Теорема Римана–Роха для гладких многообразий.

В математике теорема Римана-Роха для гладких многообразий представляет собой версию таких результатов, как теорема Хирцебруха-Римана-Роха или теорема Гротендика-Римана-Роха (ОГР) без гипотезы, заставляющей задействованные гладкие многообразия иметь сложную структуру . Результаты такого рода были получены Михаэлем Атьей и Фридрихом Хирцебрухом в 1959 году, сведя требования к чему-то вроде спиновой структуры .

Формулировка

Пусть X и Y — ориентированные гладкие замкнутые многообразия , и f : X → Y — непрерывное отображение. Пусть v _f = f ^* ( TY ) − TX в K-группе К(Х). Если dim(X) ≡ dim(Y) mod 2, то

$\mathrm {ch} (f_{K*}(x))=f_{H*}(\mathrm {ch} (x)e^{d(v_{f})/2}{\hat {A}}(v_{f})),$

где ch — характер Черна , d(v _f ) — элемент целая группа когомологий H ² ( Y , Z ) удовлетворяющие d ( v _ж ) ≡ ж ^* w ₂ (T Y )- w ₂ (T X ) mod 2, f _K* гомоморфизм Гайзина для K-теории, и f _{H* —} гомоморфизм Гайзина для когомологий . Эта теорема была впервые доказана Атьей и Хирцебрухом.

Теорема доказывается путем рассмотрения нескольких частных случаев. Если Y — пространство Тома векторного расслоения V над X , тогда отображения Гайзина представляют собой не что иное, как изоморфизм Тома. Тогда, используя принцип расщепления , достаточно проверить теорему явным вычислением для линии пучки.

Если f : X → Y — вложение, то Пространство Тома нормального расслоения X в Y можно рассматривать как трубчатую окрестность X в Y , и вырезание дает карту

$u:H^{*}(B(N),S(N))\to H^{*}(Y,Y-B(N))\to H^{*}(Y)$

и

$v:K(B(N),S(N))\to K(Y,Y-B(N))\to K(Y)$.

Отображение Гайзина для K-теории/когомологий определяется как композиция изоморфизма Тома с этими отображениями. Поскольку теорема справедлива для отображения X в пространство Тома N , и поскольку характер Чженя коммутирует с u и v , теорема верна и для вложений. ж : Икс → Y .

Наконец, мы можем факторизовать общее отображение f : X → Y во вложение

$i:X\to Y\times S^{2n}$

и проекция

$p:Y\times S^{2n}\to Y.$

Теорема справедлива для вложения. Отображение Гайзина для проекции представляет собой изоморфизм периодичности Ботта, который коммутирует с характером Черна: поэтому теорема справедлива и в этом общем случае.

Следствия

Затем Атья и Хирцебрух специализировались и уточнили случай X = точка, где условием становится существование спиновой структуры на Y . Следствия касаются классов Понтрягина и J-гомоморфизма .