Тензоры напряжений Пиолы – Кирхгофа

В случае конечных деформаций тензоры напряжений Пиолы – Кирхгофа выражают напряжение относительно базовой конфигурации. Это контрастирует с тензором напряжений Коши , который выражает напряжение относительно существующей конфигурации. Для бесконечно малых деформаций и вращений тензоры Коши и Пиолы – Кирхгофа идентичны.Тогда как тензор напряжений Коши ${\boldsymbol {\sigma }}$ связывает напряжения в текущей конфигурации, градиент деформации и тензоры деформаций описываются путем привязки движения к эталонной конфигурации; таким образом, не все тензоры, описывающие состояние материала, находятся ни в эталонной, ни в текущей конфигурации. Описание напряжений, деформаций и деформаций либо в эталонной, либо в текущей конфигурации облегчит определение конститутивных моделей (например, тензор напряжений Коши является вариантом чистого вращения, тогда как тензор деформационных деформаций является инвариантным, что создает проблемы при определении конститутивная модель, которая связывает изменяющийся тензор с точки зрения инвариантного во время чистого вращения; поскольку по определению конститутивные модели должны быть инвариантны к чистым вращениям); 1-й тензор напряжений Пиолы–Кирхгофа, ${\boldsymbol {P}}$ является одним из возможных решений этой проблемы. Он определяет семейство тензоров, которые описывают конфигурацию тела либо в текущем, либо в эталонном состоянии.

Первый тензор напряжений Пиолы– Кирхгофа ${\boldsymbol {P}}$, связывает силы в текущей («пространственной») конфигурации с областями в базовой («материальной») конфигурации.

${\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}~{\boldsymbol {F}}^{-T}~$

где ${\boldsymbol {F}}$ – градиент деформации и $J=\det {\boldsymbol {F}}$ – Якобиана определитель .

С точки зрения компонентов относительно ортонормированного базиса первое напряжение Пиолы – Кирхгофа определяется выражением

$P_{iL}=J~\sigma _{ik}~F_{Lk}^{-1}=J~\sigma _{ik}~{\cfrac {\partial X_{L}}{\partial x_{k}}}~\,\!$

Поскольку оно связывает разные системы координат, первое напряжение Пиолы – Кирхгофа представляет собой двухточечный тензор . В общем, оно не симметрично. Первое напряжение Пиолы-Кирхгофа представляет собой трехмерное обобщение одномерной концепции инженерного напряжения .

Если материал вращается без изменения напряженного состояния (жесткое вращение), компоненты первого тензора напряжений Пиолы – Кирхгофа будут меняться в зависимости от ориентации материала.

Первое напряжение Пиолы-Кирхгофа энергетически сопряжено с градиентом деформации.Он связывает силы в текущей конфигурации с областями в эталонной конфигурации.

Второй тензор напряжений Пиолы–Кирхгофа , ${\boldsymbol {S}}$, связывает силы в эталонной конфигурации с областями в эталонной конфигурации. Сила в эталонной конфигурации получается посредством отображения, которое сохраняет относительную взаимосвязь между направлением силы и нормалью к области в эталонной конфигурации.

${\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~.$

В индексных обозначениях относительно ортонормированного базиса:

$S_{IL}=J~F_{Ik}^{-1}~F_{Lm}^{-1}~\sigma _{km}=J~{\cfrac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}~{\cfrac {\partial X_{L}}{\partial x_{m}}}~\sigma _{km}\!\,\!$

Этот тензор, одноточечный, симметричен.Если материал вращается без изменения напряженного состояния (жесткое вращение), компоненты второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа остаются постоянными независимо от ориентации материала.

Второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа энергетически сопряжен с тензором конечной деформации Грина-Лагранжа .

Ссылки

• Дж. Боне и Р. Вуд, Нелинейная механика сплошной среды для анализа методом конечных элементов , Издательство Кембриджского университета.