Ортотропный материал

В материаловедении и механике твердого тела ортогональных ортотропные материалы имеют свойства материала в определенной точке, которые различаются вдоль трех осей , где каждая ось имеет двойную вращательную симметрию . Эти направленные различия в силе можно определить количественно с помощью уравнения Хэнкинсона .

Они представляют собой подмножество анизотропных материалов , поскольку их свойства изменяются при измерении с разных направлений.

Знакомый пример ортотропного материала — дерево . В древесине можно определить три взаимно перпендикулярных направления в каждой точке, в которых свойства различны. Он наиболее жесткий (и прочный) вдоль волокон (в осевом направлении), потому что большинство фибрилл целлюлозы ориентированы таким образом. Обычно он наименее жесткий в радиальном направлении (между годичными кольцами) и является промежуточным в окружном направлении. Эта анизотропия возникла в результате эволюции, поскольку она лучше всего позволяет дереву оставаться в вертикальном положении.

Поскольку предпочтительной системой координат является цилиндрическо-полярная, этот тип ортотропии также называется полярной ортотропией .

Другим примером ортотропного материала является листовой металл , полученный путем сжатия толстых участков металла между тяжелыми роликами. Это сглаживает и растягивает его зернистую структуру . В результате материал становится анизотропным — его свойства различаются в зависимости от направления прокатки и каждого из двух поперечных направлений. Этот метод успешно используется при изготовлении балок из конструкционной стали и алюминиевой обшивки самолетов.

Если ортотропные свойства различаются между точками внутри объекта, он обладает как ортотропностью, так и неоднородностью . Это говорит о том, что ортотропия — это свойство точки внутри объекта, а не объекта в целом (если только объект не является однородным). Соответствующие плоскости симметрии также определяются для небольшой области вокруг точки и не обязательно должны быть идентичны плоскостям симметрии всего объекта.

Ортотропные материалы представляют собой подмножество анизотропных материалов ; их свойства зависят от направления, в котором они измерены. Ортотропные материалы имеют три плоскости/оси симметрии. Изотропный . материал, напротив, имеет одинаковые свойства во всех направлениях Можно доказать, что материал, имеющий две плоскости симметрии, должен иметь и третью. Изотропные материалы имеют бесконечное количество плоскостей симметрии.

Трансверсально-изотропные материалы — это специальные ортотропные материалы, имеющие одну ось симметрии (любая другая пара осей, перпендикулярная основной и ортогональная между собой, также является осями симметрии). Одним из распространенных примеров трансверсально-изотропного материала с одной осью симметрии является полимер, армированный параллельными волокнами стекла или графита. Прочность и жесткость такого композиционного материала обычно будут выше в направлении, параллельном волокнам, чем в поперечном направлении, а направление толщины обычно имеет свойства, аналогичные поперечному направлению. Другим примером может служить биологическая мембрана, свойства которой в плоскости мембраны будут отличаться от свойств в перпендикулярном направлении. Было показано, что свойства ортотропного материала обеспечивают более точное представление упругой симметрии кости, а также могут дать информацию о трехмерной направленности свойств материала кости на уровне ткани. ^[1]

Важно помнить, что материал, который является анизотропным в одном масштабе длины, может быть изотропным в другом (обычно большем) масштабе длины. Например, большинство металлов являются поликристаллическими с очень мелкими зернами . Каждое из отдельных зерен может быть анизотропным, но если материал в целом содержит множество случайно ориентированных зерен, то его измеренные механические свойства будут средними из свойств по всем возможным ориентациям отдельных зерен.

Ортотропия в физике

Анизотропные материальные отношения

Материальное поведение представлено в физических теориях определяющими отношениями . Большой класс физического поведения может быть представлен линейными моделями материала, которые принимают форму тензора второго порядка . Тензор материала обеспечивает связь между двумя векторами и может быть записан как

\mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d}

где $\mathbf {d} ,\mathbf {f}$ два вектора, представляющие физические величины и ${\boldsymbol {K}}$ – материальный тензор второго порядка. Если мы выразим приведенное выше уравнение через компоненты относительно ортонормированной системы координат , мы можем написать

f_{i}=K_{ij}~d_{j}~.

суммирование по повторяющимся индексам В приведенном выше соотношении предполагалось . В матричной форме имеем

{\underline {\mathbf {f} }}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\mathbf {d} }}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}

Примеры физических проблем, соответствующих приведенному выше шаблону, перечислены в таблице ниже. ^[2]

Проблема	$\mathbf {f}$	$\mathbf {d}$	${\boldsymbol {K}}$
Электрическая проводимость	Электрический ток $\mathbf {J}$	Электрическое поле $\mathbf {E}$	Электропроводность ${\boldsymbol {\sigma }}$
Диэлектрики	Электрическое смещение $\mathbf {D}$	Электрическое поле $\mathbf {E}$	Электрическая проницаемость ${\boldsymbol {\varepsilon }}$
Магнетизм	Магнитная индукция $\mathbf {B}$	Магнитное поле $\mathbf {H}$	Магнитная проницаемость ${\boldsymbol {\mu }}$
Теплопроводность	Тепловой поток $\mathbf {q}$	Градиент температуры $-{\boldsymbol {\nabla }}T$	Теплопроводность ${\boldsymbol {\kappa }}$
Диффузия	частиц Поток $\mathbf {J}$	Градиент концентрации $-{\boldsymbol {\nabla }}c$	диффузионная способность ${\boldsymbol {D}}$
Течение в пористой среде	Взвешенная скорость жидкости $\eta _{\mu }\mathbf {v}$	Градиент давления ${\boldsymbol {\nabla }}P$	Проницаемость жидкости ${\boldsymbol {\kappa }}$

Условия симметрии материала

Матрица материала ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}$ имеет симметрию относительно данного ортогонального преобразования ( ${\boldsymbol {A}}$ ), если он не изменится при таком преобразовании. Для инвариантности свойств материала при таком преобразовании потребуем

{\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}

Следовательно, условие симметрии материала (используя определение ортогонального преобразования)

{\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}

Ортогональные преобразования могут быть представлены в декартовых координатах с помощью $3\times 3$ матрица ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ данный

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.

Следовательно, условие симметрии можно записать в матричной форме как

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}

Свойства ортотропного материала

Ортотропный материал имеет три ортогональные плоскости симметрии . Если мы выберем ортонормированную систему координат так, чтобы оси совпадали с нормалями к трем плоскостям симметрии, матрицы преобразования будут иметь вид

{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{1}}}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}

Можно показать, что если матрица ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}$ поскольку материал инвариантен при отражении от двух ортогональных плоскостей, то он инвариантен и при отражении от третьей ортогональной плоскости.

Рассмотрим отражение ${\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}$ о $1-2\,$ самолет. Тогда у нас есть

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&-K_{13}\\K_{21}&K_{22}&-K_{23}\\-K_{31}&-K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}

Из приведенного выше соотношения следует, что $K_{13}=K_{23}=K_{31}=K_{32}=0$ . Далее рассмотрим отражение ${\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}$ о $1-3\,$ самолет. Тогда у нас есть

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&-K_{12}&0\\-K_{21}&K_{22}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}

Это подразумевает, что $K_{12}=K_{21}=0$ . Следовательно, свойства ортотропного материала описываются матрицей

${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{22}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}$

Ортотропия в линейной упругости

Анизотропная эластичность

В линейной упругости соотношение между напряжением и деформацией зависит от типа рассматриваемого материала. Это соотношение известно как закон Гука . Для анизотропных материалов закон Гука можно записать как ^[3]

{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}

где ${\boldsymbol {\sigma }}$ напряжений – тензор , ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ – тензор деформации, а ${\mathsf {c}}$ – тензор упругой жесткости . Если тензоры в приведенном выше выражении описываются через компоненты относительно ортонормированной системы координат, мы можем написать

\sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\varepsilon _{k\ell }

где суммирование предполагалось по повторяющимся индексам. Поскольку тензоры напряжений и деформаций симметричны и поскольку соотношение «напряжение-деформация» в линейной упругости может быть получено из функции плотности энергии деформации , для линейных упругих материалов справедливы следующие симметрии:

c_{ijk\ell }=c_{jik\ell }~,~~c_{ijk\ell }=c_{ij\ell k}~,~~c_{ijk\ell }=c_{k\ell ij}~.

Из-за вышеуказанной симметрии соотношение «напряжение-деформация» для линейно упругих материалов может быть выражено в матричной форме как

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

Альтернативное представление в обозначениях Фойгта :

{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}

или

{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}

Матрица жесткости ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}$ в приведенном выше соотношении удовлетворяет точечной симметрии . ^[4]

Условия симметрии материала

Матрица жесткости ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}$ удовлетворяет заданному условию симметрии, если оно не изменяется при соответствующем ортогональном преобразовании . Ортогональное преобразование может представлять симметрию относительно точки , оси или плоскости . Ортогональные преобразования в линейной упругости включают вращения и отражения, но не преобразования, изменяющие форму, и могут быть представлены в ортонормированных координатах с помощью $3\times 3$ матрица ${\underline {\underline {\mathbf {A} }}}$ данный

{\underline {\underline {\mathbf {A} }}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.

В обозначениях Фойгта матрица преобразования тензора напряжений может быть выражена как $6\times 6$ матрица ${\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}$ данный ^[4]

{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&2A_{12}A_{13}&2A_{11}A_{13}&2A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&2A_{22}A_{23}&2A_{21}A_{23}&2A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&2A_{32}A_{33}&2A_{31}A_{33}&2A_{31}A_{32}\\A_{21}A_{31}&A_{22}A_{32}&A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\A_{11}A_{31}&A_{12}A_{32}&A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\A_{11}A_{21}&A_{12}A_{22}&A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}

Преобразование тензора деформаций имеет несколько иной вид из-за выбора обозначений. Эта матрица преобразования

{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}

Можно показать, что ${\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}^{-1}$ .

Упругие свойства континуума инвариантны относительно ортогонального преобразования. ${\underline {\underline {\mathbf {A} }}}$ тогда и только тогда, когда ^[4]
${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}$

Матрицы жесткости и податливости в ортотропной упругости

Ортотропный упругий материал имеет три ортогональные плоскости симметрии . Если мы выберем ортонормированную систему координат так, чтобы оси совпадали с нормалями к трем плоскостям симметрии, матрицы преобразования будут иметь вид

{\underline {\underline {\mathbf {A} _{1}}}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {\mathbf {A} _{2}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {\mathbf {A} _{3}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}

Мы можем показать, что если матрица ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}$ для линейного упругого материала инвариантен при отражении от двух ортогональных плоскостей, то он инвариантен и при отражении от третьей ортогональной плоскости.

Если мы рассмотрим отражение ${\underline {\underline {\mathbf {A} _{3}}}}$ о $1-2\,$ самолет, то у нас есть

{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}

Тогда требование ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}$ подразумевает, что ^[4]

{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&-C_{14}&-C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&-C_{24}&-C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&-C_{34}&-C_{35}&C_{36}\\-C_{14}&-C_{24}&-C_{34}&C_{44}&C_{45}&-C_{46}\\-C_{15}&-C_{25}&-C_{35}&C_{45}&C_{55}&-C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&-C_{46}&-C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}

Вышеупомянутое требование может быть удовлетворено только в том случае, если

C_{14}=C_{15}=C_{24}=C_{25}=C_{34}=C_{35}=C_{46}=C_{56}=0~.

Далее рассмотрим отражение ${\underline {\underline {\mathbf {A} _{2}}}}$ о $1-3\,$ самолет. В этом случае

{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&-1\end{bmatrix}}

Снова используя условие инвариантности, мы получаем дополнительное требование, что

C_{16}=C_{26}=C_{36}=C_{45}=0~.

Никакой дополнительной информации получить невозможно, поскольку отражение о третьей плоскости симметрии не является независимым от отражений о плоскостях, которые мы уже рассмотрели. Следовательно, матрицу жесткости ортотропного линейно-упругого материала можно записать в виде

${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}$

Обратная матрица обычно записывается как ^[5]

{\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {1}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {21}}}{E_{\rm {2}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {31}}}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {12}}}{E_{\rm {1}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {2}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {32}}}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {13}}}{E_{\rm {1}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {23}}}{E_{\rm {2}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {23}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {31}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {12}}}}\\\end{bmatrix}}

где ${E}_{\rm {i}}\,$ - модуль Юнга вдоль оси $i$ , $G_{\rm {ij}}\,$ модуль сдвига в направлении $j$ на плоскости, нормаль которой направлена в направлении $i$ , и $\nu _{\rm {ij}}\,$ - это коэффициент Пуассона , который соответствует сжатию в направлении $j$ когда расширение применяется в направлении $i$ .

Границы модулей ортотропных упругих материалов

Зависимость деформации-напряжения для ортотропных линейно-упругих материалов можно записать в обозначениях Фойгта как

{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\underline {\underline {\mathsf {S}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}

где матрица соответствия ${\underline {\underline {\mathsf {S}}}}$ дается

{\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&0&0&0\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&0&0&0\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&0&0&0\\0&0&0&S_{44}&0&0\\0&0&0&0&S_{55}&0\\0&0&0&0&0&S_{66}\end{bmatrix}}

Матрица податливости симметрична и должна быть положительно определенной, чтобы плотность энергии деформации была положительной. Из критерия Сильвестра это означает , что все главные миноры матрицы положительны, ^[6] то есть,

\Delta _{k}:=\det({\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}})>0

где ${\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}}$ это $k\times k$ главная подматрица ${\underline {\underline {\mathsf {S}}}}$ .

Затем,

{\begin{aligned}\Delta _{1}>0&\implies \quad S_{11}>0\\\Delta _{2}>0&\implies \quad S_{11}S_{22}-S_{12}^{2}>0\\\Delta _{3}>0&\implies \quad (S_{11}S_{22}-S_{12}^{2})S_{33}-S_{11}S_{23}^{2}+2S_{12}S_{23}S_{13}-S_{22}S_{13}^{2}>0\\\Delta _{4}>0&\implies \quad S_{44}\Delta _{3}>0\implies S_{44}>0\\\Delta _{5}>0&\implies \quad S_{44}S_{55}\Delta _{3}>0\implies S_{55}>0\\\Delta _{6}>0&\implies \quad S_{44}S_{55}S_{66}\Delta _{3}>0\implies S_{66}>0\end{aligned}}

Мы можем показать, что из этого набора условий следует, что ^[7]

S_{11}>0~,~~S_{22}>0~,~~S_{33}>0~,~~S_{44}>0~,~~S_{55}>0~,~~S_{66}>0

или

E_{1}>0,E_{2}>0,E_{3}>0,G_{12}>0,G_{23}>0,G_{13}>0

Однако аналогичные нижние границы не могут быть установлены для значений коэффициентов Пуассона. $\nu _{ij}$ . ^[6]

См. также

Ссылки

^ Geraldes DM et al, 2014, Сравнительное исследование ортотропной и изотропной адаптации костей бедренной кости , Международный журнал численных методов в биомедицинской инженерии , том 30, выпуск 9, страницы 873–889, DOI: 10.1002/cnm.2633, http ://onlinelibrary.wiley.com/wol1/doi/10.1002/cnm.2633/full
^ Милтон, Г.В., 2002, Теория композитов , Издательство Кембриджского университета.
^ Лехницкий, С.Г., 1963, Теория упругости анизотропного упругого тела , Holden-Day Inc.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Славински, Массачусетс, 2010, Волны и лучи в упругих средах: 2-е изд. , Всемирная научная. [1]
^ Борези, А.П., Шмидт, Р.Дж. и Сайдботтом, О.М., 1993, Передовая механика материалов , Wiley.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Тинг, ТКТ и Чен, Т., 2005, Коэффициент Пуассона для анизотропных упругих материалов не может иметь границ, , QJ Mech. Прил. Математика, 58(1), стр. 73–82.
^ Тинг, TCT (1996), «Положительная определенность анизотропных упругих констант», Mathematics & Mechanics of Solids , 1 (3): 301–314, doi : 10.1177/108128659600100302 , S2CID 122747373 .

Дальнейшее чтение

Уравнения моделирования ортотропии из OOFEM Matlib. раздела руководства
Закон Гука для ортотропных материалов.

[Gera-1] Geraldes DM et al, 2014, Сравнительное исследование ортотропной и изотропной адаптации костей бедренной кости , Международный журнал численных методов в биомедицинской инженерии , том 30, выпуск 9, страницы 873–889, DOI: 10.1002/cnm.2633, http ://onlinelibrary.wiley.com/wol1/doi/10.1002/cnm.2633/full

[Milton-2] Милтон, Г.В., 2002, Теория композитов , Издательство Кембриджского университета.

[Lekh-3] Лехницкий, С.Г., 1963, Теория упругости анизотропного упругого тела , Holden-Day Inc.

[Slawinski-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Славински, Массачусетс, 2010, Волны и лучи в упругих средах: 2-е изд. , Всемирная научная. [1]

[Boresi-5] Борези, А.П., Шмидт, Р.Дж. и Сайдботтом, О.М., 1993, Передовая механика материалов , Wiley.

[Ting-6] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Тинг, ТКТ и Чен, Т., 2005, Коэффициент Пуассона для анизотропных упругих материалов не может иметь границ, , QJ Mech. Прил. Математика, 58(1), стр. 73–82.

[Ting1-7] Тинг, TCT (1996), «Положительная определенность анизотропных упругих констант», Mathematics & Mechanics of Solids , 1 (3): 301–314, doi : 10.1177/108128659600100302 , S2CID 122747373 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Темы механики сплошных сред
Подразделения	Твердая механика Гидравлическая механика Акустика Вибрации Динамика жесткого тела
Законы и определения	Законы Сохранение массы Сохранение импульса Навье-Стоукс Бернулли Пуазей Архимед Паскаль Сохранение энергии Энтропийное неравенство Определения Стресс Коши стресс Стрессовые меры Деформация Малая деформация Антиплоскостной сдвиг Большой штамм Совместимость
Механика твердого тела и конструкций	Твердые вещества Эластичность линейный Закон Гука Поперечная изотропия Ортотропия гиперэластичность Эластичность мембраны Уравнение состояния Гюгонио JWL гипоэластичность Эластичность Коши вязкоупругость Слизняк Ползучесть бетона Пластичность Пластичность горного массива Вязкопластичность Критерий доходности Бреслер-Пистер Контактные механики без трения Фрикционный Теория разрушения материала Стабильность Друкера Теория разрушения материала Усталость Механика разрушения J-интеграл Компактный образец на растяжение Механика повреждений Джонсон-Холмквист Структуры Гибка Изгибающий момент Гибка пластин Теория сэндвича
Гидравлическая механика	Жидкости Статика жидкости Гидродинамика Уравнения Навье – Стокса. Принцип Бернулли Уравнение Пуазейля Плавучесть Вязкость Ньютоновский неньютоновский Принцип Архимеда Закон Паскаля Давление Жидкости Поверхностное натяжение Капиллярное действие Газы Атмосфера Закон Бойля Закон Чарльза Закон Гей-Люссака Комбинированный газовый закон Плазма
Акустика	Акустическая теория Аэроакустика
Реология	вязкоупругость Умные жидкости Магнитореологический Электрореологический Феррожидкости Реометрия Реометр
Ученые	Бернулли Бойл Коши Чарльз Эйлер Гей-Люссак Гук Паскаль Ньютон Навье Стоукс
Награды	Эрингенская медаль Медаль Уильяма Прагера