S-волна

Плоская поперечная волна

Распространение сферической S-волны в двумерной сетке (эмпирическая модель)

В сейсмологии и других областях, связанных с упругими волнами, S-волны , вторичные волны или поперечные волны (иногда называемые упругими S-волнами ) представляют собой тип упругих волн и являются одним из двух основных типов упругих объемных волн , названных так потому, что они движутся через тело объекта, в отличие от поверхностных волн . ^[1]

S-волны являются поперечными волнами , что означает, что направление движения частиц S-волны перпендикулярно направлению распространения волны, а основная восстанавливающая сила исходит от напряжения сдвига . ^[2] Следовательно, S-волны не могут распространяться в жидкостях. ^[3] с нулевой (или очень низкой) вязкостью ; однако они могут распространяться в жидкостях с высокой вязкостью. ^[4]^[5]

Название «вторичная волна» происходит от того факта, что это второй тип волн, обнаруживаемых сейсмографом землетрясений , после первичной волны сжатия или волны P , поскольку волны S распространяются медленнее в твердых телах. В отличие от волн P, волны S не могут проходить через расплавленное внешнее ядро Земли, и это создает теневую зону для волн S, противоположную их источнику. Они все еще могут распространяться через твердое внутреннее ядро : когда Р-волна ударяется о границу расплавленного и твердого ядер под косым углом, S-волны формируются и распространяются в твердой среде. Когда эти S-волны снова ударятся о границу под косым углом, они, в свою очередь, создадут P-волны, которые распространяются через жидкую среду. Это свойство позволяет сейсмологам определять некоторые физические свойства внутреннего ядра Земли. ^[6]

История

В 1830 году математик Симеон Дени Пуассон представил Французской академии наук эссе («мемуары») с теорией распространения упругих волн в твердых телах. В своих мемуарах он утверждает, что землетрясение вызовет две разные волны: одна будет иметь определенную скорость. $a$ а другой имеет скорость ${\frac {a}{\sqrt {3}}}$ . На достаточном расстоянии от источника, когда их можно считать плоскими волнами в интересующей области, первый вид состоит из расширений и сжатий в направлении, перпендикулярном волновому фронту (т. е. параллельно направлению движения волны); второй же состоит из растягивающих движений, происходящих в направлениях, параллельных фронту (перпендикулярно направлению движения). ^[7]

Теория

Изотропная среда

Для целей этого объяснения твердая среда считается изотропной , если ее деформация (деформация) в ответ на напряжение одинакова во всех направлениях. Позволять ${\boldsymbol {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ смещения – вектор частицы такой среды из положения «покоя» ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ из-за упругих колебаний, которые понимаются как функция исходного положения ${\boldsymbol {x}}$ и время $t$ . Деформацию среды в этой точке можно описать тензором деформаций ${\boldsymbol {e}}$ , матрица 3×3, элементами которой являются $e_{ij}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)$

где $\partial _{i}$ обозначает частную производную по координате положения $x_{i}$ . Тензор деформаций связан с тензором напряжений 3×3. ${\boldsymbol {\tau }}$ по уравнению $\tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}e_{kk}+2\mu e_{ij}$

Здесь $\delta _{ij}$ – дельта Кронекера (1, если $i=j$ , 0 в противном случае) и $\lambda$ и $\mu$ – параметры Ламе ( $\mu$ материала модуль сдвига ). Отсюда следует, что $\tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)$

Из закона инерции Ньютона также получаем $\rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\sum _{j}\partial _{j}\tau _{ij}$ где $\rho$ - плотность (масса на единицу объема) среды в этой точке, и $\partial _{t}$ обозначает частную производную по времени. Объединив последние два уравнения, получаем уравнение сейсмических волн в однородных средах. $\rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\lambda \partial _{i}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \sum _{j}{\bigl (}\partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\partial _{j}\partial _{j}u_{i}{\bigr )}$

Используя оператора набла обозначение векторного исчисления , $\nabla =(\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3})$ , с некоторыми приближениями это уравнение можно записать в виде $\rho \partial _{t}^{2}{\boldsymbol {u}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla \left(\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}\right)-\mu \nabla \times \left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)$

Взяв ротор этого уравнения и применив векторные тождества, получим $\partial _{t}^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})={\frac {\mu }{\rho }}\nabla ^{2}\left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)$

Эта формула представляет собой волновое уравнение, примененное к векторной величине $\nabla \times {\boldsymbol {u}}$ , который представляет собой деформацию сдвига материала. Ее решения, S-волны, представляют собой линейные комбинации синусоидальных . плоских волн различных длин волн и направлений распространения, но все с одинаковой скоростью ${\textstyle \beta ={\sqrt {\mu /\rho }}}$ . Предполагая, что среда распространения линейна, упруга, изотропна и однородна, это уравнение можно переписать в виде $\mu =\rho \beta ^{2}=\rho \omega ^{2}/k^{2}$ ^[8] где ω — угловая частота, а $k$ — волновое число. Таким образом, $\beta =\omega /k$ .

Взяв за дивергенцию уравнения сейсмических волн в однородных средах вместо ротора, получим волновое уравнение, описывающее распространение величины $\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}$ , который представляет собой деформацию сжатия материала. Решения этого уравнения, P-волны, движутся со скоростью ${\textstyle \alpha ={\sqrt {(\lambda +2\mu )/\rho }}}$ это более чем в два раза превышает скорость $\beta$ волн S.

Стационарные волны SH определяются уравнением Гельмгольца ^[9] $\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right){\boldsymbol {u}}=0$ где $k$ — волновое число.

S-волны в вязкоупругих материалах

Как и в упругой среде, в вязкоупругом материале скорость сдвиговой волны описывается аналогичным соотношением $c(\omega )=\omega /k(\omega )={\sqrt {\mu (\omega )/\rho }}$ однако здесь $\mu$ представляет собой сложный, зависящий от частоты модуль сдвига и $c(\omega )$ – частотно-зависимая фазовая скорость. ^[8] Одним из распространенных подходов к описанию модуля сдвига в вязкоупругих материалах является использование модели Фойгта, которая гласит: $\mu (\omega )=\mu _{0}+i\omega \eta$ , где $\mu _{0}$ это жесткость материала и $\eta$ это вязкость. ^[8]

S-волновая технология

Магнитно-резонансная эластография

Магнитно-резонансная эластография (MRE) — это метод изучения свойств биологических материалов в живых организмах путем распространения поперечных волн желаемой частоты по желаемой органической ткани. ^[10] В этом методе используется вибратор для отправки поперечных волн в ткань и магнитно-резонансная томография для просмотра реакции ткани. ^[11] Затем измеряются измеренные скорость волны и длина волны для определения упругих свойств, таких как модуль сдвига . MRE нашел применение в исследованиях различных тканей человека, включая печень, мозг и костные ткани. ^[10]

См. также

Ссылки

^ «Сейсмология | UPSeis | Мичиганский технологический институт» . Мичиганский технологический университет . Проверено 7 октября 2023 г.
^ «Волна S» . Геологическая служба США . Архивировано из оригинала 22 июля 2021 года.
^ «Почему S-волны не могут проходить через жидкости?» . Земная обсерватория Сингапура . Проверено 6 декабря 2019 г.
^ Гринвуд, Маргарет Стаутберг; Бамбергер, Джудит Энн (август 2002 г.). «Измерение вязкости и скорости поперечной волны жидкости или суспензии для оперативного управления процессом». Ультразвук . 39 (9): 623–630. дои : 10.1016/s0041-624x(02)00372-4 . ПМИД 12206629 .
^ «Поддерживают ли вязкие жидкости распространение сдвиговых волн?» . Исследовательские ворота . Проверено 6 декабря 2019 г. ^{[ ненадежный источник? ]}
^ Университет Иллинойса в Чикаго (17 июля 1997 г.). «Лекция 16 Сейсмографы и недра Земли» . Архивировано из оригинала 7 мая 2002 года . Проверено 8 июня 2010 г.
^ Пуассон, С.Д. (1831 г.). «Воспоминания о распространении движения в упругих средах» . Мемуары Академии наук Института Франции (на французском языке). 10 :549–605. Из стр.595: " Мы легко увидим, что это сотрясение вызовет появление двух сферических волн, которые будут распространяться равномерно, одна со скоростью , другая со скоростью b или а / √3 а "... (Одну легко увидите, что это землетрясение породит две сферические волны, которые будут распространяться равномерно, одна со скоростью а , другая со скоростью Ь или а /√3...) Из стр.602: ..." à une big расстояние от первоначального сотрясения, и когда подвижные волны стали существенно плоскими в каждой очень малой части по сравнению со всей их поверхностью, остаются только специфические скорости молекул, нормальные или параллельные нормали этих поверхностей, имеющие место в волнах; первого вида, где они сопровождаются пропорциональными им расширениями, и параллельные скорости, принадлежащие волнам второго вида, где они не сопровождаются никаким расширением или уплотнением объема, а только линейными расширениями и сгущениями. «(...на большом расстоянии от первоначального землетрясения, и когда движущиеся волны становятся примерно плоскими в каждой крошечной части по отношению ко всей их поверхности, остаются [в упругом твердом теле Земли] только собственные молекулы скорости, нормальные или параллельные этим поверхностям; нормальные скорости возникают у волн первого типа, где они сопровождаются пропорциональными им расширениями, и параллельные скорости, принадлежащие волнам второго типа, где они не сопровождаются любое расширение или сжатие объема, но только путем линейного растяжения и сжатия.)
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Руза; Дэн; Трутна; Пальмери; Найтингейл (май 2018 г.). «Характеристика вязкоупругих материалов с использованием скоростей групповых поперечных волн» . Институт инженеров электротехники и электроники . 65 (5): 780–794. дои : 10.1109/TUFFC.2018.2815505 . ПМЦ 5972540 . ПМИД 29733281 .
^ Графф, Карл Ф. (26 апреля 2012 г.). Волновое движение в упругих телах . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-13957-9 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Тветен, Деннис Дж.; Окамото, Рут Дж.; Шмидт, Джон Л.; Гарбоу, Джоэл Р.; Бэйли, Филип В. (ноябрь 2015 г.). «Оценка параметров материала по медленным и быстрым сдвиговым волнам в несжимаемом трансверсально-изотропном материале» . Журнал биомеханики . 48 (15): 4002–4009. дои : 10.1016/j.jbiomech.2015.09.009 . ПМЦ 4663187 . ПМИД 26476762 .
^ «МР-эластография сдвиговой волной» . Университет здравоохранения штата Юта . 10 ноября 2021 г.

Дальнейшее чтение

Ширер, Питер (1999). Введение в сейсмологию (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66023-8 .
Аки, Кейти ; Ричардс, Пол Г. (2002). Количественная сейсмология (2-е изд.). Университетские научные книги. ISBN 0-935702-96-2 .
Фаулер, CMR (1990). Твердая земля . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38590-3 . S-волна.

[1] «Сейсмология | UPSeis | Мичиганский технологический институт» . Мичиганский технологический университет . Проверено 7 октября 2023 г.

[2] «Волна S» . Геологическая служба США . Архивировано из оригинала 22 июля 2021 года.

[3] «Почему S-волны не могут проходить через жидкости?» . Земная обсерватория Сингапура . Проверено 6 декабря 2019 г.

[4] Гринвуд, Маргарет Стаутберг; Бамбергер, Джудит Энн (август 2002 г.). «Измерение вязкости и скорости поперечной волны жидкости или суспензии для оперативного управления процессом». Ультразвук . 39 (9): 623–630. дои : 10.1016/s0041-624x(02)00372-4 . ПМИД 12206629 .

[5] «Поддерживают ли вязкие жидкости распространение сдвиговых волн?» . Исследовательские ворота . Проверено 6 декабря 2019 г. ^{[ ненадежный источник? ]}

[UIC-6] Университет Иллинойса в Чикаго (17 июля 1997 г.). «Лекция 16 Сейсмографы и недра Земли» . Архивировано из оригинала 7 мая 2002 года . Проверено 8 июня 2010 г.

[pois1831-7] Пуассон, С.Д. (1831 г.). «Воспоминания о распространении движения в упругих средах» . Мемуары Академии наук Института Франции (на французском языке). 10 :549–605. Из стр.595: " Мы легко увидим, что это сотрясение вызовет появление двух сферических волн, которые будут распространяться равномерно, одна со скоростью , другая со скоростью b или а / √3 а "... (Одну легко увидите, что это землетрясение породит две сферические волны, которые будут распространяться равномерно, одна со скоростью а , другая со скоростью Ь или а /√3...) Из стр.602: ..." à une big расстояние от первоначального сотрясения, и когда подвижные волны стали существенно плоскими в каждой очень малой части по сравнению со всей их поверхностью, остаются только специфические скорости молекул, нормальные или параллельные нормали этих поверхностей, имеющие место в волнах; первого вида, где они сопровождаются пропорциональными им расширениями, и параллельные скорости, принадлежащие волнам второго вида, где они не сопровождаются никаким расширением или уплотнением объема, а только линейными расширениями и сгущениями. «(...на большом расстоянии от первоначального землетрясения, и когда движущиеся волны становятся примерно плоскими в каждой крошечной части по отношению ко всей их поверхности, остаются [в упругом твердом теле Земли] только собственные молекулы скорости, нормальные или параллельные этим поверхностям; нормальные скорости возникают у волн первого типа, где они сопровождаются пропорциональными им расширениями, и параллельные скорости, принадлежащие волнам второго типа, где они не сопровождаются любое расширение или сжатие объема, но только путем линейного растяжения и сжатия.)

[:0-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с Руза; Дэн; Трутна; Пальмери; Найтингейл (май 2018 г.). «Характеристика вязкоупругих материалов с использованием скоростей групповых поперечных волн» . Институт инженеров электротехники и электроники . 65 (5): 780–794. дои : 10.1109/TUFFC.2018.2815505 . ПМЦ 5972540 . ПМИД 29733281 .

[9] Графф, Карл Ф. (26 апреля 2012 г.). Волновое движение в упругих телах . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-13957-9 .

[:1-10] Перейти обратно: ^а ^б Тветен, Деннис Дж.; Окамото, Рут Дж.; Шмидт, Джон Л.; Гарбоу, Джоэл Р.; Бэйли, Филип В. (ноябрь 2015 г.). «Оценка параметров материала по медленным и быстрым сдвиговым волнам в несжимаемом трансверсально-изотропном материале» . Журнал биомеханики . 48 (15): 4002–4009. дои : 10.1016/j.jbiomech.2015.09.009 . ПМЦ 4663187 . ПМИД 26476762 .

[11] «МР-эластография сдвиговой волной» . Университет здравоохранения штата Юта . 10 ноября 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]