коэффициент Пуассона

В материаловедении и механике твердого тела направлению коэффициент Пуассона $ν$ ( nu ) является мерой эффекта Пуассона , деформации (расширения или сжатия) материала в направлениях, перпендикулярных определенному нагрузки . Значение коэффициента Пуассона является отрицательным значением отношения поперечной деформации к осевой деформации . Для небольших значений этих изменений $ν$ — это величина поперечного удлинения, деленная на величину осевого сжатия . Большинство материалов имеют значения коэффициента Пуассона в диапазоне от 0,0 до 0,5. Для мягких материалов ^{[ 1 ]} например, резины, где модуль объемного сжатия намного выше модуля сдвига, коэффициент Пуассона составляет около 0,5. Для полимерных пенопластов с открытыми порами коэффициент Пуассона близок к нулю, поскольку ячейки имеют тенденцию разрушаться при сжатии. Многие типичные твердые вещества имеют коэффициент Пуассона в диапазоне от 0,2 до 0,3. Соотношение названо в честь французского математика и физика Симеона Пуассона .

Источник

Коэффициент Пуассона — это мера эффекта Пуассона, явления, при котором материал имеет тенденцию расширяться в направлениях, перпендикулярных направлению сжатия. И наоборот, если материал растягивается, а не сжимается, он обычно имеет тенденцию сжиматься в направлениях, поперечных направлению растяжения. Обычное наблюдение: когда резинку растягивают, она становится заметно тоньше. Опять же, коэффициент Пуассона будет отношением относительного сжатия к относительному расширению и будет иметь то же значение, что и выше. В некоторых редких случаях ^{[ 2 ]} материал фактически сжимается в поперечном направлении при сжатии (или расширяется при растяжении), что приводит к отрицательному значению коэффициента Пуассона.

Коэффициент Пуассона стабильного, изотропного , линейно- эластичного материала должен находиться в диапазоне от -1,0 до +0,5 из-за требования, чтобы модуль Юнга , модуль сдвига и модуль объемного сжатия имели положительные значения. ^{[ 3 ]} Большинство материалов имеют значения коэффициента Пуассона в диапазоне от 0,0 до 0,5. Совершенно несжимаемый изотропный материал, упруго деформируемый при малых деформациях, будет иметь коэффициент Пуассона ровно 0,5. Большинство сталей и жестких полимеров при использовании в пределах своих расчетных пределов (до предела текучести ) имеют значения около 0,3, увеличиваясь до 0,5 при деформации после текучести, которая происходит в основном при постоянном объеме. ^{[ 4 ]} Резина имеет коэффициент Пуассона около 0,5. Коэффициент Пуассона Корка близок к 0, демонстрируя очень небольшое поперечное расширение при сжатии, а коэффициент Пуассона составляет от 0,18 до 0,30. Некоторые материалы, например пенопласт, складки оригами, ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} а некоторые клетки могут иметь отрицательный коэффициент Пуассона и называются ауксетиками . Если эти ауксетики растянуть в одном направлении, они станут толще в перпендикулярном направлении. Напротив, некоторые анизотропные материалы, такие как углеродные нанотрубки , зигзагообразные листовые материалы, ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} и сотовые ауксетики метаматериалы ^{[ 9 ]} и это лишь некоторые из них, могут иметь один или несколько коэффициентов Пуассона выше 0,5 в определенных направлениях.

Предполагая, что материал растягивается или сжимается только в одном направлении ( $ось X$ на диаграмме ниже):

\nu =-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {trans} }}{d\varepsilon _{\mathrm {axial} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {y} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {z} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}

где

$ν$ — результирующий коэффициент Пуассона,
$ε trans$ — поперечная деформация
$ε axis$ — осевая деформация

и положительная деформация указывает на растяжение, а отрицательная деформация указывает на сокращение.

Коэффициент Пуассона от изменения геометрии

Изменение длины

**Рисунок 1** : Куб со сторонами длиной $L$ из изотропного линейно упругого материала, подверженного растяжению вдоль оси x, с коэффициентом Пуассона 0,5. Зеленый куб не деформирован, красный расширяется в $направлении x$ на $Δ L$ из-за напряжения и сжимается в $направлениях y$ и $z$ на $Δ L'$ .

Для куба, растянутого в $направлении x$ (см. рисунок 1) с увеличением длины на $Δ L$ в $направлении x$ и уменьшением длины на $Δ L'$ в $направлениях y$ и $z$ , заданы бесконечно малые диагональные деформации. к

d\varepsilon _{x}={\frac {dx}{x}},\qquad d\varepsilon _{y}={\frac {dy}{y}},\qquad d\varepsilon _{z}={\frac {dz}{z}}.

Если коэффициент Пуассона постоянен из-за деформации, интегрирование этих выражений и использование определения коэффициента Пуассона дает

-\nu \int _{L}^{L+\Delta L}{\frac {dx}{x}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dy}{y}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dz}{z}}.

Решая и возводя в степень, тогда связь между $Δ L$ и $Δ L'$ будет равна

\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{-\nu }=1+{\frac {\Delta L'}{L}}.

Для очень малых значений $Δ L$ и $Δ L'$ приближение первого порядка дает:

\nu \approx -{\frac {\Delta L'}{\Delta L}}.

Объемное изменение

Относительное изменение объема $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}Теперь можно рассчитать ⁠ ⁠ ⁠ V / V ⁠$ куба из-за растяжения материала. Поскольку $V = L 3$ и

V+\Delta V=(L+\Delta L)\left(L+\Delta L'\right)^{2}

можно вывести

{\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)\left(1+{\frac {\Delta L'}{L}}\right)^{2}-1

Используя полученное выше соотношение между $Δ L$ и $Δ L'$ :

{\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{1-2\nu }-1

и для очень малых значений $Δ L$ и $Δ L'$ приближение первого порядка дает:

{\frac {\Delta V}{V}}\approx (1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}

Для изотропных материалов мы можем использовать соотношение Ламе ^{[ 10 ]}

\nu \approx {\frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}

где $K$ — модуль объемного сжатия , а $E$ — модуль Юнга .

Изменение ширины

Если стержень диаметром (или шириной, или толщиной) $d$ и длиной $L$ подвергнут растяжению так, что его длина изменится на $Δ L$ , то его диаметр $d$ изменится на:

{\frac {\Delta d}{d}}=-\nu {\frac {\Delta L}{L}}

Приведенная выше формула справедлива только в случае малых деформаций; если деформации большие, то можно использовать следующую (более точную) формулу:

\Delta d=-d\left(1-{\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)}^{-\nu }\right)

где

$d$ - первоначальный диаметр
$Δd -$ изменение диаметра стержня
$ν$ - коэффициент Пуассона
$L$ — исходная длина до растяжения.
$Δ L$ – изменение длины.

Значение отрицательное, поскольку оно уменьшается с увеличением длины.

Характерные материалы

изотропный

Для линейного изотропного материала, подвергающегося только сжимающим (то есть нормальным) силам, деформация материала в направлении одной оси приведет к деформации материала вдоль другой оси в трех измерениях. Таким образом, можно обобщить закон Гука (для сжимающих сил) на три измерения:

{\begin{aligned}\varepsilon _{xx}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{xx}-\nu \left(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{yy}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{yy}-\nu \left(\sigma _{zz}+\sigma _{xx}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{zz}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{zz}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}\right)\right]\end{aligned}}

^{[ нужна ссылка ]}

где:

$ε xx$ , $ε yy$ и $ε zz$ являются деформациями в направлении $x$ , $y$ и $z.$
$σ xx$ , $σ yy$ и $σ zz$ — напряжения в направлении $x$ , $y$ и $z.$
$E$ — модуль Юнга (одинаков во всех направлениях для изотропных материалов).
$ν$ — коэффициент Пуассона (одинаков во всех направлениях для изотропных материалов)

все эти уравнения могут быть синтезированы следующим образом:

\varepsilon _{ii}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ii}(1+\nu )-\nu \sum _{k}\sigma _{kk}\right]

В самом общем случае касательные напряжения будут сохраняться так же, как и нормальные напряжения, а полное обобщение закона Гука дается формулой:

\varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sum _{k}\sigma _{kk}\right]

где $δij Кронекера$ — дельта . обозначения Эйнштейна Обычно принимаются :

\sigma _{kk}\equiv \sum _{l}\delta _{kl}\sigma _{kl}

записать уравнение просто так:

\varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}\right]

Анизотропный

Для анизотропных материалов коэффициент Пуассона зависит от направления растяжения и поперечной деформации.

{\begin{aligned}\nu (\mathbf {n} ,\mathbf {m} )&=-E\left(\mathbf {n} \right)s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}m_{\alpha }m_{\beta }\\[4px]E^{-1}(\mathbf {n} )&=s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}n_{\alpha }n_{\beta }\end{aligned}}

Здесь $ν$ — коэффициент Пуассона, $E$ — модуль Юнга , $n$ — единичный вектор, направленный вдоль направления растяжения, $m$ — единичный вектор, направленный перпендикулярно направлению растяжения. Коэффициент Пуассона имеет различное количество особых направлений в зависимости от типа анизотропии. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

ортотропный

Ортотропные материалы имеют три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии в своих материальных свойствах. Примером может служить древесина, которая наиболее жесткая (и прочная) вдоль волокон и менее жесткая в других направлениях.

Тогда закон Гука можно выразить в матричной форме как ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

{\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}

где

$E i$ - модуль Юнга вдоль оси $i.$
$G ij$ — модуль сдвига в направлении $j$ на плоскости, нормаль которой лежит в направлении $i.$
$ν ij$ — коэффициент Пуассона, который соответствует сжатию в направлении $j,$ когда расширение применяется в направлении $i$ .

Коэффициент Пуассона ортотропного материала различен в каждом направлении ( $x$ , $y$ и $z$ ). Однако симметрия тензоров напряжений и деформаций подразумевает, что не все шесть коэффициентов Пуассона в уравнении независимы. Существует только девять независимых свойств материала: три модуля упругости, три модуля сдвига и три коэффициента Пуассона. Остальные три коэффициента Пуассона можно получить из соотношений

{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}

Из приведенных выше соотношений мы видим, что если $E x > E y$ , то $ν xy > ν yx$ . Больший коэффициент (в данном случае $ν xy$ ) называется основным коэффициентом Пуассона , а меньший (в данном случае $ν yx$ ) называется малым коэффициентом Пуассона . Аналогичные соотношения мы можем найти и между другими коэффициентами Пуассона.

Трансверсально изотропный

Трансверсально-изотропные материалы имеют плоскость изотропии , в которой упругие свойства изотропны. Если предположить, что этой плоскостью изотропии является $yz$ -плоскость, то закон Гука примет вид ^{[ 15 ]}

{\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {yz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {zx}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}

где мы использовали $yz$ -плоскость изотропии, чтобы уменьшить количество констант, то есть

E_{y}=E_{z},\qquad \nu _{xy}=\nu _{xz},\qquad \nu _{yx}=\nu _{zx}.

.

Из симметрии тензоров напряжений и деформаций следует, что

{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}={\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}},\qquad \nu _{yz}=\nu _{zy}.

Это оставляет нам шесть независимых констант $E x$ , $E y$ , $G xy$ , $G yz$ , $ν xy$ , $ν yz$ . Однако поперечная изотропия приводит к дополнительному ограничению между $G yz$ и $E y$ , $ν yz,$ которое

G_{yz}={\frac {E_{y}}{2\left(1+\nu _{yz}\right)}}.

Таким образом, существует пять независимых свойств упругого материала, два из которых являются коэффициентами Пуассона. Для предполагаемой плоскости симметрии больший из $ν xy$ и $ν yx$ является основным коэффициентом Пуассона. Остальные основные и второстепенные коэффициенты Пуассона равны.

Значения коэффициента Пуассона для разных материалов

Материал	коэффициент Пуассона
резина	0.4999 ^{[ 17 ]}
золото	0.42–0.44
насыщенная глина	0.40–0.49
магний	0.252–0.289
титан	0.265–0.34
медь	0.33
алюминиевый сплав	0.32
глина	0.30–0.45
нержавеющая сталь	0.30–0.31
сталь	0.27–0.30
чугун	0.21–0.26
песок	0.20–0.455
конкретный	0.1–0.2
стекло	0.18–0.3
металлические очки	0.276–0.409 ^{[ 18 ]}
мыло	0.10–0.50
пробка	0.0

Материал	Плоскость симметрии	$ν ху$	$ν yx$	$ν ыз$	$ν зы$	$п зх$	$ν хз$
Nomex Сотовый заполнитель	$xy$ , лента в $x$ направлении	0.49	0.69	0.01	2.75	3.88	0.01
из стекловолокна эпоксидная смола	$ху$	0.29	0.32	0.06	0.06	0.32

Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона

Некоторые материалы, известные как ауксетики , имеют отрицательный коэффициент Пуассона. При воздействии положительной деформации по продольной оси поперечная деформация материала фактически будет положительной (т. е. она увеличит площадь поперечного сечения). Для этих материалов это обычно происходит из-за уникально ориентированных шарнирных молекулярных связей. Чтобы эти связи растягивались в продольном направлении, петли должны «открываться» в поперечном направлении, эффективно демонстрируя положительную деформацию. ^{[ 19 ]} Это также можно сделать структурированным образом и привести к новым аспектам в дизайне материалов, например, в отношении механических метаматериалов .

Исследования показали, что некоторые породы твердой древесины демонстрируют отрицательный коэффициент Пуассона исключительно во время испытания на ползучесть при сжатии . ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]} Первоначально испытание на ползучесть при сжатии показывает положительные коэффициенты Пуассона, но постепенно снижается, пока не достигнет отрицательных значений. Следовательно, это также показывает, что коэффициент Пуассона для древесины зависит от времени при постоянной нагрузке, а это означает, что деформации в осевом и поперечном направлениях не увеличиваются с одинаковой скоростью.

Среды с искусственно созданной микроструктурой могут иметь отрицательный коэффициент Пуассона. В простом случае ауксетичность достигается удалением материала и созданием периодической пористой среды. ^{[ 22 ]} Решетки могут достигать более низких значений коэффициента Пуассона, ^{[ 23 ]} которое может быть бесконечно близко к предельному значению −1 в изотропном случае. ^{[ 24 ]}

Более трехсот кристаллических материалов имеют отрицательный коэффициент Пуассона. ^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}^{[ 27 ]} Например, Li, Na, K, Cu, Rb, Ag, Fe, Ni, Co, Cs, Au, Be, Ca, Zn Sr, Sb, MoS ₂ и другие.

Функция Пуассона

При конечных деформациях взаимосвязь между поперечными и осевыми деформациями $ε trans$ и $ε axis$ обычно плохо описывается коэффициентом Пуассона. Фактически, коэффициент Пуассона часто считают функцией приложенной деформации в режиме большой деформации. В таких случаях коэффициент Пуассона заменяется функцией Пуассона, для которой существует несколько конкурирующих определений. ^{[ 28 ]} При определении поперечного растяжения $λ trans = ε trans + 1$ и осевого растяжения $λ axis = ε axis + 1$ , где поперечное растяжение является функцией осевого растяжения, наиболее распространенными являются функции Хенки, Био, Грина и Альманси:

{\begin{aligned}\nu ^{\text{Hencky}}&=-{\frac {\ln \lambda _{\text{trans}}}{\ln \lambda _{\text{axial}}}}\\[6pt]\nu ^{\text{Biot}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}}{\lambda _{\text{axial}}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Green}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}^{2}}{\lambda _{\text{axial}}^{2}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Almansi}}&={\frac {\lambda _{\text{trans}}^{-2}-1}{1-\lambda _{\text{axial}}^{-2}}}\end{aligned}}

Приложения эффекта Пуассона

Одной из областей, на которую эффект Пуассона оказывает значительное влияние, является поток в трубах под давлением. Когда воздух или жидкость внутри трубы находится под высоким давлением, они оказывают равномерное воздействие на внутреннюю часть трубы, что приводит к кольцевому напряжению в материале трубы. Из-за эффекта Пуассона это окружное напряжение приведет к увеличению диаметра трубы и небольшому уменьшению ее длины. Уменьшение длины, в частности, может оказать заметное влияние на соединения труб, поскольку эффект будет накапливаться для каждой секции трубы, соединенной последовательно. Зафиксированный сустав может быть разорван или иным образом подвержен разрушению. ^{[ нужна ссылка ]}

Другая область применения эффекта Пуассона находится в области структурной геологии . Камни, как и большинство материалов, в состоянии стресса подвержены эффекту Пуассона. В геологическом масштабе времени чрезмерная эрозия или седиментация земной коры может либо создать, либо устранить большие вертикальные напряжения в подстилающих породах. Эта порода будет расширяться или сжиматься в вертикальном направлении в результате приложенного напряжения, а также деформироваться в горизонтальном направлении в результате эффекта Пуассона. Это изменение деформации в горизонтальном направлении может повлиять на трещины и дремлющие напряжения в породе или сформировать их. ^{[ 29 ]}

Хотя исторически пробка выбиралась для запечатывания винных бутылок по другим причинам (в том числе из-за ее инертной природы, непроницаемости, гибкости, способности к укупорке и устойчивости), ^{[ 30 ]} Нулевой коэффициент Пуассона Корка дает еще одно преимущество. Когда пробка вставляется в бутылку, еще не вставленная верхняя часть не расширяется в диаметре, поскольку сжимается в осевом направлении. Сила, необходимая для вставки пробки в бутылку, возникает только за счет трения между пробкой и бутылкой из-за радиального сжатия пробки. Если бы стопор был изготовлен, например, из резины (с коэффициентом Пуассона около +0,5), то для преодоления радиального расширения верхней части резинового стопора потребовалась бы сравнительно большая дополнительная сила.

Большинству автомехаников известно, что трудно стянуть резиновый шланг (например, шланг охлаждающей жидкости) с патрубка металлической трубы, так как натяжение при натяжении приводит к уменьшению диаметра шланга, плотно сжимая патрубок. (Это тот же эффект, что и в китайской ловушке для пальцев .) Шланги легче снять с заглушек, используя вместо этого широкое плоское лезвие.

См. также

Ссылки

^ Для мягких материалов модуль объемного сжатия ( $K$ ) обычно больше по сравнению с модулем сдвига ( $G$ ), поэтому их можно считать несжимаемыми, поскольку легче изменить форму, чем сжать. Это приводит к тому, что модуль Юнга ( $E$ ) равен $E = 3 G$ и, следовательно, $ν = 0,5$ . Ястржебский, Д. (1959). Природа и свойства инженерных материалов (изд. Wiley International). Джон Уайли и сыновья, Inc.
^ Лейкс, Р.; Войцеховский, К.В. (2008). «Отрицательная сжимаемость, отрицательный коэффициент Пуассона и стабильность». Физический статус Solidi B. 245 (3): 545–551. Бибкод : 2008PSSBR.245..545L . дои : 10.1002/pssb.200777708 .
^ Герчек, Х. (январь 2007 г.). «Значения коэффициента Пуассона для горных пород». Международный журнал механики горных пород и горных наук . 44 (1): 1–13. Бибкод : 2007IJRMM..44....1G . дои : 10.1016/j.ijrmms.2006.04.011 .
^ Парк, RJT Сейсмические характеристики бетонных свай в стальной оболочке . ^{[ нужна полная цитата ]}
^ Марк, Шенк (2011). Складчатые оболочечные конструкции, кандидатская диссертация (PDF) . Кембриджский университет, Клэр-колледж.
^ Вэй, З.Ы.; Го, З.В.; Дудте, Л.; Лян, Хай; Махадеван, Л. (21 мая 2013 г.). «Геометрическая механика периодического плиссированного оригами» (PDF) . Письма о физических отзывах . 110 (21): 215501. arXiv : 1211.6396 . Бибкод : 2013PhRvL.110u5501W . doi : 10.1103/PhysRevLett.110.215501 . ПМИД 23745895 . S2CID 9145953 .
^ Эйдини, Марьям; Паулино, Главио Х. (2015). «Раскрытие свойств метаматериала в сложенных зигзагообразными листами» . Достижения науки . 1 (8): e1500224. arXiv : 1502.05977 . Бибкод : 2015SciA....1E0224E . дои : 10.1126/sciadv.1500224 . ISSN 2375-2548 . ПМЦ 4643767 . ПМИД 26601253 .
^ Эйдини, Марьям (2016). «Зигзагообразные листовые ячеистые механические метаматериалы со складками». Письма по экстремальной механике . 6 : 96–102. arXiv : 1509.08104 . Бибкод : 2016ExML....6...96E . дои : 10.1016/j.eml.2015.12.006 . S2CID 118424595 .
^ Мусанежад, Давуд; Бабаи, Спутник; Авраам, Хамид; Гош, Ранаджай; Хамуда, Абдельмагид Салем; Бертольди, Катя; Вазири, Ашкан (16 декабря 2015 г.). «Иерархические сотовые ауксетические метаматериалы» . Научные отчеты 5 : 18306. Бибкод : 2015НатСР... 518306M дои : 10.1038/srep18306 . ISSN 2045-2322 . ПМЦ 4680941 . ПМИД 26670417 .
^ Мотт, штат Пенсильвания; Роланд, CM (3 апреля 2012 г.). «Пределы коэффициента Пуассона в изотропных материалах - общий результат для произвольной деформации». Физика Скрипта . 87 (5). Химический отдел Военно-морской исследовательской лаборатории: 055404. arXiv : 1204.3859 . дои : 10.1088/0031-8949/87/05/055404 . S2CID 55920779 .
^ Епишин А.И.; Лисовенко, Д.С. (2016). «Предельные значения коэффициента Пуассона кубических кристаллов». Техническая физика . 61 (10): 1516–1524. Бибкод : 2016JTePh..61.1516E . дои : 10.1016/j.mechmat.2019.03.017 . S2CID 140493258 .
^ Городцов В.А.; Лисовенко, Д.С. (2019). «Экстремальные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона гексагональных кристаллов». Механика материалов . 134 : 1–8. Бибкод : 2019МечМ.134....1Г . дои : 10.1016/j.mechmat.2019.03.017 . S2CID 140493258 .
^ Борези, AP; Шмидт, Р.Дж.; Сайдботтом, ОМ (1993). Расширенная механика материалов . Уайли. ^{[ нужна страница ]}
^ Лехницкий, С.Г. (1981). Теория упругости анизотропного упругого тела . Издательство «Мир». п. 36.
^ Тан, Южная Каролина (1994). Концентрации напряжений в слоистых композитах . Ланкастер, Пенсильвания: Издательская компания Technomic. ^{[ нужна страница ]}
^ Флюгель, Александр. «Расчет коэффициента Пуассона для очков» . www.glassproperties.com . Архивировано из оригинала 23 октября 2017 года . Проверено 28 апреля 2018 г.
^ П.Х. Мотт; CM Роланд (20 октября 2009 г.). «Пределы коэффициента Пуассона в изотропных материалах» (PDF) . Физический обзор B . 80 (13): 132104. arXiv : 0909.4697 . Бибкод : 2009PhRvB..80m2104M . дои : 10.1103/PhysRevB.80.132104 . Архивировано (PDF) из оригинала 31 октября 2014 г. Проверено 24 сентября 2014 г. {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Журнал прикладной физики 110, 053521 (2011).
^ Озера, Род. «Отрицательный коэффициент Пуассона» . silver.neep.wisc.edu . Архивировано из оригинала 16 февраля 2018 года . Проверено 28 апреля 2018 г.
^ Озыгар, Томаш; Геринг, Стефан; Нимц, Питер (март 2013 г.). «Вязкоупругие характеристики древесины: зависимость ортотропной податливости при растяжении и сжатии от времени» . Журнал реологии . 57 (2): 699–717. Бибкод : 2013JRheo..57..699O . дои : 10.1122/1.4790170 . ISSN 0148-6055 .
^ Цзян, Цзяли; Эрик Валентайн, Бахтиар; Лу, Цзяньсюн; Нимц, Питер (01 ноября 2016 г.). «Зависимость от времени модуля Юнга ортотропного сжатия и коэффициента Пуассона древесины китайской ели» (PDF) . Хольцфоршунг . 70 (11): 1093–1101. дои : 10.1515/hf-2016-0001 . hdl : 20.500.11850/122097 . ISSN 1437-434X . S2CID 137799672 .
^ Карта, Джорджио; Брун, Мишель; Балди, Антонио (2016). «Проектирование пористого материала с изотропным отрицательным коэффициентом Пуассона». Механика материалов . 97 : 67–75. Бибкод : 2016МехМ..97...67С . дои : 10.1016/j.mechmat.2016.02.012 .
^ Кабрас, Луиджи; Брун, Мишель (2016). «Класс ауксетических трехмерных решеток» . Журнал механики и физики твердого тела . 91 : 56–72. arXiv : 1506.04919 . Бибкод : 2016JMPSo..91...56C . дои : 10.1016/j.jmps.2016.02.010 . S2CID 85547530 .
^ Кабрас, Луиджи; Брун, Мишель (2014). «Ауксетические двумерные решетки с коэффициентом Пуассона, сколь угодно близким к -1». Труды Королевского общества А. 470 (2172): 20140538.arXiv : 1407.5679 . Бибкод : 2014RSPSA.47040538C . дои : 10.1098/rspa.2014.0538 . S2CID 119321604 .
^ Гольдштейн, Р.В.; Городцов В.А.; Лисовенко, Д.С. (2013). «Классификация кубических ауксетиков». Физический статус Solidi B. 250 (10): 2038–2043. Бибкод : 2013ПССБР.250.2038Г . дои : 10.1002/pssb.201384233 . S2CID 117802510 .
^ Гольдштейн, Р.В.; Городцов В.А.; Лисовенко, Д.С. (2011). «Изменчивость упругих свойств гексагональных ауксетиков». Доклады Физики . 56 (12): 602–605. дои : 10.1134/S1028335811120019 . S2CID 120998323 .
^ Гольдштейн, Р.В.; Городцов В.А.; Лисовенко, Д.С.; Волков, М.А. (2015). «Ауксетики среди 6-константных тетрагональных кристаллов» . Письма о материалах . 5 (4): 409–413. дои : 10.22226/2410-3535-2015-4-409-413 .
^ Михай, Луизиана ; Гориели, А. (3 ноября 2017 г.). «Как охарактеризовать нелинейно-упругий материал? Обзор нелинейных основных параметров изотропной конечной упругости» . Труды Королевского общества А. 473 (2207): 20170607. Бибкод : 2017RSPSA.47370607M . дои : 10.1098/rspa.2017.0607 . ПМК 5719638 . ПМИД 29225507 .
^ «Конспекты лекций по структурной геологии – эффективное напряжение» . Проверено 03 июля 2019 г.
^ Сильва и др. «Пробка: свойства, возможности и применение». Архивировано 9 августа 2017 г. на Wayback Machine , дата обращения 4 мая 2017 г.

Внешние ссылки

Формулы преобразования
Однородные изотропные линейно-упругие материалы имеют упругие свойства, однозначно определяемые любыми двумя модулями из них; таким образом, учитывая любые два, любой другой из модулей упругости можно рассчитать по этим формулам, приведенным как для 3D-материалов (первая часть таблицы), так и для 2D-материалов (вторая часть).
3D formulae	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Примечания
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ Есть два верных решения. Знак плюс приводит к $\nu \geq 0$ . Знак минус приводит к $\nu \leq 0$ .
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Нельзя использовать, когда $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D-формулы	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Примечания
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Нельзя использовать, когда $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$

[1] Для мягких материалов модуль объемного сжатия ( $K$ ) обычно больше по сравнению с модулем сдвига ( $G$ ), поэтому их можно считать несжимаемыми, поскольку легче изменить форму, чем сжать. Это приводит к тому, что модуль Юнга ( $E$ ) равен $E = 3 G$ и, следовательно, $ν = 0,5$ . Ястржебский, Д. (1959). Природа и свойства инженерных материалов (изд. Wiley International). Джон Уайли и сыновья, Inc.

[lakes-2] Лейкс, Р.; Войцеховский, К.В. (2008). «Отрицательная сжимаемость, отрицательный коэффициент Пуассона и стабильность». Физический статус Solidi B. 245 (3): 545–551. Бибкод : 2008PSSBR.245..545L . дои : 10.1002/pssb.200777708 .

[3] Герчек, Х. (январь 2007 г.). «Значения коэффициента Пуассона для горных пород». Международный журнал механики горных пород и горных наук . 44 (1): 1–13. Бибкод : 2007IJRMM..44....1G . дои : 10.1016/j.ijrmms.2006.04.011 .

[4] Парк, RJT Сейсмические характеристики бетонных свай в стальной оболочке . ^{[ нужна полная цитата ]}

[5] Марк, Шенк (2011). Складчатые оболочечные конструкции, кандидатская диссертация (PDF) . Кембриджский университет, Клэр-колледж.

[6] Вэй, З.Ы.; Го, З.В.; Дудте, Л.; Лян, Хай; Махадеван, Л. (21 мая 2013 г.). «Геометрическая механика периодического плиссированного оригами» (PDF) . Письма о физических отзывах . 110 (21): 215501. arXiv : 1211.6396 . Бибкод : 2013PhRvL.110u5501W . doi : 10.1103/PhysRevLett.110.215501 . ПМИД 23745895 . S2CID 9145953 .

[:0-7] Эйдини, Марьям; Паулино, Главио Х. (2015). «Раскрытие свойств метаматериала в сложенных зигзагообразными листами» . Достижения науки . 1 (8): e1500224. arXiv : 1502.05977 . Бибкод : 2015SciA....1E0224E . дои : 10.1126/sciadv.1500224 . ISSN 2375-2548 . ПМЦ 4643767 . ПМИД 26601253 .

[8] Эйдини, Марьям (2016). «Зигзагообразные листовые ячеистые механические метаматериалы со складками». Письма по экстремальной механике . 6 : 96–102. arXiv : 1509.08104 . Бибкод : 2016ExML....6...96E . дои : 10.1016/j.eml.2015.12.006 . S2CID 118424595 .

[9] Мусанежад, Давуд; Бабаи, Спутник; Авраам, Хамид; Гош, Ранаджай; Хамуда, Абдельмагид Салем; Бертольди, Катя; Вазири, Ашкан (16 декабря 2015 г.). «Иерархические сотовые ауксетические метаматериалы» . Научные отчеты 5 : 18306. Бибкод : 2015НатСР... 518306M дои : 10.1038/srep18306 . ISSN 2045-2322 . ПМЦ 4680941 . ПМИД 26670417 .

[10] Мотт, штат Пенсильвания; Роланд, CM (3 апреля 2012 г.). «Пределы коэффициента Пуассона в изотропных материалах - общий результат для произвольной деформации». Физика Скрипта . 87 (5). Химический отдел Военно-морской исследовательской лаборатории: 055404. arXiv : 1204.3859 . дои : 10.1088/0031-8949/87/05/055404 . S2CID 55920779 .

[11] Епишин А.И.; Лисовенко, Д.С. (2016). «Предельные значения коэффициента Пуассона кубических кристаллов». Техническая физика . 61 (10): 1516–1524. Бибкод : 2016JTePh..61.1516E . дои : 10.1016/j.mechmat.2019.03.017 . S2CID 140493258 .

[12] Городцов В.А.; Лисовенко, Д.С. (2019). «Экстремальные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона гексагональных кристаллов». Механика материалов . 134 : 1–8. Бибкод : 2019МечМ.134....1Г . дои : 10.1016/j.mechmat.2019.03.017 . S2CID 140493258 .

[Boresi-13] Борези, AP; Шмидт, Р.Дж.; Сайдботтом, ОМ (1993). Расширенная механика материалов . Уайли. ^{[ нужна страница ]}

[Lekh-14] Лехницкий, С.Г. (1981). Теория упругости анизотропного упругого тела . Издательство «Мир». п. 36.

[Tan-15] Тан, Южная Каролина (1994). Концентрации напряжений в слоистых композитах . Ланкастер, Пенсильвания: Издательская компания Technomic. ^{[ нужна страница ]}

[16] Флюгель, Александр. «Расчет коэффициента Пуассона для очков» . www.glassproperties.com . Архивировано из оригинала 23 октября 2017 года . Проверено 28 апреля 2018 г.

[polymerphysics.net-17] П.Х. Мотт; CM Роланд (20 октября 2009 г.). «Пределы коэффициента Пуассона в изотропных материалах» (PDF) . Физический обзор B . 80 (13): 132104. arXiv : 0909.4697 . Бибкод : 2009PhRvB..80m2104M . дои : 10.1103/PhysRevB.80.132104 . Архивировано (PDF) из оригинала 31 октября 2014 г. Проверено 24 сентября 2014 г. {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[18] Журнал прикладной физики 110, 053521 (2011).

[19] Озера, Род. «Отрицательный коэффициент Пуассона» . silver.neep.wisc.edu . Архивировано из оригинала 16 февраля 2018 года . Проверено 28 апреля 2018 г.

[20] Озыгар, Томаш; Геринг, Стефан; Нимц, Питер (март 2013 г.). «Вязкоупругие характеристики древесины: зависимость ортотропной податливости при растяжении и сжатии от времени» . Журнал реологии . 57 (2): 699–717. Бибкод : 2013JRheo..57..699O . дои : 10.1122/1.4790170 . ISSN 0148-6055 .

[21] Цзян, Цзяли; Эрик Валентайн, Бахтиар; Лу, Цзяньсюн; Нимц, Питер (01 ноября 2016 г.). «Зависимость от времени модуля Юнга ортотропного сжатия и коэффициента Пуассона древесины китайской ели» (PDF) . Хольцфоршунг . 70 (11): 1093–1101. дои : 10.1515/hf-2016-0001 . hdl : 20.500.11850/122097 . ISSN 1437-434X . S2CID 137799672 .

[22] Карта, Джорджио; Брун, Мишель; Балди, Антонио (2016). «Проектирование пористого материала с изотропным отрицательным коэффициентом Пуассона». Механика материалов . 97 : 67–75. Бибкод : 2016МехМ..97...67С . дои : 10.1016/j.mechmat.2016.02.012 .

[23] Кабрас, Луиджи; Брун, Мишель (2016). «Класс ауксетических трехмерных решеток» . Журнал механики и физики твердого тела . 91 : 56–72. arXiv : 1506.04919 . Бибкод : 2016JMPSo..91...56C . дои : 10.1016/j.jmps.2016.02.010 . S2CID 85547530 .

[24] Кабрас, Луиджи; Брун, Мишель (2014). «Ауксетические двумерные решетки с коэффициентом Пуассона, сколь угодно близким к -1». Труды Королевского общества А. 470 (2172): 20140538.arXiv : 1407.5679 . Бибкод : 2014RSPSA.47040538C . дои : 10.1098/rspa.2014.0538 . S2CID 119321604 .

[25] Гольдштейн, Р.В.; Городцов В.А.; Лисовенко, Д.С. (2013). «Классификация кубических ауксетиков». Физический статус Solidi B. 250 (10): 2038–2043. Бибкод : 2013ПССБР.250.2038Г . дои : 10.1002/pssb.201384233 . S2CID 117802510 .

[26] Гольдштейн, Р.В.; Городцов В.А.; Лисовенко, Д.С. (2011). «Изменчивость упругих свойств гексагональных ауксетиков». Доклады Физики . 56 (12): 602–605. дои : 10.1134/S1028335811120019 . S2CID 120998323 .

[27] Гольдштейн, Р.В.; Городцов В.А.; Лисовенко, Д.С.; Волков, М.А. (2015). «Ауксетики среди 6-константных тетрагональных кристаллов» . Письма о материалах . 5 (4): 409–413. дои : 10.22226/2410-3535-2015-4-409-413 .

[28] Михай, Луизиана ; Гориели, А. (3 ноября 2017 г.). «Как охарактеризовать нелинейно-упругий материал? Обзор нелинейных основных параметров изотропной конечной упругости» . Труды Королевского общества А. 473 (2207): 20170607. Бибкод : 2017RSPSA.47370607M . дои : 10.1098/rspa.2017.0607 . ПМК 5719638 . ПМИД 29225507 .

[29] «Конспекты лекций по структурной геологии – эффективное напряжение» . Проверено 03 июля 2019 г.

[30] Сильва и др. «Пробка: свойства, возможности и применение». Архивировано 9 августа 2017 г. на Wayback Machine , дата обращения 4 мая 2017 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]