Акустическая теория

Акустическая теория — это научная область, связанная с описанием звуковых волн . Это происходит из гидродинамики . См. «Акустика» для ознакомления с инженерным подходом.

Для звуковых волн любой величины возмущения скорости, давления и плотности имеем

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot (\rho '\mathbf {v} )&=0\qquad {\text{(Conservation of Mass)}}\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\qquad {\text{(Equation of Motion)}}\end{aligned}}$

В случае, когда флуктуации скорости, плотности и давления малы, мы можем аппроксимировать их как

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Где $\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)$ – возмущенная скорость жидкости, $p_{0}$ - давление покоящейся жидкости, $p'(\mathbf {x} ,t)$ — возмущенное давление системы как функция пространства и времени, $\rho _{0}$ - плотность покоящейся жидкости, $\rho '(\mathbf {x} ,t)$ — это изменение плотности жидкости в пространстве и времени.

В случае, когда скорость безвихревая ( $\nabla \times \mathbf {v} =0$), тогда мы имеем уравнение акустической волны, которое описывает систему:

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi =0$

Где у нас есть

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\c^{2}&=({\frac {\partial p}{\partial \rho }})_{s}\\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}$

Вывод для покоящейся среды

Начнем с уравнения непрерывности и уравнения Эйлера:

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \rho \mathbf {v} &=0\\\rho {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p&=0\end{aligned}}$

Если взять малые возмущения постоянного давления и плотности:

${\begin{aligned}\rho &=\rho _{0}+\rho '\\p&=p_{0}+p'\end{aligned}}$

Тогда уравнения системы имеют вид

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho _{0}+\rho ')+\nabla \cdot (\rho _{0}+\rho ')\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla (p_{0}+p')&=0\end{aligned}}$

Учитывая, что равновесные давления и плотности постоянны, это упрощает

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Движущаяся среда

Начиная с

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {w} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {w} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {w} \cdot \nabla )\mathbf {w} +\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Мы можем заставить эти уравнения работать для движущейся среды, установив $\mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v}$, где $\mathbf {u}$ - это постоянная скорость, с которой движется вся жидкость до того, как она будет возмущена (эквивалент движущегося наблюдателя) и $\mathbf {v}$ это скорость жидкости.

В этом случае уравнения выглядят очень похоже:

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '+\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Обратите внимание, что настройка $\mathbf {u} =0$ возвращает уравнения в состоянии покоя.

Линеаризованные волны

Исходя из приведенных выше уравнений движения покоящейся среды:

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Давайте теперь возьмем $\mathbf {v} ,\rho ',p'$ чтобы все было в небольших количествах.

В случае, когда мы сохраняем члены первого порядка, для уравнения неразрывности мы имеем $\rho '\mathbf {v}$ член стремится к 0. Это аналогично применимо к возмущению плотности, умноженному на производную скорости по времени. При этом пространственные компоненты материальной производной обращаются к 0. Таким образом, после перестановки равновесной плотности мы имеем:

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Далее, учитывая, что наша звуковая волна возникает в идеальной жидкости, движение является адиабатическим, и тогда мы можем связать небольшое изменение давления с небольшим изменением плотности по формуле

$p'=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}\rho '$

При этом условии мы видим, что теперь имеем

${\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Определение скорости звука системы:

$c\equiv {\sqrt {\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}}}$

Все становится

${\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Для безвихревых жидкостей

В случае, когда жидкость безвихревая, т.е. $\nabla \times \mathbf {v} =0$, мы можем тогда написать $\mathbf {v} =-\nabla \phi$ и таким образом запишем наши уравнения движения в виде

${\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}c^{2}\nabla ^{2}\phi &=0\\-\nabla {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Второе уравнение говорит нам, что

$p'=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}$

И использование этого уравнения в уравнении неразрывности говорит нам, что

$\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t}}-\rho _{0}c^{2}\nabla ^{2}\phi =0$

Это упрощает

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi =0$

Таким образом, потенциал скорости $\phi$ подчиняется волновому уравнению в пределе малых возмущений. Граничные условия, необходимые для определения потенциала, исходят из того факта, что скорость жидкости должна быть равна 0 по нормали к неподвижным поверхностям системы.

Взяв производную по времени этого волнового уравнения и умножив все его части на невозмущенную плотность, а затем воспользовавшись тем фактом, что $p'=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}$ говорит нам, что

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p'}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p'=0$

Точно так же мы видели, что $p'=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}\rho '=c^{2}\rho '$. Таким образом, мы можем соответствующим образом умножить приведенное выше уравнение и увидеть, что

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\rho '=0$

Таким образом, потенциал скорости, давление и плотность подчиняются волновому уравнению. Более того, нам нужно решить только одно такое уравнение, чтобы определить все остальные три. В частности, у нас есть

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}$

Для движущейся среды

Опять же, мы можем вывести предел малых возмущений для звуковых волн в движущейся среде. Опять же, начиная с

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '+\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Мы можем линеаризовать их в

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Для безвихревых жидкостей в движущейся среде

Учитывая, что мы это видели

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Если мы сделаем предыдущие предположения о том, что жидкость идеальна, а скорость безвихревая, то мы имеем

${\begin{aligned}p'&=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}\rho '=c^{2}\rho '\\\mathbf {v} &=-\nabla \phi \end{aligned}}$

При этих предположениях наши линеаризованные уравнения звука принимают вид

${\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'&=0\\-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \phi )-(\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}$

Важно, поскольку $\mathbf {u}$ является константой, мы имеем $(\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]=\nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]$, и тогда второе уравнение говорит нам, что

${\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'=\nabla \left[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \right]$

Или просто это

$p'=\rho _{0}\left[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \right]$

Теперь, когда мы используем это соотношение с тем фактом, что ${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'=0$, наряду с отменой и перестановкой членов, мы приходим к

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {u} \cdot \nabla \phi )+{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]=0$

Мы можем записать это в привычной форме как

$\left[{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \right)^{2}-\nabla ^{2}\right]\phi =0$

Это дифференциальное уравнение необходимо решать с соответствующими граничными условиями. Обратите внимание, что настройка $\mathbf {u} =0$ возвращает нам волновое уравнение. Тем не менее, решив это уравнение для движущейся среды, мы получим

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\phi \\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\phi \end{aligned}}$

См. также

• Акустическое затухание
• Звук
• Фурье-анализ

Ссылки

• Ландау, доктор медицинских наук; Лифшиц, Э.М. (1984). Механика жидкости (2-е изд.). ISBN  0-7506-2767-0 .
• Феттер, Александр; Валецка, Джон (2003). Механика жидкости (1-е изд.). ISBN  0-486-43261-0 .