Уравнение Адамса – Вильямсона

Уравнение Адамса-Вильямсона , названное в честь Лисона Х. Адамса и Э.Д. Уильямсона , представляет собой уравнение, используемое для определения плотности как функции радиуса, чаще используемое для определения связи между скоростями сейсмических волн и плотностью недр Земли. ^{[ 1 ]} Учитывая среднюю плотность горных пород на поверхности Земли и профили скоростей продольных и поперечных волн в зависимости от глубины, можно предсказать, как плотность увеличивается с глубиной. ^{[ 2 ]} Предполагается, что сжатие является адиабатическим и что Земля сферически симметрична, однородна и находится в гидростатическом равновесии . Его также можно применить к сферическим оболочкам с этим свойством. Это важная часть моделей недр Земли, таких как Предварительная эталонная модель Земли (PREM). ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

История

Уильямсон и Адамс впервые разработали эту теорию в 1923 году. Они пришли к выводу, что «поэтому невозможно объяснить высокую плотность Земли только на основе сжатия. Плотная внутренняя часть не может состоять из обычных горных пород, сжатых до небольшого объема; поэтому мы должны вернуться к единственной разумной альтернативе, а именно к наличию более тяжелого материала, предположительно какого-то металла, который, судя по его обилию в земной коре, в метеоритах и на Солнце, вероятно, является железом». ^{[ 3 ]}

Теория

Два типа сейсмических объемных волн — это волны сжатия ( P-волны ) и поперечные волны ( S-волны ). Оба имеют скорости, которые определяются упругими свойствами среды, через которую они проходят, в частности, модулем объемного сжатия K , модулем сдвига µ и плотностью ρ . С точки зрения этих параметров скорость P-волны v _p и скорость S-волны v _s равны

{\begin{aligned}v_{p}&={\sqrt {\frac {K+(4/3)\mu }{\rho }}}\\v_{s}&={\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}.\end{aligned}}

Эти две скорости можно объединить в сейсмический параметр.

\Phi =v_{p}^{2}-{\frac {4}{3}}v_{s}^{2}={\frac {K}{\rho }}.

( 1 )

Определение модуля объемного сжатия,

K=-V{\frac {dP}{dV}},

эквивалентно

K=\rho {\frac {dP}{d\rho }}.

( 2 )

Предположим, область на расстоянии r от центра Земли можно считать жидкостью, находящейся в гидростатическом равновесии , на нее действует гравитационное притяжение со стороны части Земли, находящейся под ней, и давление со стороны части, расположенной над ней. Также предположим, что сжатие является адиабатическим (поэтому тепловое расширение не способствует изменению плотности). Давление r P ( как с r ) меняется

{\frac {dP}{dr}}=-\rho (r)g(r),

( 3 )

где g ( r ) — гравитационное ускорение на радиусе r . ^{[ 3 ]}

Объединение 1 , 2 и 3 дает уравнение Адамса-Вильямсона:

{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {\rho (r)g(r)}{\Phi (r)}}.

Это уравнение можно проинтегрировать, чтобы получить

\ln \left({\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)=-\int _{r_{0}}^{r}{\frac {g(r)}{\Phi (r)}}dr,

где r ₀ — радиус у поверхности Земли, а ρ ₀ — плотность у поверхности. Учитывая ρ ₀ и профили скоростей продольных и поперечных волн, радиальную зависимость плотности можно определить путем численного интегрирования. ^{[ 3 ]}

Ссылки

^ CMR Фаулер (2005). Твердая Земля: введение в глобальную геофизику. Издательство Кембриджского университета. стр. 333–. ISBN 978-0-521-89307-7 .
^ Юджин Ф. Милон; Уильям Дж. Ф. Уилсон (30 января 2014 г.). Астрофизика Солнечной системы: планетарные атмосферы и внешняя Солнечная система. Springer Science & Business Media. стр. 494–. ISBN 978-1-4614-9090-6 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Пуарье, Жан-Поль (2000). Введение в физику недр Земли . Кембриджские темы по физике и химии минералов. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-66313-Х .
^ Дзевонски, AM ; Андерсон, Д.Л. (1981). «Предварительная эталонная модель Земли». Физика Земли и недр планет . 25 (4): 297–356. Бибкод : 1981PEPI...25..297D . дои : 10.1016/0031-9201(81)90046-7 .

[1] CMR Фаулер (2005). Твердая Земля: введение в глобальную геофизику. Издательство Кембриджского университета. стр. 333–. ISBN 978-0-521-89307-7 .

[2] Юджин Ф. Милон; Уильям Дж. Ф. Уилсон (30 января 2014 г.). Астрофизика Солнечной системы: планетарные атмосферы и внешняя Солнечная система. Springer Science & Business Media. стр. 494–. ISBN 978-1-4614-9090-6 .

[Poirier-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Пуарье, Жан-Поль (2000). Введение в физику недр Земли . Кембриджские темы по физике и химии минералов. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-66313-Х .

[4] Дзевонски, AM ; Андерсон, Д.Л. (1981). «Предварительная эталонная модель Земли». Физика Земли и недр планет . 25 (4): 297–356. Бибкод : 1981PEPI...25..297D . дои : 10.1016/0031-9201(81)90046-7 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]