Объемный модуль

Модуль объемной деформации ( $K$ или $B$ или $k$ ) вещества является мерой сопротивления вещества объемному сжатию . Оно определяется как отношение бесконечно малого увеличения давления к результирующему относительному уменьшению объема . ^[1]

Другие модули описывают реакцию материала ( деформацию ) на другие виды напряжения : модуль сдвига описывает реакцию на напряжение сдвига , а модуль Юнга описывает реакцию на нормальное (продольное растяжение) напряжение. Для жидкости имеет значение только модуль объемного сжатия. Для сложного анизотропного твердого тела, такого как дерево или бумага , эти три модуля не содержат достаточно информации для описания его поведения, и необходимо использовать полный обобщенный закон Гука . Обратная величина модуля объемного сжатия при фиксированной температуре называется изотермической сжимаемостью .

Определение [ править ]

Объемный модуль $K$ (который обычно положителен) может быть формально определен уравнением

K=-V{\frac {dP}{dV}},

где $P$ это давление, $V$ – начальный объем вещества, а $dP/dV$ обозначает производную давления по объему. Поскольку объем обратно пропорционален плотности, отсюда следует, что

K=\rho {\frac {dP}{d\rho }},

где $\rho$ - начальная плотность и $dP/d\rho$ обозначает производную давления по плотности. вещества Обратная величина модуля объемного сжатия дает сжимаемость . Обычно модуль объемного сжатия определяется при постоянной температуре как изотермический модуль объемного сжатия, но также может быть определен при постоянной энтропии как адиабатический модуль объемного сжатия.

Термодинамическое соотношение [ править ]

Строго говоря, модуль объемного сжатия является термодинамической величиной, и для задания модуля объемного сжатия необходимо указать, как изменяется давление при сжатии: постоянная температура (изотермическое $K_{T}$ ), константно- энтропийный ( изоэнтропический $K_{S}$ ), возможны и другие варианты. Такие различия особенно актуальны для газов .

Для идеального газа изоэнтропический процесс имеет:

PV^{\gamma }={\text{constant}}\Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\gamma },

где $\gamma$ - коэффициент теплоемкости . Следовательно, изэнтропический модуль объемного сжатия $K_{S}$ дается

K_{S}=\gamma P.

Аналогично изотермический процесс идеального газа имеет:

PV={\text{constant}}\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,

Следовательно, изотермический модуль объемного сжатия $K_{T}$ дается

K_{T}=P

.

Когда газ неидеален, эти уравнения дают лишь приближенное значение модуля объемного сжатия. В жидкости модуль объемного сжатия $K$ и плотность $\rho$ определить скорость звука $c$ ( волны давления ), по формуле Ньютона-Лапласа

c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.

В твердых телах, $K_{S}$ и $K_{T}$ имеют очень схожие ценности. Твердые тела также могут выдерживать поперечные волны : для этих материалов для определения скорости волн необходим еще один дополнительный модуль упругости , например модуль сдвига.

Измерение [ править ]

Модуль объемного сжатия можно измерить с помощью порошковой дифракции под приложенным давлением.Это свойство жидкости, которое показывает ее способность изменять свой объем под давлением.

Выбранные значения [ изменить ]

Приблизительный модуль объемной деформации ( K ) для распространенных материалов
Материал	Объемный модуль упругости в ГПа	Объемный модуль в Mpsi
Diamond (at 4K) ^[2]	443	64
Глинозем (γ-фаза) ^[3]	162 ± 14	23.5
Сталь	160	23.2
Известняк	65	9.4
Гранит	50	7.3
Стекло (см. также схему под таблицей)	от 35 до 55	5.8
Графит 2H ( монокристалл ) ^[4]	34	4.9
Хлорид натрия	24.42	3.542
Сланец	10	1.5
Мел	9	1.3
Резина ^[5]	от 1,5 до 2	от 0,22 до 0,29
Песчаник	0.7	0.1

Материал с модулем объемного сжатия 35 ГПа теряет один процент своего объема под воздействием внешнего давления 0,35 ГПа (~ 3500 бар ) (предполагается постоянный или слабо зависящий от давления модуль объемного сжатия).

Приблизительный модуль объемной деформации ( K ) для других веществ
β-нитрид углерода	427 ± 15 ГПа ^[7] (прогнозировано)
Вода	2,2 ГПа ( 0,32 МПа ) (значение увеличивается при более высоком давлении)
Метанол	823 МПа (при 20 °С и 1 Атм)
Твердый гелий	50 МПа (приблизительно)
Воздух	142 кПа (адиабатический модуль объемного сжатия [или изоэнтропический модуль объемного сжатия])
Воздух	101 кПа (изотермический модуль объемного сжатия)
Вселенная (пространство-время)	4.5 × 10 ³¹ Па (для типичных частот гравитационных волн 100 Гц) ^[8]

Микроскопическое происхождение [ править ]

потенциал и линейная упругость Межатомный

Поскольку линейная упругость является прямым результатом межатомного взаимодействия, она связана с растяжением/сжатием связей. Затем его можно вывести из межатомного потенциала кристаллических материалов. ^[9] Сначала рассмотрим потенциальную энергию двух взаимодействующих атомов. Начиная с очень дальних точек, они почувствуют влечение друг к другу. По мере их сближения их потенциальная энергия будет уменьшаться. С другой стороны, когда два атома находятся очень близко друг к другу, их общая энергия будет очень высокой из-за отталкивающего взаимодействия. Вместе эти потенциалы гарантируют межатомное расстояние, обеспечивающее минимальное энергетическое состояние. Это происходит на некотором расстоянии a ₀ , где полная сила равна нулю:

F=-{\partial U \over \partial r}=0

Где U — межатомный потенциал, а r — межатомное расстояние. Это означает, что атомы находятся в равновесии.

Чтобы распространить подход двух атомов на твердое тело, рассмотрим простую модель, скажем, одномерный массив из одного элемента с межатомным расстоянием a и равновесным расстоянием a ₀ . Его соотношение потенциальной энергии и межатомного расстояния имеет форму, аналогичную случаю двух атомов, которая достигает минимума при 0 _. Разложение Тейлора для этого имеет вид:

u(a)=u(a_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}+O\left((a-a_{0})^{3}\right)

В состоянии равновесия первая производная равна 0, поэтому доминирующим членом является квадратичный. Если смещение мало, члены более высокого порядка следует опустить. Выражение становится:

u(a)=u(a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}

F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})

Это явно линейная эластичность.

Обратите внимание, что вывод выполняется с учетом двух соседних атомов, поэтому коэффициент Хука равен:

K=a_{0}{dF \over dr}=a_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}

Эту форму можно легко расширить до трехмерного случая, когда вместо межатомного расстояния используется объем на атом (Ом).

K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ «Объемно-эластичные свойства» . гиперфизика . Государственный университет Джорджии.
^ Страница 52 книги « Введение в физику твердого тела , 8-е издание», 2005 г., Чарльза Киттеля ISBN 0-471-41526-X
^ Галлас, Марсия Р.; Пьермарини, Гаспер Дж. (1994). «Модуль объемной деформации и модуль Юнга нанокристаллического γ-оксида алюминия» . Журнал Американского керамического общества . 77 (11): 2917–2920. дои : 10.1111/j.1151-2916.1994.tb04524.x . ISSN 1551-2916 .
^ «Страница свойств графита Джона А. Ящака» . Pages.mtu.edu . Проверено 16 июля 2021 г.
^ «Силиконовая резина» . Материалы АЗО .
^ Флюгель, Александр. «Расчет объемного модуля стекол» . glassproperties.com .
^ Лю, AY; Коэн, ML (1989). «Прогнозирование новых твердых тел с низкой сжимаемостью». Наука. 245 (4920): 841–842.
^ Бо, MR (2018). «О природе пространства-времени, космологической инфляции и расширении Вселенной». Препринт. DOI:10.13140/RG.2.2.16796.95364
^ Х., Кортни, Томас (2013). Механическое поведение материалов (2-е изд. Ред. Реймпа). Нью-Дели: McGraw Hill Education (Индия). ISBN 978-1259027512 . OCLC 929663641 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Дальнейшее чтение [ править ]

Де Йонг, Мартен; Чен, Вэй (2015). «Диаграмма полных упругих свойств неорганических кристаллических соединений» . Научные данные . 2 : 150009. Бибкод : 2013NatSD...2E0009D . дои : 10.1038/sdata.2015.9 . ПМЦ 4432655 . ПМИД 25984348 .

Формулы преобразования
Однородные изотропные линейно-упругие материалы имеют упругие свойства, однозначно определяемые любыми двумя модулями из них; таким образом, по любым двум модулям упругости можно рассчитать любой другой из этих формул, приведённых как для 3D-материалов (первая часть таблицы), так и для 2D-материалов (вторая часть).
3D-формулы	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Примечания
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ Есть два верных решения. Знак плюс приводит к $\nu \geq 0$ . Знак минус приводит к $\nu \leq 0$ .
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Нельзя использовать, когда $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D-формулы	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Примечания
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Нельзя использовать, когда $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$

[1] «Объемно-эластичные свойства» . гиперфизика . Государственный университет Джорджии.

[2] Страница 52 книги « Введение в физику твердого тела , 8-е издание», 2005 г., Чарльза Киттеля ISBN 0-471-41526-X

[3] Галлас, Марсия Р.; Пьермарини, Гаспер Дж. (1994). «Модуль объемной деформации и модуль Юнга нанокристаллического γ-оксида алюминия» . Журнал Американского керамического общества . 77 (11): 2917–2920. дои : 10.1111/j.1151-2916.1994.tb04524.x . ISSN 1551-2916 .

[4] «Страница свойств графита Джона А. Ящака» . Pages.mtu.edu . Проверено 16 июля 2021 г.

[5] «Силиконовая резина» . Материалы АЗО .

[6] Флюгель, Александр. «Расчет объемного модуля стекол» . glassproperties.com .

[7] Лю, AY; Коэн, ML (1989). «Прогнозирование новых твердых тел с низкой сжимаемостью». Наука. 245 (4920): 841–842.

[8] Бо, MR (2018). «О природе пространства-времени, космологической инфляции и расширении Вселенной». Препринт. DOI:10.13140/RG.2.2.16796.95364

[9] Х., Кортни, Томас (2013). Механическое поведение материалов (2-е изд. Ред. Реймпа). Нью-Дели: McGraw Hill Education (Индия). ISBN 978-1259027512 . OCLC 929663641 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]