Эластичный материал Коши.

В физике Коши -упругий материал — это материал, в котором напряжение в каждой точке определяется только текущим состоянием деформации по отношению к произвольной эталонной конфигурации. Упругий по Коши материал также называют простым упругим материалом.

Из этого определения следует, что напряжение в упругом по Коши материале не зависит от пути деформации или истории деформации, а также от времени, затраченного на достижение этой деформации, или от скорости достижения состояния деформации. Из определения также следует, что определяющие уравнения пространственно локальны; то есть на напряжение влияет только состояние деформации в бесконечно малой окрестности рассматриваемой точки, без учета деформации или движения остального материала. Это также означает, что объемные силы (например, гравитация) и силы инерции не могут влиять на свойства материала. Наконец, упругий по Коши материал должен удовлетворять требованиям материальной объективности .

Упругие по Коши материалы — это математические абстракции, и ни один реальный материал не соответствует этому определению идеально. Однако многие упругие материалы, представляющие практический интерес, такие как сталь, пластик, дерево и бетон, часто можно считать упругими по Коши для целей анализа напряжений .

Математическое определение

Формально материал называется упругим по Коши, если тензор напряжений Коши ${\boldsymbol {\sigma }}$ является функцией тензора деформации ( градиента деформации ) ${\boldsymbol {F}}$ один:

$\ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})$

Это определение предполагает, что влиянием температуры можно пренебречь и тело однородно. Это основное уравнение для упругого материала Коши.

Обратите внимание, что функция ${\mathcal {G}}$ зависит от выбора эталонной конфигурации. Обычно за эталонную конфигурацию принимают расслабленную конфигурацию (с нулевым напряжением), но это не обязательно.

Материальное безразличие к рамке требует, чтобы конститутивное отношение ${\mathcal {G}}$ не должна меняться при изменении местоположения наблюдателя. Следовательно, материальное уравнение для другого произвольного наблюдателя можно записать ${\boldsymbol {\sigma }}^{*}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}}^{*})$. Зная, что тензор напряжений Коши $\sigma$ и градиент деформации $F$ являются объективными величинами, можно написать:

${\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}^{*}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}}^{*})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}})\end{aligned}}$

где ${\boldsymbol {R}}$ — собственный ортогональный тензор.

Вышеизложенное является условием того, что конституционный закон ${\mathcal {G}}$ необходимо соблюдать, чтобы гарантировать, что реакция материала будет независимой от наблюдателя. Аналогичные условия можно вывести для определяющих законов, связывающих градиент деформации с первым или вторым тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа .

Изотропные Коши-упругие материалы

Для изотропного материала тензор напряжений Коши ${\boldsymbol {\sigma }}$ может быть выражено как функция левого тензора Коши-Грина ${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}$. можно Тогда материальное уравнение записать:

$\ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}}).$

Чтобы найти ограничение на $h$ что обеспечит принцип материального каркаса-безразличия, можно написать:

$\ {\begin{array}{rrcl}&{\boldsymbol {\sigma }}^{*}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}}^{*})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {F}}^{*}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{*})^{T})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}).\end{array}}$

, Определяющее уравнение удовлетворяющее вышеуказанному условию, называется изотропным .

Неконсервативные материалы

Хотя напряжение в упругом по Коши материале зависит только от состояния деформации, работа, совершаемая напряжениями, может зависеть от пути деформации. Поэтому упругий материал Коши в целом имеет неконсервативную структуру, и напряжение не обязательно может быть получено из скалярной функции «упругого потенциала». Консервативные в этом смысле материалы называются гиперэластичными или «зеленоэластичными».