Преобразование Лапласа – Стилтьеса

Преобразование Лапласа -Стилтьеса , названное в честь Пьера-Симона Лапласа и Томаса Джоаннеса Стилтьеса , представляет собой интегральное преобразование, подобное преобразованию Лапласа . Для вещественнозначных функций это преобразование Лапласа меры Стилтьеса , однако его часто определяют для функций со значениями в банаховом пространстве . Он полезен в ряде областей математики , включая функциональный анализ , а также в некоторых областях теоретической и прикладной теории вероятностей .

Вещественные функции

Преобразование Лапласа–Стилтьеса вещественной функции g задается интегралом Лебега–Стилтьеса вида

\int e^{-sx}\,dg(x)

для s комплексное число . Как и в случае с обычным преобразованием Лапласа, получается несколько другое преобразование в зависимости от области интегрирования, и для определения интеграла также необходимо потребовать, чтобы g имело ограниченное изменение в области интегрирования. Наиболее распространенными являются:

Двустороннее (или двустороннее) преобразование Лапласа – Стилтьеса имеет вид $\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-sx}\,dg(x).$
Одностороннее (одностороннее) преобразование Лапласа – Стилтьеса имеет вид $\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }e^{-sx}\,dg(x).$ Предел необходим для того, чтобы преобразование уловило возможный скачок $g (x)$ при $x = 0$ , что необходимо для понимания смысла преобразования Лапласа дельта-функции Дирака .
Более общие преобразования можно рассмотреть путем интегрирования по контуру в комплексной плоскости ; см. Жаврид 2001 .

Таким образом, преобразование Лапласа-Стилтьеса в случае скалярной функции рассматривается как частный случай преобразования Лапласа меры Стилтьеса . А именно,

{\mathcal {L}}^{*}g={\mathcal {L}}(dg).

В частности, оно имеет много общих свойств с обычным преобразованием Лапласа. Например, справедлива теорема о свертке :

\{{\mathcal {L}}^{*}(g*h)\}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)\{{\mathcal {L}}^{*}h\}(s).

только действительные значения переменной s Часто рассматриваются , хотя если интеграл существует как собственный интеграл Лебега для данного действительного значения $s = σ$ , то он существует и для всех комплексных $s$ с $re(s) \geq σ$ .

Преобразование Лапласа – Стилтьеса естественным образом появляется в следующем контексте. Если X — случайная величина с кумулятивной функцией распределения F , то преобразование Лапласа – Стилтьеса определяется ожиданием :

\{{\mathcal {L}}^{*}F\}(s)=\mathrm {E} \left[e^{-sX}\right].

Таким образом, преобразование Лапласа-Стилтьеса кумулятивной функции распределения реальной случайной величины равно функции , генерирующей момент случайной величины , но с обратным знаком аргумента.

Векторные меры

В то время как преобразование Лапласа-Стилтьеса действительной функции является частным случаем преобразования Лапласа меры, примененной к связанной мере Стилтьеса, обычное преобразование Лапласа не может обрабатывать векторные меры : меры со значениями в банаховом пространстве . Однако они важны в связи с изучением полугрупп , возникающих в уравнениях в частных производных , гармоническом анализе и теории вероятностей . Наиболее важными полугруппами являются соответственно полугруппа тепла , полугруппа Римана-Лиувилля , броуновское движение и другие бесконечно делимые процессы .

Пусть g — функция из [0,∞) в банахово пространство X сильно ограниченной вариации на каждом конечном интервале. Это означает, что для каждого фиксированного подинтервала [0, T ] имеется

\sup \sum _{i}\left\|g(t_{i})-g(t_{i+1})\right\|_{X}<\infty

где верхняя грань берется по всем разбиениям [0, T ]

0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T.

Интеграл Стилтьеса по векторной мере dg

\int _{0}^{T}e^{-st}dg(t)

определяется как интеграл Римана–Стилтьеса . Действительно, если π — размеченное разбиение интервала [0, T ] с подразделением 0 = t ₀ ⩽ t ₁ ⩽ ... ⩽ t _n = T , отмеченные точки $\tau _{i}\in [t_{i},t_{i+1}]$ и размер сетки $|\pi |=\max \left|t_{i}-t_{i+1}\right|,$ интеграл Римана – Стилтьеса определяется как значение предела

\lim _{|\pi |\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}e^{-s\tau _{i}}\left[g(t_{i+1})-g(t_{i})\right]

взятый в топологии на X . Гипотеза сильной ограниченной вариации гарантирует сходимость.

Если в топологии X предел

\lim _{T\to \infty }\int _{0}^{T}e^{-st}dg(t)

существует, то значение этого предела является преобразованием Лапласа–Стилтьеса функции g .

Связанные преобразования

Преобразование Лапласа-Стилтьеса тесно связано с другими интегральными преобразованиями , включая преобразование Фурье и преобразование Лапласа . В частности, обратите внимание на следующее:

Если g имеет производную g', то преобразование Лапласа-Стилтьеса g является преобразованием Лапласа g' . $\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\{{\mathcal {L}}g'\}(s),$
Мы можем получить преобразование Фурье-Стилтьеса для g (и, согласно примечанию выше, преобразование Фурье для g' ) с помощью $\{{\mathcal {F}}^{*}g\}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(is),\qquad s\in \mathbb {R} .$

Распределения вероятностей

Если X — непрерывная случайная величина с функцией распределения F ( t ), то моменты X кумулятивной можно вычислить с помощью ^{[ 1 ]}

\operatorname {E} [X^{n}]=(-1)^{n}\left.{\frac {d^{n}\{{\mathcal {L}}^{*}F\}(s)}{ds^{n}}}\right|_{s=0}.

Экспоненциальное распределение

Для экспоненциально распределенной случайной величины Y с параметром скорости λ LST равен:

{\widetilde {Y}}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}F_{Y}\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\lambda e^{-\lambda t}dt={\frac {\lambda }{\lambda +s}}

из которого первые три момента можно вычислить как 1/ λ , 2/ λ ² и 6/ л ³.

Распределение Эрланга

Для Z с распределением Эрланга (которое представляет собой сумму n экспоненциальных распределений) мы используем тот факт, что распределение вероятностей суммы независимых случайных величин равно свертке их распределений вероятностей . Итак, если

Z=Y_{1}+\cdots +Y_{n}

с независимым Y _, тогда

{\widetilde {Z}}(s)={\widetilde {Y}}_{1}(s)\cdots {\widetilde {Y}}_{n}(s)

поэтому в случае, когда Z имеет распределение Эрланга,

{\widetilde {Z}}(s)=\left({\frac {\lambda }{\lambda +s}}\right)^{n}.

Равномерное распределение

Для U с равномерным распределением на интервале ( a , b ) преобразование определяется выражением

{\widetilde {U}}(s)=\int _{a}^{b}e^{-st}{\frac {1}{b-a}}dt={\frac {e^{-sa}-e^{-sb}}{s(b-a)}}.

Ссылки

^ Хархол-Балтер, М. (2012). «Анализ трансформаций». Моделирование производительности и проектирование компьютерных систем . стр. 433–449. дои : 10.1017/CBO9781139226424.032 . ISBN 9781139226424 .

Апостол, Т.М. (1957), Математический анализ (1-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли ; 2-е изд (1974) ISBN 0-201-00288-4 .
Апостол, ТМ (1997), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97127-0 .
Гримметт, Греция; Стирзакер, Д.Р. (2001), Вероятность и случайные процессы (3-е изд.), Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 0-19-857222-0 .
Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR 0423094 .
Жаврид, Н.С. (2001) [1994], «Преобразование Лапласа» , Энциклопедия математики , EMS Press .

[1] Хархол-Балтер, М. (2012). «Анализ трансформаций». Моделирование производительности и проектирование компьютерных систем . стр. 433–449. дои : 10.1017/CBO9781139226424.032 . ISBN 9781139226424 .

[ 1 ]