Электрическая потенциальная энергия

Не путать с электрическим потенциалом или электрической мощностью .

Эта статья о физической величине потенциальной электрической энергии. Чтобы узнать об электрической энергии, см. Электрическая энергия . Информацию об источниках энергии см. в разделе «Развитие энергетики» . Информацию о производстве электроэнергии см. в разделе «Производство электроэнергии» .

Электрическая потенциальная энергия
Общие символы	У Э
И объединились	джоуль (Дж)
Выводы из другие количества	U E = C · V 2 / 2

Электрическая потенциальная энергия — это потенциальная энергия (измеренная в джоулях ), которая возникает в результате консервативных сил Кулона и связана с конфигурацией определенного набора точечных зарядов внутри определенной системы . обладает объект Можно сказать, что электрической потенциальной энергией либо в силу своего собственного электрического заряда, либо в силу своего относительного положения по отношению к другим электрически заряженным объектам .

Термин «электрическая потенциальная энергия» используется для описания потенциальной энергии в системах с изменяющимися во времени электрическими полями , а термин «электростатическая потенциальная энергия» используется для описания потенциальной энергии в системах с постоянными во времени электрическими полями.

Определение

Электрическая потенциальная энергия системы точечных зарядов определяется как работа, необходимая для сборки этой системы зарядов путем сближения их, как в системе с бесконечного расстояния. Альтернативно, электрическая потенциальная энергия любого данного заряда или системы зарядов называется общей работой, совершаемой внешним агентом по доведению заряда или системы зарядов из бесконечности до текущей конфигурации без какого-либо ускорения.

Электростатическая потенциальная энергия одного _UE точечного заряда q в положении r в присутствии электрического поля E определяется как отрицательная работа W , совершаемая электростатической силой по перемещению его из исходного положения r _ref. в эту позицию r .

$U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{\mathbf {r} }_{\rm {ref}}}^{\mathbf {r} }q\mathbf {E} (\mathbf {r'} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r'}$

где E — электростатическое поле, а d r’ — вектор смещения по кривой от исходного положения r _ref до конечного положения r .

Электростатическую потенциальную энергию также можно определить из электрического потенциала следующим образом:

Электростатическая потенциальная энергия UE _в одного точечного заряда r положении q при наличии электрического потенциала $V$ определяется как произведение заряда и электрического потенциала.

$U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=qV(\mathbf {r} )$

где $V$ — электрический потенциал , создаваемый зарядами, который является функцией положения r .

Единицы

Единицей в системе СИ электрической потенциальной энергии является джоуль (названный в честь английского физика Джеймса Прескотта Джоуля ). В системе СГС единицей энергии является эрг , равный 10 ⁻⁷ Джоули. Также электронвольты : 1 эВ = 1,602×10. можно использовать ⁻¹⁹ Джоули.

Электростатическая потенциальная энергия одного точечного заряда

Один точечный заряд q при наличии другого точечного заряда Q

Точечный заряд q в электрическом поле другого заряда Q.

Электростатическая потенциальная энергия одного _UE точечного заряда q в положении r в присутствии точечного заряда Q , принимая бесконечное расстояние между зарядами в качестве исходного положения, равна:

$U_{E}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}$

где r — расстояние между точечными зарядами q и Q , а q и Q — заряды (а не абсолютные значения зарядов, т. е. электрон будет иметь отрицательное значение заряда, если его поместить в формулу). В следующей схеме доказательства излагается вывод из определения электрической потенциальной энергии и закона Кулона к этой формуле.

Схема доказательства

Электростатическую силу F, действующую на заряд q, можно записать через электрическое поле E как

$$\mathbf {F} =q\mathbf {E} ,$$

По определению, изменение электростатической потенциальной энергии UE _q точечного заряда , который переместился из исходного положения r _ref в положение r в присутствии электрического поля E, является отрицательным результатом работы, совершаемой электростатической силой над перенесите его из исходной позиции r _ref в эту позицию r .

$$U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .$$

где:

• r = положение заряда q в трехмерном пространстве , используя декартовы координаты r = ( x , y , z ), принимая положение заряда Q в точке r = (0,0,0), скаляр r = | р | - норма вектора положения,
• d s дифференциального = вектор смещения по пути C, идущему от r _ref до r ,
• $W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}$ – это работа, совершаемая электростатической силой по перемещению заряда из исходного положения r _ref в r ,

Обычно U _E устанавливается равным нулю, когда r _ref равно бесконечности:

$$U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0$$

так

$$U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s}$$

Когда ротор ∇ × E равен нулю, приведенный выше линейный интеграл не зависит от конкретного выбранного пути C , а только от его конечных точек. Это происходит в неизменяющихся во времени электрических полях. Говоря об электростатической потенциальной энергии, всегда предполагаются постоянные во времени электрические поля, поэтому в этом случае электрическое поле консервативно и можно использовать закон Кулона.

Используя закон Кулона , известно, что электростатическая сила F и электрическое поле E, создаваемое дискретным точечным зарядом Q направлены радиально от Q. , Из определения вектора положения r и вектора смещения s следует, что и s также направлены радиально от Q. r Итак, E и d s должны быть параллельны:

$$\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =|\mathbf {E} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {s} |\cos(0)=E\mathrm {d} s$$

Используя закон Кулона, электрическое поле определяется выражением

$$|\mathbf {E} |=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}$$

и интеграл легко вычислить:

$$U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}{\rm {d}}s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}$$

Один балльный заряд q при наличии n точечных зарядов Q _i

Электростатическая потенциальная энергия q , обусловленная Q ₁ и Q _{2 :} системой зарядов $U_{E}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2}}}\right)$

Электростатическая потенциальная энергия UE _между одного точечного заряда , принимая бесконечное расстояние зарядами _{q в присутствии n точечных зарядов Q i} в качестве исходного положения, равна:

$U_{E}(r)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{r_{i}}},$

где r _i — расстояние между точечными зарядами q и Q _i , а q и Q _i — присвоенные значения зарядов.

Электростатическая потенциальная энергия, запасенная в системе точечных зарядов

Электростатическая потенциальная энергия U _E, запасенная в системе N зарядов q ₁ , q ₂ , …, q _N в позициях r ₁ , r ₂ , …, r _N соответственно, равна:

$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}V(\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{2}}k_{e}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}},$

( 1 )

где для каждого значения i V( r _i ) — электростатический потенциал всех точечных зарядов, кроме заряда в точке r _i , и равен:

$$V(\mathbf {r} _{i})=k_{e}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}},$$

где r _ij — расстояние между q _i и q _j .

Схема доказательства

Электростатическая потенциальная энергия U _E, запасенная в системе двух зарядов, равна электростатической потенциальной энергии заряда в электростатическом потенциале, создаваемом другим. То есть, если заряд q ₁ генерирует электростатический потенциал V ₁ , который является функцией положения r , то

$$U_{\mathrm {E} }=q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2}).$$

Проделав тот же расчет относительно другого заряда, получим

$$U_{\mathrm {E} }=q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1}).$$

Электростатическая потенциальная энергия распределяется между собой $q_{1}$ и $q_{2}$, поэтому полная запасенная энергия равна

$$U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right]$$

Это можно обобщить, сказав, что электростатическая потенциальная энергия UE _, запасенная в системе из n зарядов q ₁ , q ₂ , …, q _n в положениях r ₁ , r ₂ , …, r _n соответственно, равна:

$$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}V(\mathbf {r} _{i}).$$

Энергия, запасенная в системе одноточечного заряда

Электростатическая потенциальная энергия системы, содержащей только один точечный заряд, равна нулю, поскольку нет других источников электростатической силы, против которых внешний агент должен совершить работу по перемещению точечного заряда из бесконечности в его конечное место.

Возникает общий вопрос о взаимодействии точечного заряда с собственным электростатическим потенциалом. Поскольку это взаимодействие не приводит к перемещению самого точечного заряда, оно не способствует накоплению энергии системы.

Энергия, запасенная в системе двух точечных зарядов

точечного заряда q в его конечном положении рядом с точечным зарядом Q1 _{Рассмотрим размещение} . Электрический потенциал V( r ), обусловленный Q _1, равен

$$V(\mathbf {r} )=k_{e}{\frac {Q_{1}}{r}}$$

Следовательно, мы получаем электростатическую потенциальную энергию q в потенциале Q ₁ как

$$U_{E}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ_{1}}{r_{1}}}$$

где r ₁ - расстояние между двумя точечными зарядами.

Энергия, запасенная в системе трёх точечных зарядов

Электростатическую потенциальную энергию системы трех зарядов не следует путать с электростатической потенциальной энергией Q _1, обусловленной двумя зарядами Q ₂ и Q ₃ , поскольку последняя не включает электростатическую потенциальную энергию системы двух зарядов. Вопрос ₂ и Вопрос ₃ .

Электростатическая потенциальная энергия, запасенная в системе трех зарядов, равна:

$$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]$$

Схема доказательства

Тогда, используя формулу, приведенную в ( 1 ), электростатическая потенциальная энергия системы трех зарядов будет:

$$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+Q_{2}V(\mathbf {r} _{2})+Q_{3}V(\mathbf {r} _{3})\right]$$

Где $V(\mathbf {r} _{1})$ – электрический потенциал в r _{1 ,} создаваемый зарядами Q ₂ и Q ₃ , $V(\mathbf {r} _{2})$ - электрический потенциал в r _{2 ,} создаваемый зарядами Q ₁ и Q ₃ , и $V(\mathbf {r} _{3})$ - электрический потенциал в r _{3 ,} создаваемый зарядами Q ₁ и Q ₂ . Потенциалы:

$$V(\mathbf {r} _{1})=V_{2}(\mathbf {r} _{1})+V_{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}$$

$$V(\mathbf {r} _{2})=V_{1}(\mathbf {r} _{2})+V_{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}$$

$$V(\mathbf {r} _{3})=V_{1}(\mathbf {r} _{3})+V_{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}$$

Где r _ij — расстояние между зарядами Q _i и Q _j .

Если мы добавим все:

$$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]$$

В итоге получаем, что электростатическая потенциальная энергия запасается в системе трёх зарядов:

$$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]$$

запасенная в электростатическом поле, распределяется

Плотность энергии, или энергия единицы объема, ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$, электростатического поля непрерывного распределения заряда составляет:

$$u_{e}={\frac {dU}{dV}}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.$$

Схема доказательства

Можно взять уравнение электростатической потенциальной энергии непрерывного распределения заряда и выразить его через электростатическое поле .

Поскольку закон Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме состояния

$$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$$

где

• $\mathbf {E}$ вектор электрического поля
• $\rho$ - общая плотность заряда , включая дипольные заряды, связанные в материале
• $\varepsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,

затем,

$${\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}$$

Итак, теперь используя следующее тождество вектора дивергенции

$$\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})$$

у нас есть

$$U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV$$

используя теорему о дивергенции и принимая площадь на бесконечность, где $\Phi (\infty )=0$

$${\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}$$

Итак, плотность энергии, или энергия единицы объема ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$ электростатического поля составляет:

$$u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.$$

Энергия, запасенная в электронных элементах

Электрическая потенциальная энергия, запасенная в конденсаторе, равна U _E = 1 / 2 резюме ²

Некоторые элементы в цепи могут преобразовывать энергию из одной формы в другую. Например, резистор преобразует электрическую энергию в тепловую. Это известно как эффект Джоуля . Конденсатор . хранит его в своем электрическом поле Полная электростатическая потенциальная энергия, запасенная в конденсаторе, определяется выражением

$$U_{E}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}$$

где C — емкость , V — разность электрических потенциалов , а Q — заряд , запасенный в конденсаторе.

Схема доказательства

Заряды конденсатора можно накапливать бесконечно малыми приращениями. $dq\to 0$, так что объем работы, проделанной для сборки каждого приращения до его конечного местоположения, можно выразить как

$$W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.$$

Тогда общая работа, совершаемая для полной зарядки конденсатора таким образом, равна

$$W=\int dW=\int _{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={\frac {Q^{2}}{2C}}.$$

где $Q$ - полный заряд конденсатора. Эта работа сохраняется в виде электростатической потенциальной энергии, следовательно,

$$W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.$$

Примечательно, что это выражение справедливо только в том случае, если $dq\to 0$, что справедливо для многозарядных систем, таких как большие конденсаторы с металлическими электродами. Для малозарядовых систем важен дискретный характер заряда. Полная энергия, запасенная в конденсаторе с несколькими зарядами, равна

$$U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}$$

который получается методом сборки заряда с использованием наименьшего приращения физического заряда. $\Delta q=e$ где $e$ является элементарной единицей заряда и $Q=Ne$ где $N$ – общее количество зарядов в конденсаторе.

Полную электростатическую потенциальную энергию можно также выразить через электрическое поле в виде

$$U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathrm {E} \cdot \mathrm {D} \,dV$$

где $\mathrm {D}$ — поле электрического смещения внутри диэлектрического материала, интегрирование производится по всему объему диэлектрика.

(Виртуальный эксперимент, основанный на передаче энергии между обкладками конденсатора, показывает, что необходимо учитывать дополнительный член, когда электростатическая энергия выражается через электрическое поле и вектор смещения s. .

Хотя эта дополнительная энергия аннулируется при работе с изоляторами, в целом ее нельзя игнорировать, как, например, в полупроводниках.)

Полная электростатическая потенциальная энергия, запасенная в заряженном диэлектрике, также может быть выражена через непрерывный объемный заряд: $\rho$,

$$U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi \,dV$$

где интегрирование ведется по всему объему диэлектрика.

Эти последние два выражения действительны только для случаев, когда наименьшее приращение заряда равно нулю ( $dq\to 0$), такие как диэлектрики при наличии металлических электродов или диэлектрики, содержащие много зарядов.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с потенциальной электрической энергией, на Викискладе?