Гравитационная энергия связи

Скопления галактик — крупнейшие известные гравитационно-связанные структуры во Вселенной.

Энергия гравитационной связи системы — это минимальная энергия, которую необходимо прибавить к ней, чтобы система перестала находиться в гравитационно- связанном состоянии . Гравитационно-связанная система имеет меньшую ( т. е . более отрицательную) гравитационную потенциальную энергию, чем сумма энергий ее частей, когда они полностью разделены, — именно это удерживает систему агрегированной в соответствии с принципом минимальной полной потенциальной энергии .

Для сферического тела однородной плотности гравитационная энергия связи U определяется формулой

$$U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}$$

где G — гравитационная постоянная , M — масса сферы, а R — ее радиус.

Предполагая, что Земля представляет собой сферу с однородной плотностью (это не так, но достаточно близко, чтобы получить оценку порядка величины ) с M = 5,97 × 10. ²⁴ кг и г = 6,37 × 10 ⁶ м , то U = 2,24 × 10 ³² Дж . Это примерно равно одной неделе . общего объема энергии Солнца Это 37,5 МДж/кг , 60% абсолютного значения потенциальной энергии на килограмм на поверхности.

Фактическая зависимость плотности от глубины, полученная на основе времени распространения сейсмических волн (см. уравнение Адамса-Вильямсона ), приведена в предварительной эталонной модели Земли (PREM). Используя это, реальную энергию гравитационной связи Земли можно рассчитать численно как U = 2,49 × 10. ³² Дж .

Согласно теореме вириала , энергия гравитационной связи звезды примерно в два раза превышает ее внутреннюю тепловую энергию , чтобы гидростатическое равновесие . поддерживаться Поскольку газ в звезде становится более релятивистским , энергия гравитационной связи, необходимая для гидростатического равновесия, приближается к нулю, и звезда становится нестабильной (высоко чувствительной к возмущениям), что может привести к возникновению сверхновой в случае звезды большой массы из-за сильного радиационное давление или в черную дыру в случае нейтронной звезды .

Вывод для однородной сферы

Гравитационная энергия связи сферы радиуса $R$ Его можно найти, если представить, что он разрывается в результате последовательного перемещения сферических оболочек к бесконечности, сначала самой внешней, и найти необходимую для этого полную энергию.

Предполагая постоянную плотность $\rho$, массы оболочки и сферы внутри нее равны:

$$m_{\mathrm {shell} }=4\pi r^{2}\rho \,dr$$

и

$$m_{\mathrm {interior} }={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho$$

Требуемая энергия оболочки равна отрицательной потенциальной энергии гравитации:

$$dU=-G{\frac {m_{\mathrm {shell} }m_{\mathrm {interior} }}{r}}$$

Интегрирование по всем оболочкам дает:

$$U=-G\int _{0}^{R}{\frac {\left(4\pi r^{2}\rho \right)\left({\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\rho \right)}{r}}dr=-G{\frac {16}{3}}\pi ^{2}\rho ^{2}\int _{0}^{R}{r^{4}}dr=-G{\frac {16}{15}}{\pi }^{2}{\rho }^{2}R^{5}$$

С $\rho$ просто равен массе целого, разделенной на его объем для объектов с одинаковой плотностью, поэтому

$$\rho ={\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}$$

И, наконец, подключение этого к нашему результату приводит к

$$U=-G{\frac {16}{15}}\pi ^{2}R^{5}\left({\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\right)^{2}=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}$$

Гравитационная энергия связи

$U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}$

Отрицательная массовая составляющая

Два тела, расположенные на расстоянии R друг от друга и взаимно не движущиеся, оказывают гравитационную силу на третье тело, немного меньшую, когда R мало. Это можно рассматривать как компонент отрицательной массы системы, равный для равномерно сферических решений:

$$M_{\mathrm {binding} }=-{\frac {3GM^{2}}{5Rc^{2}}}$$

Например, тот факт, что Земля представляет собой гравитационно-связанную сферу текущего размера, стоит 2,494 21 × 10. ¹⁵  кг массы (примерно четверть массы Фобоса см. выше – то же значение в джоулях ), и если бы его атомы были редкими в сколь угодно большом объеме, Земля весила бы свою текущую массу плюс 2,494 21 × 10 ¹⁵ кг- килограммы (и его гравитационное притяжение к третьему телу будет соответственно сильнее).

Можно легко продемонстрировать, что этот отрицательный компонент никогда не может превышать положительный компонент системы. Отрицательная энергия связи, превышающая массу самой системы, действительно потребует, чтобы радиус системы был меньше:

$$R\leq {\frac {3GM}{5c^{2}}}$$

что меньше, чем ${\textstyle {\frac {3}{10}}}$ его радиус Шварцшильда :

$$R\leq {\frac {3}{10}}r_{\mathrm {s} }$$

и поэтому никогда не виден внешнему наблюдателю. Однако это лишь ньютоновское приближение, и в релятивистских условиях необходимо учитывать и другие факторы.

Неоднородные сферы

Планеты и звезды имеют радиальные градиенты плотности от поверхностей с более низкой плотностью к гораздо более плотным сжатым ядрам. Объекты вырожденной материи (белые карлики; нейтронные звезды-пульсары) имеют радиальные градиенты плотности плюс релятивистские поправки.

Релятивистские уравнения состояния нейтронной звезды включают график зависимости радиуса от массы для различных моделей. Наиболее вероятные радиусы для данной массы нейтронной звезды заключены в модели AP4 (наименьший радиус) и MS2 (наибольший радиус). BE — отношение массы энергии гравитационной связи, эквивалентной наблюдаемой гравитационной массе нейтронной звезды M с радиусом R ,

$$BE={\frac {0.60\,\beta }{1-{\frac {\beta }{2}}}}$$

$$\beta ={\frac {GM}{Rc^{2}}}.$$

Учитывая текущие значения

• $G=6.6743\times 10^{-11}\,\mathrm {m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$
• $c^{2}=8.98755\times 10^{16}\,\mathrm {m^{2}\cdot s^{-2}}$
• $M_{\odot }=1.98844\times 10^{30}\,\mathrm {kg}$

и масса звезды M, выраженная относительно солнечной массы,

$$M_{x}={\frac {M}{M_{\odot }}},$$

тогда релятивистская дробная энергия связи нейтронной звезды равна

$$BE={\frac {885.975\,M_{x}}{R-738.313\,M_{x}}}$$

См. также

• Тензор энергии-напряжения
• Псевдотензор напряжения-энергии-импульса
• Эффект Нордтведта