Интеграл Римана – Лиувилля

В математике интеграл Римана – Лиувилля ассоциируется с действительной функцией. $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ еще одна функция $я а f$ одного и того же вида для каждого значения параметра $α > 0$ . Интеграл — это способ обобщения повторяющейся первообразной f $том смысле$ , что для положительных целых значений $α$ I $в а f$ — повторная первообразная $f$ порядка $α$ . Интеграл Римана-Лиувилля назван в честь Бернхарда Римана и Джозефа Лиувилля , последний из которых первым рассмотрел возможность дробного исчисления в 1832 году. ^[1]^[2]^[3]^[4] Оператор согласуется с преобразованием Эйлера в честь Леонарда Эйлера при применении к аналитическим функциям . ^[5] Он был обобщен на произвольные размерности Марселем Риссом , который ввел потенциал Рисса .

Мотивация

Интеграл Римана-Лиувилля определяется формулой Коши для повторного интегрирования. Для функции $f,$ непрерывной на интервале [ $a$ , $x$ ], формула повторного интегрирования Коши утверждает, что

$f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.$

Теперь эту формулу можно обобщить на любое положительное действительное число, заменив положительное целое число $n$ на $α$ . Таким образом, мы получаем определение дробного интеграла Римана-Лиувилля по формуле

I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt

Определение

Интеграл Римана – Лиувилля определяется формулой

I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt

где $Γ$ — гамма-функция , $а$ — произвольная, но фиксированная базовая точка. Интеграл корректно определен при условии, что $f$ — локально интегрируемая функция , а $α$ — комплексное число в полуплоскости $Re(α) > 0$ . Зависимость от базовой точки $a$ часто подавляется и представляет собой свободу в константе интегрирования . Очевидно, $я 1 f$ является первообразной $f$ (первого порядка), и для положительных целых значений $α$ , $I а f$ — первообразная порядка $α$ по формуле Коши повторного интегрирования . Другое обозначение, подчеркивающее базовую точку: ^[6]

{}_{a}D_{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt.

Это также имеет смысл, если $a = -\infty$ , с соответствующими ограничениями на $f$ .

Фундаментальные отношения сохраняются

{\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,

последнее из которых является полугрупповым свойством. ^[1] Эти свойства делают возможным не только определение дробного интегрирования, но и дробного дифференцирования, взяв достаточное количество производных от $I. а ф$ .

Характеристики

Зафиксируйте ограниченный интервал $(a, b)$ . Оператор $я а$ каждой интегрируемой функции $f$ на $(a, b)$ ставится в соответствие функция $I а f$ на $(a, b),$ который также интегрируем по теореме Фубини . Таким образом, $я а$ определяет линейный оператор на $L 1 (а, б)$ :

I^{\alpha }:L^{1}(a,b)\to L^{1}(a,b).

Теорема Фубини также показывает, что этот оператор непрерывен относительно структуры банахового пространства на $L$ ¹, и что имеет место следующее неравенство:

\left\|I^{\alpha }f\right\|_{1}\leq {\frac {|b-a|^{\Re (\alpha )}}{\Re (\alpha )|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.

Здесь $‖ \cdot ‖ 1$ обозначает норму на $L 1 (а, б)$ .

В более общем смысле, из неравенства Гёльдера следует, что если $f \in L п (а, б)$ , то $я а ж € L п (a, b)$ и аналогичное неравенство имеет место

\left\|I^{\alpha }f\right\|_{p}\leq {\frac {|b-a|^{\Re (\alpha )/p}}{\Re (\alpha )|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p}

где $‖ \cdot ‖ p$ — $L$ ^$п$ норма на интервале $(a, b)$ . Таким образом, мы имеем ограниченный линейный оператор $I а : Л п (а, б) \to L п (а, б)$ . Кроме того, $я а f \to f$ в $L п$ смысле: $α \to 0$ вдоль вещественной оси. То есть

\lim _{\alpha \to 0^{+}}\|I^{\alpha }f-f\|_{p}=0

для всех $p \geq 1$ . Более того, оценивая максимальную функцию , $I$ можно показать, что предел $I а f \to f$ выполняется поточечно почти всюду .

Оператор $я а$ корректно определена на множестве локально интегрируемой функции на всей вещественной прямой $\mathbb {R}$ . Он определяет ограниченное преобразование в любом банаховом пространстве функций экспоненциального типа. $X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}dt),$ состоящая из локально интегрируемых функций, для которых норма

\|f\|=\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt

конечно. Для $f \in X σ$ Лапласа преобразование $I а f$ принимает особенно простую форму

({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s)

для $Re(s) > σ$ . Здесь $F (s)$ обозначает преобразование Лапласа $f$ , и это свойство выражает то, что $I а$ является множителем Фурье .

Дробные производные

Можно $определить производные дробного порядка от f$ также по формуле

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f\,{\overset {\text{def}}{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f

где $⌈ \cdot ⌉$ обозначает функцию потолка . Можно также получить дифференциально-интегральную интерполяцию между дифференцированием и интегрированием, определив

D_{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)&\alpha >0\\f(x)&\alpha =0\\I^{-\alpha }f(x)&\alpha <0.\end{cases}}

Альтернативная дробная производная была введена Капуто в 1967 году: ^[7] и производит производную, которая имеет разные свойства: он производит нуль из постоянных функций и, что более важно, члены начального значения преобразования Лапласа выражаются посредством значений этой функции и ее производной целого порядка, а не производных дробный порядок, как в производной Римана – Лиувилля. ^[8] Дробная производная Капуто с базовой точкой $x$ равна:

D_{x}^{\alpha }f(y)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}\int _{x}^{y}f'(y-u)(u-x)^{-\alpha }du.

Другое представление:

{}_{a}{\tilde {D}}_{x}^{\alpha }f(x)=I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }\left({\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }f}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}\right).

Дробная производная базовой степенной функции

Полупроизводная (фиолетовая кривая) функции $f (x) = x$ (синяя кривая) вместе с первой производной (красная кривая).

Предположим, что $f (x)$ — моном вида

f(x)=x^{k}\,.

Первая производная как обычно

f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\,.

Повторение этого дает более общий результат:

{\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\,,

что после замены факториалов на гамма-функцию приводит к

{\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a},\quad \ k>0.

Для $k = 1$ и $a = ⁠ 1 / 2 ⁠$ , получаем полупроизводную функции $x\mapsto x$ как

{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x={\frac {\Gamma (1+1)}{\Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}+1\right)}}x^{1-{\frac {1}{2}}}={\frac {\Gamma (2)}{\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}}x^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}x^{\frac {1}{2}}.

Чтобы продемонстрировать, что это на самом деле «полупроизводная» (где $H 2 f (x) = Df (x)$ ), мы повторяем процесс, чтобы получить:

{\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\dfrac {2x^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\dfrac {\Gamma (1+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}{\Gamma (1)}}x^{0}={\frac {2{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x^{0}}{\sqrt {\pi }}}=1\,,

(потому что ${\textstyle \Gamma \!\left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$ и $Γ(1) = 1$ ), что действительно является ожидаемым результатом

\left({\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\right)\!x={\frac {d}{dx}}x=1\,.

Для отрицательной целой степени $k$ , 1/ ${\textstyle \Gamma }$ равен 0, поэтому удобно использовать следующее соотношение: ^[9]

{\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{-k}=\left(-1\right)^{a}{\dfrac {\Gamma (k+a)}{\Gamma (k)}}x^{-(k+a)}\quad {\text{ for }}k\geq 0.

Это расширение вышеупомянутого дифференциального оператора не обязательно должно ограничиваться только действительными степенями; это также применимо к сложным полномочиям. Например, $(1 + i)$ -я производная от $(1 - i)$ -й производной дает вторую производную. Также установка отрицательных значений для $дает интегралы$ .

Для общей функции $f (x)$ и $0 < α < 1$ полная дробная производная равна

D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{\left(x-t\right)^{\alpha }}}\,dt.

Для произвольного $α$ , поскольку гамма-функция бесконечна для отрицательных (действительных) целых чисел, необходимо применить дробную производную после того, как была выполнена целочисленная производная. Например,

D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}f(x).

Преобразование Лапласа

Мы также можем подойти к этому вопросу через преобразование Лапласа . Зная это

{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)

и

{\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}{\bigr )}(s)={\frac {1}{s^{2}}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)

и так далее, мы утверждаем

J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}(s)\right\}

.

Например,

J^{\alpha }(t^{k})={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}

как и ожидалось. Действительно, учитывая свертки правило

{\mathcal {L}}\{f*g\}={\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{g\}{\bigr )}

и сокращение $p (x) = x а - 1$ для ясности мы находим, что

{\begin{aligned}\left(J^{\alpha }f\right)(t)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\bigl (}{\mathcal {L}}\{p\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}\right\}\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{aligned}}

это то, что Коши дал нам выше.

Преобразования Лапласа «работают» с относительно небольшим количеством функций, но они часто полезны для решения дробных дифференциальных уравнений.

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б Лизоркин 2001 г.
^ Лиувилль, Жозеф (1832), «Мемуары о некоторых вопросах геометрии и механики, а также о новом виде вычислений для решения этих вопросов» , Journal de l'École Polytechnique , 13 , Париж: 1–69 .
^ Лиувилль, Жозеф (1832), «Мемуары о вычислении дифференциалов с произвольными индексами» , Journal de l'École Polytechnique , 13 , Париж: 71–162 .
^ Риман, Георг Фридрих Бернхард (1896) [1847], «Попытка создания общей концепции интегрирования и дифференциации» , в книге Вебера, Х. (редактор), Собрание математических сочинений , Лейпциг. {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) .
^ Брычков и Прудников 2001.
^ Миллер и Росс 1993 , с. 21
^ Капуто 1967
^ Ловерро 2004
^ Болонья, Мауро, Краткое введение в дробное исчисление (PDF) , Universidad de Tarapaca, Арика, Чили, заархивировано из оригинала (PDF) 17 октября 2016 г. , получено 6 апреля 2014 г.

Ссылки

Брычков Ю.А.; Прудников, А.П. (2001) [1994], «Преобразование Эйлера» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
Капуто, Микеле (1967), «Линейная модель диссипации, добротность которой почти не зависит от частоты. II», Geophysical Journal International , 13 (5): 529–539, Бибкод : 1967GeoJ...13..529C , doi : 10.1111/ j.1365-246x.1967.tb02303.x .
Хилле, Эйнар; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR 0423094 .
Лизоркин П.И. (2001) [1994], «Дробное интегрирование и дифференцирование» , Энциклопедия математики , EMS Press .
Ловерро, Адам (08 мая 2004 г.), Дробное исчисление: история, определения и приложения для инженера (PDF) , Нотр-Дам, Индиана: Университет Нотр-Дам, заархивировано из оригинала (PDF) 29 октября 2005 г.
Миллер, Кеннет С.; Росс, Бертрам (1993), Введение в дробное исчисление и дробные дифференциальные уравнения , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9 .
Рис, Марсель (1949), «Интеграл Римана-Лиувилля и проблема Коши», Acta Mathematica , 81 (1): 1–223, doi : 10.1007/BF02395016 , ISSN 0001-5962 , MR 0030102 .

Внешние ссылки

Алан Бердон (2000). «Дробное исчисление II» . Кембриджский университет.
Алан Бердон (2000). «Дробное исчисление III» . Кембриджский университет.

[Lizorkin-1] Перейти обратно: ^а ^б Лизоркин 2001 г.

[2] Лиувилль, Жозеф (1832), «Мемуары о некоторых вопросах геометрии и механики, а также о новом виде вычислений для решения этих вопросов» , Journal de l'École Polytechnique , 13 , Париж: 1–69 .

[3] Лиувилль, Жозеф (1832), «Мемуары о вычислении дифференциалов с произвольными индексами» , Journal de l'École Polytechnique , 13 , Париж: 71–162 .

[4] Риман, Георг Фридрих Бернхард (1896) [1847], «Попытка создания общей концепции интегрирования и дифференциации» , в книге Вебера, Х. (редактор), Собрание математических сочинений , Лейпциг. {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) .

[5] Брычков и Прудников 2001.

[6] Миллер и Росс 1993 , с. 21

[7] Капуто 1967

[8] Ловерро 2004

[9] Болонья, Мауро, Краткое введение в дробное исчисление (PDF) , Universidad de Tarapaca, Арика, Чили, заархивировано из оригинала (PDF) 17 октября 2016 г. , получено 6 апреля 2014 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]