо более простое доказательство.

Формулировка теоремы

Формулировка серии

Эта формулировка от Титчмарша. Предполагать $a_{n}\geq 0$ для всех $n\in \mathbb {N}$, и у нас есть

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\sim {\frac {1}{1-x}}\ {\text{as}}\ x\uparrow 1.$

Тогда как $n\to \infty$ у нас есть

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n.$

Теорему иногда цитируют в эквивалентной форме, где вместо требования $a_{n}\geq 0$, нам требуется $a_{n}=O(1)$или нам нужно $a_{n}\geq -K$ для некоторой константы $K$. Иногда теорему цитируют в другой эквивалентной формулировке (через замену переменной $x=1/e^{y}$). Если,

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}}\ {\text{as}}\ y\downarrow 0$

затем

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n.$

Интегральная формулировка

Следующая более общая формулировка принадлежит Феллеру. Рассмотрим действительную функцию $F:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ ограниченной вариации . Лапласа –Стилтьеса Преобразование $F$ определяется интегралом Стилтьеса

$\omega (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dF(t).$

Теорема связывает асимптотики ω с асимптотиками $F$ следующим образом. Если $\rho$ является неотрицательным действительным числом, то следующие утверждения эквивалентны

• $\omega (s)\sim Cs^{-\rho },\quad {\rm {{as\ }s\to 0}}$
• $F(t)\sim {\frac {C}{\Gamma (\rho +1)}}t^{\rho },\ {\text{as}}\ t\to \infty .$

Здесь $\Gamma$ обозначает гамма-функцию . Теорему для рядов как частного случая можно получить, взяв $\rho =1$ и $F(t)$ быть кусочно-постоянной функцией со значением $\textstyle {\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$ между $t=n$ и $t=n+1$.

Возможно небольшое улучшение. По определению медленно меняющейся функции $L(x)$ медленно меняется на бесконечности тогда и только тогда, когда

${\frac {L(tx)}{L(x)}}\to 1,\quad x\to \infty$

для каждого $t>0$. Позволять $L$ быть функцией, медленно меняющейся на бесконечности и $\rho \geq 0$. Тогда следующие утверждения эквивалентны

• $\omega (s)\sim s^{-\rho }L(s^{-1}),\quad {\text{as}}\ s\to 0$
• $F(t)\sim {\frac {1}{\Gamma (\rho +1)}}t^{\rho }L(t),\quad {\text{as}}\ t\to \infty .$

Доказательство Караматы

Карамата (1930) нашел краткое доказательство теоремы, рассматривая функции $g$ такой, что

$\lim _{x\to 1}(1-x)\sum a_{n}x^{n}g(x^{n})=\int _{0}^{1}g(t)dt$

Простой расчет показывает, что все мономы $g(x)=x^{k}$ обладают этим свойством, а значит, и все многочлены $g$. Это можно расширить до функции $g$ с простыми (ступенчатыми) разрывами , аппроксимируя его полиномами сверху и снизу (используя аппроксимационную теорему Вейерштрасса и немного дополнительных подтасовок) и используя тот факт, что коэффициенты $a_{n}$ являются положительными. В частности, функция, заданная $g(t)=1/t$ если $1/e<t<1$ и $0$ в противном случае имеет это свойство. Но тогда для $x=e^{-1/N}$ сумма $\sum a_{n}x^{n}g(x^{n})$ является $a_{0}+\cdots +a_{N}$ и интеграл $g$ является $1$, откуда непосредственно следует теорема Харди–Литтлвуда.

Примеры

Неположительные коэффициенты

Теорема может оказаться неверной без условия неотрицательности коэффициентов. Например, функция

${\frac {1}{(1+x)^{2}(1-x)}}=1-x+2x^{2}-2x^{3}+3x^{4}-3x^{5}+\cdots$

асимптотически $1/4(1-x)$ как $x\to 1$, но частичные суммы его коэффициентов равны 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, ... и не асимптотичны ни для одной линейной функции.

Расширение Литтлвудом теоремы Таубера

Основная статья: Тауберова теорема Литтлвуда

В 1911 году Литтлвуд доказал расширение Таубера обращения к теореме Абеля . Литтлвуд показал следующее: если $a_{n}=O(1/n)$, и у нас есть

$\sum a_{n}x^{n}\to s\ {\text{as}}\ x\uparrow 1$

затем

$\sum a_{n}=s.$

Исторически это появилось до тауберовой теоремы Харди – Литтлвуда, но может быть доказано простым ее применением.

Теорема о простых числах

В 1915 году Харди и Литтлвуд разработали доказательство теоремы о простых числах, основанное на их тауберовой теореме; они доказали

$\sum _{n=2}^{\infty }\Lambda (n)e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}},$

где $\Lambda$ — функция фон Мангольдта , а затем заключаем

$\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\sim x,$

эквивалентная форма теоремы о простых числах. В 1971 году Литтлвуд разработал более простое доказательство, все еще основанное на этой тауберовой теореме.

Примечания

• Карамата, Дж. (декабрь 1930 г.). «Об обращениях Харди-Литтлвуда теоремы о непрерывности Абэ». Математический журнал (на немецком языке). 32 (1): 319–320. дои : 10.1007/BF01194636 .

Внешние ссылки

• «Тауберовы теоремы» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Тауберова теорема Харди-Литтлвуда» . Математический мир .