Вектор Римана – Зильберштейна

В математической физике , в частности в электромагнетизме , вектор Римана–Зильберштейна или вектор Вебера названный в честь Бернхарда Римана , Генриха Мартина Вебера и Людвика Зильберштейна (или иногда неоднозначно называемый «электромагнитным полем»), представляет собой сложный вектор , объединяющий электрическое поле E и поле B. магнитное

История

Генрих Мартин Вебер опубликовал четвертое издание « Уравнений в частных производных математической физики по лекциям Римана» в двух томах (1900 и 1901 гг.). Однако Вебер отметил в предисловии к первому тому (1900 г.), что это четвертое издание было полностью переписано на основе его собственных лекций, а не лекций Римана, и что ссылка на «лекции Римана» осталась в названии только потому, что общая концепция осталась неизменной. то же самое и что он продолжил работу в духе Римана. Во втором томе (1901, §138, стр. 348) Вебер продемонстрировал, как объединить уравнения Максвелла, используя ${\mathfrak {E}}+i\ {\mathfrak {M}}$. Действительная и мнимая компоненты уравнения

$\operatorname {curl} ({\mathfrak {E}}+i\ {\mathfrak {M}})={\frac {i}{c}}\ {\frac {\partial ({\mathfrak {E}}+i\ {\mathfrak {M}})}{\partial t}}$

являются интерпретацией уравнений Максвелла без учета зарядов и токов. Он был независимо переоткрыт и развит Людвиком Зильберштейном в 1907 году.

Определение

Учитывая электрическое поле E и магнитное поле B, определенные в общей области пространства -времени , вектор Римана – Зильберштейна равен $$\mathbf {F} =\mathbf {E} +ic\mathbf {B} ,$$ где c — скорость света , причем некоторые авторы предпочитают умножать правую часть на общую константу. ${\textstyle {\sqrt {\varepsilon _{0}/2}}}$, где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства . Он аналогичен электромагнитному тензору F , 2-вектору, используемому в ковариантной формулировке классического электромагнетизма .

В формулировке Зильберштейна i определялась как мнимая единица , а F определялась как комплексифицированное трехмерное векторное поле , называемое бивекторным полем .

Приложение

Основная статья: уравнения Максвелла

Вектор Римана-Зильберштейна используется в качестве отправной точки в формулировке электромагнетизма в геометрической алгебре . Максвелла Четыре уравнения векторного исчисления сводятся к одному уравнению алгебры физического пространства :

$\left({\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\right)\mathbf {F} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\left(\rho -{\frac {1}{c}}\mathbf {J} \right).$

Выражения для фундаментальных инвариантов , плотности энергии и плотности импульса также принимают простой вид:

$\mathbf {F} ^{2}=\mathbf {E} ^{2}-c^{2}\mathbf {B} ^{2}+2ic\mathbf {E} \cdot \mathbf {B}$

${\frac {\epsilon _{0}}{2}}\mathbf {F} ^{\dagger }\mathbf {F} ={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(\mathbf {E} ^{2}+c^{2}\mathbf {B} ^{2}\right)+{\frac {1}{c}}\mathbf {S} ,$

где S — вектор Пойнтинга .

Вектор Римана–Зильберштейна используется для точного матричного представления уравнений Максвелла в неоднородной среде с источниками .

Волновая функция фотона

В 1996 году вклад В квантовой электродинамике Иво Бялиницкий-Бирула использовал вектор Римана-Зильберштейна в качестве основы для подхода к фотону , отмечая, что это «комплексная вектор-функция пространственных координат r и времени t , которая адекватно описывает квантовое состояние одиночного фотона». фотон". Говоря современным языком, вектор Римана–Зильберштейна делается переход:

С появлением спинорного исчисления, пришедшего на смену кватернионному исчислению, свойства преобразования вектора Римана-Зильберштейна стали еще более прозрачными... в симметричный спинор второго ранга.

Бялиницкий-Бирула признает, что волновая функция фотона является противоречивой концепцией и что она не может обладать всеми свойствами Шредингера волновых функций нерелятивистской волновой механики. Однако защита строится на основе практичности: она полезна для описания квантовых состояний возбуждения свободного поля, электромагнитных полей, действующих на среду, вакуумного возбуждения виртуальных позитрон-электронных пар и представления фотона среди квантовых частиц, обладающих волновые функции.

Уравнение Шредингера для фотона и соотношения неопределенностей Гейзенберга

Умножив два зависящих от времени уравнения Максвелла на $\hbar$ уравнение Шредингера для фотона в вакууме имеет вид

$i\hbar \partial _{t}{\mathbf {F} }=c(\mathbf {S} \cdot {\hbar \over i}\nabla )\mathbf {F} =c(\mathbf {S} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {F}$

где ${\mathbf {S} }$ — вектор, построенный из спина длины 1, матриц генерирующий полные бесконечно малые вращения 3-спинорной частицы. Поэтому можно заметить, что Гамильтониан в уравнении Шрёдингера фотона есть проекция его спина 1 на его импульс, поскольку нормальный оператор импульса появляется там в результате объединения частей вращений.

В отличие от волновой функции электрона квадрат модуля волновой функции фотона (Вектор Римана-Зильбертейна) не безразмерен и его необходимо умножить на «локальный фотонный вектор». длина волны» с необходимой степенью, чтобы дать безразмерное выражение для нормализации, т.е. оно нормируется экзотическим способом с интегральным ядром

$\|\mathbf {F} \|={1 \over \hbar c}\int {\mathbf {F} ^{*}(x)\cdot \mathbf {F} (x') \over |x-x'|^{2}}dx^{3}dx'^{3}=1$

Два остаточных уравнения Максвелла являются лишь ограничениями, т.е.

$\nabla \cdot \mathbf {F} =0$

и они автоматически выполняются все время, если выполняются только в начальный момент времени $t=0$, то есть

$\mathbf {F} (0)=\nabla \times \mathbf {G}$

где $\mathbf {G}$ — любое комплексное векторное поле с неисчезающим вращением , или это векторный потенциал вектора Римана – Зильберштейна.

Зная волновую функцию фотона, можно оценить соотношения неопределенностей для фотона. Оказывается, фотоны «более квантовы», чем электрон, в то время как их неопределенность положения и импульса выше. Естественными кандидатами для оценки неопределенности являются естественный импульс, например, просто проекция $E/c$ или $H/c$ от Эйнштейна формула фотоэффекта и простейшая теория квантов и $r$, неопределенность вектора длины позиции.

Мы будем использовать общее соотношение неопределенности для операторов $A,B$

$\sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|.$

Нам нужно соотношение неопределенности для $\sigma _{r}\sigma _{p}$ то есть для операторов

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

$p^{2}=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {p} )^{2}$

Первым делом нужно найти вспомогательный оператор ${\tilde {r}}$ такое, что это отношение можно использовать напрямую. Сначала мы проделаем тот же трюк для $r$ что Дирак заставил вычислить квадратный корень из оператора Клейна-Гордона, чтобы получить уравнение Дирака :

${\tilde {r}}=\alpha _{1}x+\alpha _{2}y+\alpha _{3}z$

где $\alpha _{i}$ являются матрицами уравнения Дирака :

$\alpha _{i}^{2}=1$

$\alpha _{i}\alpha _{k}+\alpha _{k}\alpha _{i}=2\delta _{ik}$

Поэтому у нас есть

${\tilde {r}}^{2}=r^{2}$

Поскольку спиновые матрицы 1 являются всего лишь $3\times 3$ рассчитать коммутатор в том же пространстве аппроксимируем спиновые матрицы по матрицам углового момента частицы длиной $3/2\approx 1$ пока отбрасывая умножение $1/2$ поскольку полученные уравнения Максвелла в 4-х измерениях выглядели бы слишком искусственно к оригиналу (в качестве альтернативы мы можем сохранить оригинал $1/2$ факторы, но нормализовать новый 4-спинорный до 2 как 4 скалярные частицы, нормированные до 1/2):

${\tilde {p}}^{2}=(\mathbf {\tilde {L}} \cdot \mathbf {p} )^{2}$

Теперь мы можем легко вычислить коммутатор при расчете коммутаторов. из $\alpha _{i}$ матрицы и масштабированные ${\tilde {L}}_{i}$ и заметив, что симметричное гауссово состояние $e^{-ar^{2}}$ в среднем уничтожает члены, содержащие смешанную переменную, например $xp_{y}$. Расчет 9 коммутаторов (смешанные могут быть равны нулю по гауссовскому примеру, а $L_{z}\alpha _{z}=\alpha _{z}L_{z}=0$ поскольку эти матрицы противодиагональны) и оценивая слагаемых от нормы результирующего $4\times 4$ матрица, содержащая четыре $2{\sqrt {3}}$ факторы, дающие квадрат наиболее естественного $L2,1$ норма этой матрицы как $48\approx 49=7^{2}\approx 8^{2}$ и используя нормированное неравенство для оценки

$\lVert \mathbf {A} \mathbf {x} \rVert \leq \lVert \mathbf {A} \rVert \lVert \mathbf {x} \rVert \approx \lVert \mathbf {A} \rVert \lVert \mathbf {x} \rVert$

мы получаем

$\left|\langle [{\tilde {r}},{\tilde {p}}]\rangle \right|\geq 8\hbar .$

или

$\sigma _{r}\sigma _{p}\geq 4\hbar$

что намного больше, чем для массовой частицы в трех измерениях, т.е.

$\sigma _{r}\sigma _{p}\geq {\frac {3}{2}}\hbar$

и поэтому фотоны оказываются частицами $8/3$ раз или почти в 3 раза «квантовее», чем частицы с массой, подобной электронам.

См. также

• Матричное представление уравнений Максвелла