J-интеграл

J -интеграл представляет собой способ расчета скорости выделения энергии деформации или работы ( энергии ) на единицу площади поверхности разрушения в материале. Теоретическая концепция J-интеграла была разработана в 1967 году Г.П. Черепановым. и независимо в 1968 году Джеймсом Р. Райсом , который показал, что энергетический контурный интеграл пути (называемый J ) не зависит от пути вокруг трещины .

Экспериментальные методы были разработаны с использованием интеграла, который позволил измерить критические свойства разрушения в размерах выборок, которые слишком малы для того, чтобы линейная механика упругого разрушения (LEFM) была достоверной. Эти эксперименты позволяют определить вязкость разрушения по критическому значению энергии разрушения J _Ic крупномасштабная пластическая текучесть во время распространения при нагрузке режима I. , которое определяет точку, в которой происходит

J-интеграл равен скорости выделения энергии деформации для трещины в теле, подвергнутом монотонному нагружению. В квазистатических условиях это вообще верно только для линейно-упругих материалов. Для материалов, которые испытывают небольшую текучесть на вершине трещины, J можно использовать для расчета скорости выделения энергии в особых обстоятельствах, таких как монотонная нагрузка в режиме III ( антиплоский сдвиг ). Скорость выделения энергии деформации также можно рассчитать по величине J для чисто степенных пластмассовых материалов, которые подвергаются небольшой текучести на вершине трещины.

Величина J не является независимой от траектории для монотонного режима I и режима II нагружения упругопластических материалов, поэтому только контур, очень близкий к вершине трещины, дает скорость энерговыделения. Кроме того, Райс показала, что J не зависит от пути в пластиковых материалах, когда нет непропорциональной нагрузки. Разгрузка является частным случаем этого, но непропорциональная пластическая загрузка также делает недействительной независимость от пути. Такое непропорциональное нагружение является причиной траекторной зависимости режимов плоскостного нагружения упругопластических материалов.

Двумерный J-интеграл

Рисунок 1. Линия J-интеграла вокруг выреза в двух измерениях.

Двумерный J-интеграл первоначально был определен как (см. рисунок 1 для иллюстрации)

$J:=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-\mathbf {t} \cdot {\cfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-t_{i}\,{\cfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)$

где W ( x ₁ , x ₂ ) – плотность энергии деформации, x ₁ , x ₂ – координатные направления, t = [ σ ] n – вектор поверхностного сцепления , n – нормаль к кривой Γ, [ σ ] – тензор напряжений Коши , u — вектор смещения . Плотность энергии деформации определяется выражением

$W=\int _{0}^{[\varepsilon ]}[{\boldsymbol {\sigma }}]:d[{\boldsymbol {\varepsilon }}]~;~~[{\boldsymbol {\varepsilon }}]={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]~.$

J-интеграл вокруг вершины трещины часто выражается в более общей форме: (и в индексной записи ) как

$J_{i}:=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\Gamma _{\varepsilon }}\left(W(\Gamma )n_{i}-n_{j}\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}(\Gamma ,x_{i})}{\partial x_{i}}}\right)\,d\Gamma$

где $J_{i}$ – составляющая J-интеграла раскрытия трещины в $x_{i}$ направление и $\varepsilon$ представляет собой небольшую область вокруг вершины трещины.Используя теорему Грина, мы можем показать, что этот интеграл равен нулю, когда граница $\Gamma$ замкнута и охватывает область, не содержащую особенностей и односвязную . Если на берегах трещины нет поверхностного сцепления , то J-интеграл также не зависит от пути .

Райс также показал, что значение J-интеграла представляет собой скорость выделения энергии при росте плоской трещины.J-интеграл был разработан из-за трудностей расчета напряжений вблизи трещины в нелинейно- упругом или упругопластическом материале . Райс показал, что если предположить монотонную нагрузку (без какой-либо пластической разгрузки), то J-интеграл можно использовать и для расчета скорости энерговыделения пластиковых материалов.

showДоказательство того, что J-интеграл равен нулю по замкнутому пути.

To show the path independence of the J-integral, we first have to show that the value of $J$ is zero over a closed contour in a simply connected domain. Let us just consider the expression for $J_{1}$ which is $J_{1}:=\int _{\Gamma }\left(Wn_{1}-n_{j}\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)\,d\Gamma$ We can write this as $J_{1}=\int _{\Gamma }\left(W\delta _{1j}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)n_{j}\,d\Gamma$ From Green's theorem (or the two-dimensional divergence theorem) we have $\int _{\Gamma }f_{j}~n_{j}~d\Gamma =\int _{A}{\cfrac {\partial f_{j}}{\partial x_{j}}}~dA$ Using this result we can express $J_{1}$ as ${\begin{aligned}J_{1}&=\int _{A}{\cfrac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(W\delta _{1j}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)dA\\&=\int _{A}\left[{\cfrac {\partial W}{\partial x_{1}}}-{\cfrac {\partial \sigma _{jk}}{\partial x_{j}}}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{1}\partial x_{j}}}\right]~dA\end{aligned}}$ where $A$ is the area enclosed by the contour $\Gamma$. Now, if there are no body forces present, equilibrium (conservation of linear momentum) requires that ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {0} \qquad \implies \qquad {\cfrac {\partial \sigma _{jk}}{\partial x_{j}}}=0~.$ Also, $[{\boldsymbol {\varepsilon }}]={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]\qquad \implies \qquad \varepsilon _{jk}={\tfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}+{\cfrac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)~.$ Therefore, $\sigma _{jk}{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}={\tfrac {1}{2}}\left(\sigma _{jk}{\cfrac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{1}\partial x_{j}}}+\sigma _{jk}{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{1}\partial x_{k}}}\right)$ From the balance of angular momentum we have $\sigma _{jk}=\sigma _{kj}$. Hence, $\sigma _{jk}{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}=\sigma _{jk}{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{1}\partial x_{k}}}$ The J-integral may then be written as $J_{1}=\int _{A}\left[{\cfrac {\partial W}{\partial x_{1}}}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}\right]~dA$ Now, for an elastic material the stress can be derived from the stored energy function $W$ using $\sigma _{jk}={\cfrac {\partial W}{\partial \varepsilon _{jk}}}$ Then, if the elastic modulus tensor is homogeneous, using the chain rule of differentiation, $\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}={\cfrac {\partial W}{\partial \varepsilon _{jk}}}~{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}={\cfrac {\partial W}{\partial x_{1}}}$ Therefore, we have $J_{1}=0$ for a closed contour enclosing a simply connected region without any elastic inhomogeneity, such as voids and cracks.

showДоказательство того, что J-интеграл не зависит от пути.

Figure 2. Integration paths around a notch in two dimensions. Consider the contour $\Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma ^{+}+\Gamma _{2}+\Gamma ^{-}$. Since this contour is closed and encloses a simply connected region, the J-integral around the contour is zero, i.e. $J=J_{(1)}+J^{+}-J_{(2)}-J^{-}=0$ assuming that counterclockwise integrals around the crack tip have positive sign. Now, since the crack surfaces are parallel to the $x_{1}$ axis, the normal component $n_{1}=0$ on these surfaces. Also, since the crack surfaces are traction free, $t_{k}=0$. Therefore, $J^{+}=J^{-}=\int _{\Gamma }\left(Wn_{1}-t_{k}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)\,d\Gamma =0$ Therefore, $J_{(1)}=J_{(2)}$ and the J-integral is path independent.

J-интеграл и вязкость разрушения

Для изотропных, совершенно хрупких, линейно-упругих материалов J-интеграл может быть напрямую связан с вязкостью разрушения , если трещина распространяется прямо вперед по отношению к ее первоначальной ориентации.

Для плоской деформации в условиях нагружения режима I это соотношение имеет вид

$J_{\rm {Ic}}=G_{\rm {Ic}}=K_{\rm {Ic}}^{2}\left({\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right)$

где $G_{\rm {Ic}}$ – критическая скорость выделения энергии деформации, $K_{\rm {Ic}}$ – вязкость разрушения при нагружении в режиме I, $\nu$ – коэффициент Пуассона, а E – модуль Юнга материала.

Для режима нагрузки II соотношение между J-интегралом и вязкостью разрушения в режиме II ( $K_{\rm {IIc}}$) является

$J_{\rm {IIc}}=G_{\rm {IIc}}=K_{\rm {IIc}}^{2}\left[{\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right]$

Для загрузки в режиме III соотношение

$J_{\rm {IIIc}}=G_{\rm {IIIc}}=K_{\rm {IIIc}}^{2}\left({\frac {1+\nu }{E}}\right)$

Эластопластиковые материалы и решение HRR

Пути расчета J-интеграла вокруг трещины в двумерном упругопластическом материале.

Хатчинсон, Райс и Розенгрен впоследствии показали, что J характеризует сингулярные поля напряжений и деформаций в вершине трещины в нелинейных (степенных упрочняющих) упругопластических материалах, где размер пластической зоны мал по сравнению с длиной трещины. Хатчинсон использовал материальный конститутивный закон вида, предложенный У. Рамбергом и У. Осгудом :

${\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{y}}}={\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}+\alpha \left({\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}\right)^{n}$

где σ — напряжение при одноосном растяжении, σ _y — предел текучести , ε — деформация , а ε _y = σ _y / E — соответствующая деформация текучести. Величина E представляет собой модуль упругости материала. Модель параметризуется α , безразмерной постоянной характеристикой материала, и n , коэффициентом наклепа . отсутствует Эта модель применима только для ситуаций, когда напряжение возрастает монотонно, компоненты напряжений остаются примерно в тех же соотношениях по мере развития нагружения (пропорциональное нагружение), а разгрузка .

в дальней зоне Если к телу, показанному на соседнем рисунке, приложено растягивающее напряжение σfar _, J-интеграл по пути Γ ₁ (выбранному полностью внутри упругой зоны) определяется выражением

$J_{\Gamma _{1}}=\pi \,(\sigma _{\text{far}})^{2}\,.$

Поскольку полный интеграл вокруг трещины равен нулю, а вклады вдоль поверхности трещины равны нулю, имеем

$J_{\Gamma _{1}}=-J_{\Gamma _{2}}\,.$

Если путь Γ ₂ выбран так, что он находится внутри полностью пластической области, Хатчинсон показал, что

$J_{\Gamma _{2}}=-\alpha \,K^{n+1}\,r^{(n+1)(s-2)+1}\,I$

где K — амплитуда напряжений, ( r , θ ) — полярная система координат с началом в вершине трещины, s — константа, определяемая из асимптотического разложения поля напряжений вокруг трещины, а I — безразмерный интеграл. Связь между J-интегралами вокруг Γ ₁ и Γ ₂ приводит к ограничению

$s={\frac {2n+1}{n+1}}$

и выражение для K через напряжение в дальней зоне

$K=\left({\frac {\beta \,\pi }{\alpha \,I}}\right)^{\frac {1}{n+1}}\,(\sigma _{\text{far}})^{\frac {2}{n+1}}$

где β = 1 для плоского напряжения и β = 1 − ν ² для плоской деформации ( ν — коэффициент Пуассона ).

Асимптотическое разложение поля напряжений и изложенные выше идеи можно использовать для определения полей напряжений и деформаций в терминах J-интеграла:

$\sigma _{ij}=\sigma _{y}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{1} \over {n+1}}{\tilde {\sigma }}_{ij}(n,\theta )$

$\varepsilon _{ij}={\frac {\alpha \varepsilon _{y}}{E}}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{n} \over {n+1}}{\tilde {\varepsilon }}_{ij}(n,\theta )$

где ${\tilde {\sigma }}_{ij}$ и ${\tilde {\varepsilon }}_{ij}$ являются безразмерными функциями.

Эти выражения показывают, что J можно интерпретировать как пластический аналог коэффициента интенсивности напряжений ( K ), который используется в линейной механике упругого разрушения, т. е. мы можем использовать такой критерий, как J > J _Ic, в качестве критерия роста трещины.

См. также

• Вязкость разрушения
• Прочность
• Механика разрушения
• Коэффициент интенсивности напряжения
• Природа локального поля полосы скольжения

Внешние ссылки

• Дж. Р. Райс, « Интеграл, независимый от траектории, и приблизительный анализ концентрации деформации по выемкам и трещинам », Журнал прикладной механики, 35, 1968, стр. 379–386.
• Ван Влит, Кристин Дж. (2006); «3.032 Механическое поведение материалов», [2]
• X. Чен (2014), «Независимый от траектории интеграл», В: Энциклопедия термических напряжений, под редакцией Р.Б. Хетнарски, Спрингера, ISBN   978-9400727380 .
• по нелинейной механике разрушения. Заметки профессора Джона Хатчинсона (из Гарвардского университета)
• Заметки о разрушении тонких пленок и многослойных материалов профессора Джона Хатчинсона (из Гарвардского университета)
• Смешанное растрескивание в слоистых материалах проф. Джон Хатчинсон и Чжиган Суо (из Гарвардского университета)
• «Механика разрушения» , Пит Шрёрс (из ТУ Эйндховена, Нидерланды)
• Введение в механику разрушения, доктор Ч. Ванг (DSTO, Австралия)
• Конспекты курса механики разрушения профессора Руи Хуанга (из Техасского университета в Остине)
• Решения HRR Людовика Ноэлса (Льежский университет)