Матричное представление уравнений Максвелла

В электромагнетизме , разделе фундаментальной физики , матричные представления уравнений Максвелла представляют собой формулировку уравнений Максвелла с использованием матриц , комплексных чисел и векторного исчисления . Эти представления относятся к однородной среде и являются приближением к неоднородной среде . Матричное представление неоднородной среды было представлено с помощью пары матричных уравнений. Одно уравнение с использованием матриц 4×4 необходимо и достаточно для любой однородной среды. Для неоднородной среды обязательно требуются матрицы размером 8×8.

Введение

Уравнения Максвелла в стандартном формализме векторного исчисления в неоднородной среде с источниками имеют вид:

${\begin{aligned}&{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {D} }\left({\mathbf {r} },t\right)=\rho \,\\&{\mathbf {\nabla } }\times {\mathbf {H} }\left({\mathbf {r} },t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {D} }\left({\mathbf {r} },t\right)={\mathbf {J} }\,\\&{\mathbf {\nabla } }\times {\mathbf {E} }\left({\mathbf {r} },t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)=0\,\\&{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)=0\,.\end{aligned}}$

Предполагается, что среда линейна , т.е.

${\mathbf {D} }=\varepsilon \mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$,

где скаляр $\varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)$ – диэлектрическая проницаемость среды и скаляр $\mu =\mu (\mathbf {r} ,t)$ проницаемость среды (см. материальное уравнение ). Для однородной среды $\varepsilon$ и $\mu$ являются константами. Скорость света в среде определяется выражением

$v({\mathbf {r} },t)={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon ({\mathbf {r} },t)\,\mu ({\mathbf {r} },t)\,}}}$.

В вакууме, $\varepsilon _{0}=\,$8.85 × 10 ⁻¹² С ² ·Н ⁻¹ ·м ⁻² и $\mu _{0}=4\pi \,$× 10 ⁻⁷ Х·м ⁻¹

Одним из возможных способов получения требуемого матричного представления является использовать вектор Римана – Зильберштейна предоставлено

${\begin{aligned}{\mathbf {F} }^{+}\left({\mathbf {r} },t\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}\left[{\sqrt {\varepsilon ({\mathbf {r} },t)\,}}\,{\mathbf {E} }\left({\mathbf {r} },t\right)+{\rm {i}}\,{\frac {1}{\sqrt {\mu ({\mathbf {r} },t)\,}}}{\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)\right]\\{\mathbf {F} }^{-}\left({\mathbf {r} },t\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}\left[{\sqrt {\varepsilon ({\mathbf {r} },t)\,}}\,{\mathbf {E} }\left({\mathbf {r} },t\right)-{\rm {i}}\,{\frac {1}{\sqrt {\mu ({\mathbf {r} },t)\,}}}{\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)\right]\,.\end{aligned}}$

Если для определенной среды $\varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)$ и $\mu =\mu (\mathbf {r} ,t)$ являются скалярными константами (или могут рассматриваться как локальные скалярные константы в определенных приближениях), то векторы ${\mathbf {F} }^{\pm }(\mathbf {r} ,t)$ удовлетворить

${\begin{aligned}{\rm {i}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf {r} },t\right)&=\pm v\,{\mathbf {\nabla } }\times {\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf {r} },t\right)-{\frac {1}{\sqrt {2\epsilon \,}}}({\rm {i}}\,{\mathbf {J} })\\{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf {r} },t\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\varepsilon \,}}}(\rho )\,.\end{aligned}}$

Таким образом, используя вектор Римана–Зильберштейна, можно переформулировать уравнения Максвелла для среды с постоянной $\varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)$ и $\mu =\mu (\mathbf {r} ,t)$ как пару определяющих уравнений.

Гомогенная среда

Чтобы получить одно матричное уравнение вместо пары, с использованием компонент вектора Римана–Зильберштейна строятся следующие новые функции:

${\begin{aligned}\Psi ^{+}({\mathbf {r} },t)&=\left[{\begin{array}{c}-F_{x}^{+}+{\rm {i}}F_{y}^{+}\\F_{z}^{+}\\F_{z}^{+}\\F_{x}^{+}+{\rm {i}}F_{y}^{+}\end{array}}\right]\,\quad \Psi ^{-}({\mathbf {r} },t)=\left[{\begin{array}{c}-F_{x}^{-}-{\rm {i}}F_{y}^{-}\\F_{z}^{-}\\F_{z}^{-}\\F_{x}^{-}-{\rm {i}}F_{y}^{-}\end{array}}\right]\,.\end{aligned}}$

Векторы источников:

${\begin{aligned}W^{+}&=\left({\frac {1}{\sqrt {2\epsilon }}}\right)\left[{\begin{array}{c}-J_{x}+{\rm {i}}J_{y}\\J_{z}-v\rho \\J_{z}+v\rho \\J_{x}+{\rm {i}}J_{y}\end{array}}\right]\,\quad W^{-}=\left({\frac {1}{\sqrt {2\epsilon }}}\right)\left[{\begin{array}{c}-J_{x}-{\rm {i}}J_{y}\\J_{z}-v\rho \\J_{z}+v\rho \\J_{x}-{\rm {i}}J_{y}\end{array}}\right]\,.\end{aligned}}$

Затем,

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ^{+}&=-v\left\{{\mathbf {M} }\cdot {\mathbf {\nabla } }\right\}\Psi ^{+}-W^{+}\,\\{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ^{-}&=-v\left\{{\mathbf {M} }^{*}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right\}\Psi ^{-}-W^{-}\,\end{aligned}}$

где * обозначает комплексное сопряжение , а тройка M = [ M _x , My _y , M _z ] — вектор, составными элементами которого являются абстрактные матрицы 4 × 4, заданные формулой

$M_{x}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}},$

$M_{y}={\rm {i}}{\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\+1&0&0&0\\0&+1&0&0\end{bmatrix}},$

$M_{z}={\begin{bmatrix}+1&0&0&0\\0&+1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\,.$

Компонентные M -матрицы могут быть сформированы с использованием:

$\Omega ={\begin{bmatrix}{\mathbf {0} }&-{\mathbf {I} _{2}}\\{\mathbf {I} _{2}}&{\mathbf {0} }\end{bmatrix}}\,\qquad \beta ={\begin{bmatrix}{\mathbf {I} _{2}}&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&-{\mathbf {I} _{2}}\end{bmatrix}}\,,$

где $\mathbf {I} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,,$

откуда получим:

$M_{x}=-\beta \Omega ,\qquad M_{y}={\rm {i}}\Omega ,\qquad M_{z}=\beta \,.$

Альтернативно можно использовать матрицу $J=-\Omega \,.$ Которые отличаются только знаком. можно использовать либо Ω, либо J. Для нашей цели Однако они имеют разное значение: J контравариантен , а Ω ковариантен . Матрица Ω соответствует скобкам Лагранжа классической механики , а J соответствует скобкам Пуассона .

Обратите внимание на важное соотношение $\Omega =J^{-1}\,.$

Каждое из четырех уравнений Максвелла получено из матричного представления. Это делается путем сложения сумм и разностей строки I со строкой IV и строки II со строкой III соответственно. Первые три задают y , x и z компоненты ротора , а последний задает условия дивергенции .

матрицы Все M невырождены все и эрмитовы . Более того, они удовлетворяют обычной ( кватернионной ) алгебре матриц Дирака , включая:

${\begin{aligned}M_{x}M_{z}=-M_{z}M_{x}\,\\M_{y}M_{z}=-M_{z}M_{y}\,\\\\M_{x}^{2}=M_{y}^{2}=M_{z}^{2}=I\,\\\\M_{x}M_{y}=-M_{y}M_{x}={\rm {i}}M_{z}\,\\M_{y}M_{z}=-M_{z}M_{y}={\rm {i}}M_{x}\,\\M_{z}M_{x}=-M_{x}M_{z}={\rm {i}}M_{y}\,.\end{aligned}}$

(Пс. ^± , M ) не единственны. Различные варианты Ψ ^± привело бы к появлению разных M , так что тройка M продолжает удовлетворять алгебре матриц Дирака. Ψ ^± Использование вектора Римана–Зильберштейна имеет определенные преимущества перед другими возможными вариантами. Вектор Римана-Зильберштейна хорошо известен в классической электродинамике и обладает некоторыми интересными свойствами и применением.

При выводе приведенного выше матричного представления уравнений Максвелла размером 4×4 пространственные и временные производные ε( r , t ) и µ( r , t ) в первых двух уравнениях Максвелла были проигнорированы. ε и μ рассматривались как локальные константы.

Неоднородная среда

В неоднородной среде пространственные и временные изменения ε = ε( r , t ) и µ = µ( r , t ) не равны нулю. То есть они больше не являются локальной константой. Вместо использования ε = ε( r , t ) и µ = µ( r , t ) выгодно использовать две производные лабораторные функции, а именно функцию сопротивления и функцию скорости.

${\begin{aligned}{\text{ Velocity function:}}\,v({\mathbf {r} },t)&={\frac {1}{\sqrt {\epsilon ({\mathbf {r} },t)\mu ({\mathbf {r} },t)}}}\\{\text{Resistance function:}}\,h({\mathbf {r} },t)&={\sqrt {\frac {\mu ({\mathbf {r} },t)}{\epsilon ({\mathbf {r} },t)}}}\,.\end{aligned}}$

Что касается этих функций:

$\varepsilon ={\frac {1}{vh}}\,,\quad \mu ={\frac {h}{v}}$.

Эти функции встречаются в матричном представлении через свои логарифмические производные ;

${\begin{aligned}{\mathbf {u} }({\mathbf {r} },t)&={\frac {1}{2v({\mathbf {r} },t)}}{\mathbf {\nabla } }v({\mathbf {r} },t)={\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln v({\mathbf {r} },t)\right\}=-{\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln n({\mathbf {r} },t)\right\}\\{\mathbf {w} }({\mathbf {r} },t)&={\frac {1}{2h({\mathbf {r} },t)}}{\mathbf {\nabla } }h({\mathbf {r} },t)={\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln h({\mathbf {r} },t)\right\}\,\end{aligned}}$

где

$n({\mathbf {r} },t)={\frac {c}{v({\mathbf {r} },t)}}$

– показатель преломления среды.

В точном матричном представлении уравнения Максвелла в среде естественным образом возникают следующие матрицы

${\begin{aligned}{\mathbf {\Sigma } }=\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {\sigma } }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {\sigma } }\end{array}}\right]\,\qquad {\mathbf {\alpha } }=\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {0} }&{\mathbf {\sigma } }\\{\mathbf {\sigma } }&{\mathbf {0} }\end{array}}\right]\,\qquad {\mathbf {I} }=\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {1} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {1} }\end{array}}\right]\,\end{aligned}}$

где Σ — спиновые матрицы Дирака , α — матрицы, используемые в уравнении Дирака , а σ — тройка матриц Паули.

${\mathbf {\sigma } }=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})=\left[{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-{\rm {i}}\\{\rm {i}}&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\right]$

Наконец, матричное представление имеет вид

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]-{\frac {{\dot {v}}({\mathbf {r} },t)}{2v({\mathbf {r} },t)}}\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]+{\frac {{\dot {h}}({\mathbf {r} },t)}{2h({\mathbf {r} },t)}}\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {0} }&{\rm {i}}\beta \alpha _{y}\\{\rm {i}}\beta \alpha _{y}&{\mathbf {0} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]\\&=-v({\mathbf {r} },t)\left[{\begin{array}{ccc}\left\{{\mathbf {M} }\cdot {\mathbf {\nabla } }+{\mathbf {\Sigma } }\cdot {\mathbf {u} }\right\}&&-{\rm {i}}\beta \left({\mathbf {\Sigma } }\cdot {\mathbf {w} }\right)\alpha _{y}\\-{\rm {i}}\beta \left({\mathbf {\Sigma } }^{*}\cdot {\mathbf {w} }\right)\alpha _{y}&\left\{{\mathbf {M} }^{*}\cdot {\mathbf {\nabla } }+{\mathbf {\Sigma } }^{*}\cdot {\mathbf {u} }\right\}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]-\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}W^{+}\\W^{-}\end{array}}\right]\,\end{aligned}}$

Приведенное выше представление содержит тринадцать матриц размером 8 × 8. Десять из них являются эрмитовыми . Исключительными являются те, которые содержат три компонента w ( r , t ), логарифмического градиента функции сопротивления. Эти три матрицы для функции сопротивления являются антиэрмитовыми .

Уравнения Максвелла выражены в матричной форме для среды с изменяющейся диэлектрической проницаемостью ε = ε( r , t ) и проницаемостью µ = µ( r , t ) при наличии источников. В этом представлении используется одно матричное уравнение вместо пары матричных уравнений. В этом представлении с помощью матриц 8×8 удалось разделить зависимость связи между верхними компонентами (Ψ ⁺ ) и нижние компоненты (Ψ ⁻ ) посредством двух лабораторных функций. Более того, точное матричное представление имеет алгебраическую структуру, очень похожую на уравнение Дирака. Уравнения Максвелла могут быть получены из Ферма принципа геометрической оптики с помощью процесса «волновизации». аналогично квантованию классической механики .

Приложения

Одним из первых применений матричных форм уравнений Максвелла было изучение определенных симметрий и сходств с уравнением Дирака.

Матричная форма уравнений Максвелла используется в качестве кандидата на волновую функцию фотона .

Исторически геометрическая оптика основана на принципе наименьшего времени Ферма . Геометрическую оптику можно полностью вывести из уравнений Максвелла. Традиционно это делается с помощью уравнения Гельмгольца . Вывод уравнения Гельмгольца из уравнений Максвелла является приближением, поскольку пренебрегают пространственными и временными производными диэлектрической проницаемости и проницаемости среды. Был разработан новый формализм оптики световых лучей, начиная с уравнений Максвелла в матричной форме: единого объекта, содержащего все четыре уравнения Максвелла. Такое предписание, несомненно, обеспечит более глубокое понимание лучевой оптики и поляризации в едином виде. Лучево-оптический гамильтониан, полученный из этого матричного представления, имеет алгебраическую структуру, очень похожую на уравнение Дирака , что делает его пригодным для метода Фолди-Ваутхейзена . Этот подход очень похож на подход, развитый для квантовой теории оптики пучков заряженных частиц.

Ссылки

Другие

• Бялыницкий-Бирула, И. (1994). О волновой функции фотона. Acta Physica Polonica А, 86 , 97–116.
• Бялыницкий-Бирула, И. (1996а). Волновая функция фотона. В когерентности и квантовой оптике VII . Эберли Дж. Х. , Мандель Л. и Эмиль Вольф (ред.), Plenum Press, Нью-Йорк, 313.
• Бялыницкий-Бирула, И. (1996b). Волновая функция фотона . в журнале «Прогресс в оптике» , Vol. XXXVI, Эмиль Вольф . (ред.), Elsevier , Амстердам, 245–294.
• Джексон, доктор юридических наук (1998). Классическая электродинамика , третье издание, John Wiley & Sons.
• Джаганнатан, Р. Архивировано 2 февраля 2017 г. в Wayback Machine (1990). Квантовая теория электронных линз на основе уравнения Дирака . Физический обзор А , 42 , 6674–6689.
• Джаганнатан Р. и Хан С.А. (1996). Квантовая теория оптики заряженных частиц . В книге Хоукса Питера В. (ред.), «Достижения в области визуализации и электронной физики» , Vol. 97 , Academic Press, Сан-Диего, стр. 257–358.
• Джаганнатан, Р. Архивировано 2 февраля 2017 г. в Wayback Machine , Саймон, Р. , Сударшан, ЭКГ и Мукунда, Н. (1989). Квантовая теория магнитных электронных линз на основе уравнения Дирака . Письма по физике А 134 , 457–464.
• Хан, С.А. (1997). Квантовая теория оптики пучков заряженных частиц , докторская диссертация , Мадрасский университет , Ченнаи , Индия . (полную диссертацию можно получить в Dspace библиотеки IMSc Института математических наук , где проводилось докторское исследование).
• Самин Ахмед Хан . (2002). Оптика Максвелла: I. Точное матричное представление уравнений Максвелла в среде . Электронная печать : https://arxiv.org/abs/physical/0205083/ .
• Самин Ахмед Хан . (2005). Точное матричное представление уравнений Максвелла . Physica Scripta , 71 (5), 440–442.
• Самин Ахмед Хан . (2006а). Техника преобразований Фолди-Ваутхейзена в оптике . Optik-Международный журнал световой и электронной оптики . 117 (10), стр. 481–488 http://www.elsevier-deutschland.de/ijleo/ .
• Самин Ахмед Хан . (2006б). Эффекты, зависящие от длины волны, в световой оптике. в «Новых темах исследований в области квантовой физики» , редакторы: Владимир Красноголовец и Фрэнк Колумбус, Nova Science Publishers , Нью-Йорк, стр. 163–204. ( ISBN   1600210287 и ISBN   978-1600210280 ).
• Самин Ахмед Хан . (2008). Техника преобразования Фолди-Ваутхейзена в оптике , В книге Хоукса Питера В. (ред.), Достижения в области визуализации и электронной физики , Vol. 152, Elsevier , Амстердам, стр. 49–78. ( ISBN   0123742196 и ISBN   978-0-12-374219-3 ).
• Самин Ахмед Хан . (2010). Максвелловская оптика квазипараксиальных пучков , Международный журнал оптики света и электронной оптики Optik , 121 (5), 408–416. ( http://www.elsevier-deutschland.de/ijleo/ ).
• Лапорт О. и Уленбек Дж. Е. (1931). Приложения спинорного анализа к уравнениям Максвелла и Дирака. Физическое обозрение , 37 , 1380–1397.
• Майорана, Э. (1974). (неопубликованные примечания), цитируется по Миньяни Р., Реками Э. и Бальдо М. Об уравнении Дирака для фотона, согласно Этторе Майоране. Письма в New Cimento , 11 , 568–572.
• Мозес, Э. (1959). Решения уравнений Максвелла в спинорной записи: прямая и обратная задачи. Физическое обозрение , 113 (6), 1670–1679.
• Панофски, У.К.Х. и Филлипс, М. (1962). Классическое электричество и магнетизм , издательство Addison-Wesley, Ридинг, Массачусетс, США.
• Прадхан, Т. (1987). Уравнения Максвелла из геометрической оптики . IP/BBSR/87-15; Письма по физике А 122 (8), 397–398.
• Людвиг Зильберштейн . (1907а). Основные электромагнитные уравнения в бивекторном лечении , Анн. Физ. (Лейпциг), 22, 579–586.
• Людвиг Зильберштейн . (1907б). Дополнение к трактату по основным электромагнитным уравнениям в бивекторной трактовке . Энн. Физ. (Лейпциг), 24, 783–784.