Теория сэндвича

Композитная сэндвич-панель, использованная для испытаний в НАСА

Теория сэндвича описывает поведение балки , пластины или оболочки , состоящей из трех слоев — двух лицевых листов и одного сердечника. Наиболее часто используемая сэндвич-теория является линейной и является расширением теории пучков первого порядка . Теория линейного сэндвича важна для проектирования и анализа сэндвич-панелей , которые используются в строительстве зданий, автомобилестроении, самолетостроении и холодильной технике.

Некоторые преимущества сэндвич-конструкции:

• Сечения сэндвичей являются составными . Обычно они состоят из сердцевины с низкой или средней жесткостью , соединенной с двумя жесткими внешними лицевыми панелями. Композит имеет значительно более высокое соотношение жесткости на сдвиг к весу, чем эквивалентная балка, изготовленная только из материала сердцевины или материала лицевой панели. Композит также имеет высокое соотношение прочности к весу.
• Высокая жесткость лицевого листа приводит к высокому соотношению жесткости на изгиб к весу композита.

Поведение балки многослойного сечения под нагрузкой отличается от балки постоянного упругого сечения. Если радиус кривизны при изгибе велик по сравнению с толщиной сэндвич-балки, а деформации в материалах деталей малы, деформацию сэндвич-композитной балки можно разделить на две части.

• деформации из-за изгибающих моментов или изгибной деформации, и
• деформации, вызванные поперечными силами, также называемые деформациями сдвига.

Теории сэндвич-балок, пластин и оболочек обычно предполагают, что эталонное напряженное состояние представляет собой состояние с нулевым напряжением. Однако во время отверждения разница температур между лицевыми листами сохраняется из-за термического разделения материала сердцевины. Эти разницы температур в сочетании с разной линейной протяженностью лицевых листов могут привести к изгибу многослойной балки в направлении более теплой лицевой панели. Если изгиб ограничен в процессе производства, остаточные напряжения в компонентах сэндвич-композита могут возникнуть . Суперпозиция . эталонного напряженного состояния на решения, предоставляемые теорией сэндвича, возможна, когда задача линейна Однако, когда ожидаются большие упругие деформации и вращения, начальное напряженное состояние должно быть включено непосредственно в теорию сэндвича.

Инженерная теория сэндвич-балок

Изгиб многослойной балки без дополнительной деформации за счет сдвига сердечника.

В инженерной теории сэндвич-балок предполагается, что осевая деформация изменяется линейно по поперечному сечению балки, как в теории Эйлера-Бернулли , т.е.

$\varepsilon _{xx}(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Следовательно, осевое напряжение в многослойной балке определяется выражением

$\sigma _{xx}(x,z)=-z~E(z)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

где $E(z)$ - модуль Юнга , который зависит от местоположения по толщине балки. в Тогда изгибающий момент балке определяется выражением

$M_{x}(x)=\int \int z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y=-\left(\int \int z^{2}E(z)~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=:-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Количество $D$ называется изгибной жесткостью многослойной балки. Сила сдвига $Q_{x}$ определяется как

$Q_{x}={\frac {\mathrm {d} M_{x}}{\mathrm {d} x}}~.$

Используя эти соотношения, мы можем показать, что напряжения в многослойной балке с сердцевиной толщиной $2h$ и модуль $E^{c}$ и две лицевые панели толщиной каждая $f$ и модуль $E^{f}$, даны

${\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {f} }M_{x}}{D}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {c} }M_{x}}{D}}\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {Q_{x}E^{\mathrm {f} }}{2D}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {Q_{x}}{2D}}\left[E^{\mathrm {c} }\left(h^{2}-z^{2}\right)+E^{\mathrm {f} }f(f+2h)\right]\end{aligned}}$

showВывод напряжений для инженерных многослойных балок

Since ${\cfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}=-{\cfrac {M_{x}(x)}{D}}$ we can write the axial stress as $\sigma _{xx}(x,z)={\cfrac {z~E(z)~M_{x}(x)}{D}}$ The equation of equilibrium for a two-dimensional solid is given by ${\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial z}}=0$ where $\tau _{xz}$ is the shear stress. Therefore, $\tau _{xz}(x,z)=\int {\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}~\mathrm {d} z+C(x)=\int {\cfrac {z~E(z)}{D}}~{\frac {\mathrm {d} M_{x}}{\mathrm {d} x}}~\mathrm {d} z+C(x)$ where $C(x)$ is a constant of integration. Therefore, $\tau _{xz}(x,z)={\cfrac {Q_{x}}{D}}\int z~E(z)~\mathrm {d} z+C(x)$ Let us assume that there are no shear tractions applied to the top face of the sandwich beam. The shear stress in the top facesheet is given by $\tau _{xz}^{\mathrm {face} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}E^{f}}{D}}\int _{z}^{h+f}z~\mathrm {d} z+C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{f}}{2D}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]+C(x)$ At $z=h+f$, $\tau _{xz}(x,h+f)=0$ implies that $C(x)=0$. Then the shear stress at the top of the core, $z=h$, is given by $\tau _{xz}(x,h)={\cfrac {Q_{x}E^{f}f(f+2h)}{2D}}$ Similarly, the shear stress in the core can be calculated as $\tau _{xz}^{\mathrm {core} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}E^{c}}{D}}\int _{z}^{h}z~\mathrm {d} z+C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{c}}{2D}}\left(h^{2}-z^{2}\right)+C(x)$ The integration constant $C(x)$ is determined from the continuity of shear stress at the interface of the core and the facesheet. Therefore, $C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{f}f(f+2h)}{2D}}$ and $\tau _{xz}^{\mathrm {core} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}}{2D}}\left[E^{c}\left(h^{2}-z^{2}\right)+E^{f}f(f+2h)\right]$

Для сэндвич-балки с одинаковыми гранями и единичной шириной значение $D$ является

${\begin{aligned}D&=E^{f}\int _{w}\int _{-h-f}^{-h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{c}\int _{w}\int _{-h}^{h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{f}\int _{w}\int _{h}^{h+f}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\\&={\frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+{\frac {2}{3}}E^{c}h^{3}+2E^{f}fh(f+h)~.\end{aligned}}$

Если $E^{f}\gg E^{c}$, затем $D$ можно аппроксимировать как

$D\approx {\frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+2E^{f}fh(f+h)=2fE^{f}\left({\frac {1}{3}}f^{2}+h(f+h)\right)$

а напряжения в многослойной балке можно аппроксимировать как

${\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{{\frac {2}{3}}f^{3}+2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{{\frac {4}{3}}f^{3}+4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{{\frac {2}{3}}f^{2}+h(f+h)}}\end{aligned}}$

Если, кроме того, $f\ll 2h$, затем

$D\approx 2E^{f}fh(f+h)$

а приблизительные напряжения в балке равны

${\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{4h(f+h)}}\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}$

Если мы предположим, что лицевые панели достаточно тонкие, чтобы напряжения можно было считать постоянными по толщине, мы получим приближение

${\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx \pm {\cfrac {M_{x}}{2fh}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx 0~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}$

Следовательно, проблему можно разделить на две части: одна связана только с сдвигом сердечника, а другая связана только с изгибающими напряжениями в лицевых панелях.

Линейная теория сэндвича

Гибка сэндвич-балки с тонкими гранями

Изгиб многослойной балки после учета сдвига сердцевины в деформации.

Основными предположениями линейных сэндвич-теорий балок с тонкими гранями являются:

• поперечная нормальная жесткость сердечника бесконечна, т. е. толщина сердечника в направлении z не изменяется при изгибе
• нормальная жесткость сердечника в плоскости мала по сравнению с жесткостью лицевых листов, т. е. сердечник не удлиняется и не сжимается в направлении x.
• лицевые листы ведут себя в соответствии с предположениями Эйлера-Бернулли , т. е. в лицевых листах нет сдвига xz и толщина лицевых листов в направлении z не меняется.

Однако сдвиговыми напряжениями xz в ядре не пренебрегают.

Основополагающие предположения

Определяющие соотношения для двумерных ортотропных линейно-упругих материалов имеют вид

${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{zx}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{13}&0\\C_{13}&C_{33}&0\\0&0&C_{55}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{zx}\end{bmatrix}}$

Предположения теории сэндвича приводят к упрощенным соотношениям

$\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=C_{11}^{\mathrm {face} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {face} }=\sigma _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {core} }=\sigma _{xx}^{\mathrm {core} }=0$

и

$\varepsilon _{zz}^{\mathrm {face} }=\varepsilon _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\varepsilon _{zz}^{\mathrm {core} }=\varepsilon _{xx}^{\mathrm {core} }=0$

Уравнения равновесия в двух измерениях:

${\cfrac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}=0~;~~{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}=0$

Из предположений для многослойной балки и уравнения равновесия следует, что

$\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }\equiv \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }(z)~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=\mathrm {constant}$

Поэтому для однородных граней и сердцевины деформации также имеют вид

$\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }\equiv \varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }(z)~;~~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }=\mathrm {constant}$

Кинематика

Гибка сэндвич-балки. Общий прогиб представляет собой сумму изгибающей части w _b и сдвиговой части w _s.

Сдвиговые деформации при изгибе многослойной балки.

Пусть на сэндвич-балку действует изгибающий момент $M$ и поперечная сила $Q$. Пусть общий прогиб балки под действием этих нагрузок равен $w$. На соседнем рисунке показано, что при небольших перемещениях общий прогиб средней поверхности балки может быть выражен как сумма двух прогибов, чистый изгибный прогиб. $w_{b}$ и чистое сдвиговое отклонение $w_{s}$, то есть,

$w(x)=w_{b}(x)+w_{s}(x)$

Из геометрии деформации мы видим, что инженерная деформация сдвига ( $\gamma$) в сердцевине связана с эффективной сдвиговой деформацией в композите соотношением

$\gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{2h}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }$

Обратите внимание, что деформация сдвига в сердцевине больше, чем эффективная деформация сдвига в композите, и что небольшие деформации ( $\tan \gamma =\gamma$) предполагаются при выводе приведенного выше соотношения. Эффективная сдвиговая деформация в балке связана со сдвиговым смещением соотношением

$\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }={\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}$

Предполагается, что лицевые панели деформируются в соответствии с предположениями теории балок Эйлера-Бернулли. Предполагается, что общий прогиб лицевых панелей представляет собой суперпозицию прогибов, вызванных изгибом и сдвигом сердечника. $x$-направленные смещения лицевых листов из-за изгиба определяются выражением

$u_{b}^{\mathrm {face} }(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm {d} w_{b}}{\mathrm {d} x}}$

Смещение верхней грани из-за сдвига в сердцевине равно

$u_{s}^{\mathrm {topface} }(x,z)=-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}$

и нижняя лицевая панель

$u_{s}^{\mathrm {botface} }(x,z)=-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}$

Нормальные деформации на двух лицевых пластинах определяются выражением

$\varepsilon _{xx}={\cfrac {\partial u_{b}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial u_{s}}{\partial x}}$

Поэтому,

$\varepsilon _{xx}^{\mathrm {topface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {botface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Отношения напряжение-перемещение

Касательное напряжение в сердечнике определяется выражением

$\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {C_{55}^{\mathrm {core} }}{2}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }$

или,

$\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}$

Нормальные напряжения в лицевых панелях определяются выражением

$\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=C_{11}^{\mathrm {face} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }$

Следовательно,

${\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {topface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\\\sigma _{xx}^{\mathrm {botface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\end{aligned}}$

Результирующие силы и моменты

Результирующая нормальная сила в лицевой пластине определяется как

$N_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f/2}^{f/2}\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }~\mathrm {d} z_{f}$

и результирующие моменты определяются как

$M_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f/2}^{f/2}z_{f}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }~\mathrm {d} z_{f}$

где

$z_{f}^{\mathrm {topface} }:=z-h-{\tfrac {f}{2}}~;~~z_{f}^{\mathrm {botface} }:=z+h+{\tfrac {f}{2}}$

Использование выражений для нормального напряжения на двух лицевых страницах дает

${\begin{aligned}N_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-f\left(h+{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}=-N_{xx}^{\mathrm {botface} }\\M_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}\left({\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M_{xx}^{\mathrm {botface} }\end{aligned}}$

В ядре результирующий момент равен

$M_{xx}^{\mathrm {core} }:=\int _{-h}^{h}z~\sigma _{xx}^{\mathrm {core} }~\mathrm {d} z=0$

Полный изгибающий момент в балке равен

$M=N_{xx}^{\mathrm {topface} }~(2h+f)+2~M_{xx}^{\mathrm {topface} }$

или,

$M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Сила сдвига $Q_{x}$ в ядре определяется как

$Q_{x}^{\mathrm {core} }=\kappa \int _{-h}^{h}\sigma _{xz}~dz={\tfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}$

где $\kappa$ – коэффициент поправки на сдвиг. Поперечиную силу в лицевых панелях можно рассчитать по изгибающим моментам, используя соотношение

$Q_{x}^{\mathrm {face} }={\cfrac {\mathrm {d} M_{xx}^{\mathrm {face} }}{\mathrm {d} x}}$

или,

$Q_{x}^{\mathrm {face} }=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}$

Для тонких лицевых листов усилие сдвига в них обычно не учитывается.

Жесткость на изгиб и сдвиг

Изгибная жесткость многослойной балки определяется выражением

$D^{\mathrm {beam} }=-M/{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Из выражения для полного изгибающего момента в балке имеем

$M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Для малых сдвиговых деформаций приведенное выше выражение можно записать как

$M\approx -{\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Поэтому изгибная жесткость сэндвич-балки (при $f\ll 2h$) определяется

$D^{\mathrm {beam} }\approx {\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }\approx {\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }$

и лицевые листы

$D^{\mathrm {face} }={\cfrac {f^{3}}{12}}~C_{11}^{\mathrm {face} }$

Сдвиговая жесткость балки определяется выражением

$S^{\mathrm {beam} }=Q_{x}/{\tfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}$

Следовательно, сдвиговая жесткость балки, равная сдвиговой жесткости сердечника, равна

$S^{\mathrm {beam} }=S^{\mathrm {core} }={\cfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }$

Связь между изгибом и сдвиговыми прогибами

Связь между изгибом и сдвигом можно получить, используя непрерывность тяг между сердечником и лицевыми листами. Если приравнять тяги напрямую, получим

$n_{x}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }$

На обоих интерфейсах лицевой панели $n_{x}=1$ но в верхней части ядра $n_{z}=1$ и в нижней части ядра $n_{z}=-1$. Следовательно, непрерывность тяги при $z=\pm h$ приводит к

$2fh~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2h+f)~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=4h^{2}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Приведенное выше соотношение используется редко из-за наличия вторых производных сдвигового прогиба. Вместо этого предполагается, что

$n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {\mathrm {d} N_{xx}^{\mathrm {face} }}{\mathrm {d} x}}$

что подразумевает, что

${\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=-2fh~\left({\cfrac {C_{11}^{\mathrm {face} }}{C_{55}^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{b}}{\mathrm {d} x^{3}}}$

Основные уравнения

Используя приведенные выше определения, основные уравнения баланса для изгибающего момента и поперечной силы имеют вид

${\begin{aligned}M&=D^{\mathrm {beam} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(D^{\mathrm {beam} }+2D^{\mathrm {face} }\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q&=S^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}-2D^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}$

Альтернативно мы можем выразить вышеизложенное в виде двух уравнений, которые можно решить относительно $w$ и $w_{s}$ как

${\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}~{\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}=-\left(1+{\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}$

Используя приближения

$Q\approx {\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}~;~~q\approx {\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}$

где $q$ – интенсивность приложенной нагрузки на балку, имеем

${\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}$

Для решения этой системы двух связанных обыкновенных дифференциальных уравнений можно использовать несколько методов с учетом приложенной нагрузки, приложенного изгибающего момента и граничных условий смещения.

Альтернативная форма основных уравнений, зависящая от температуры

Предполагая, что каждое частичное поперечное сечение соответствует гипотезе Бернулли , баланс сил и моментов на деформированном элементе многослойной балки можно использовать для вывода уравнения изгиба многослойной балки.

Рисунок 1 – Уравновешивание прогнутой многослойной балки при температурной нагрузке и нагрузке в сравнении с непрогнутым сечением

Результирующие напряжения и соответствующие деформации балки и поперечного сечения можно увидеть на рисунке 1. С помощью теории линейной упругости можно вывести следующие соотношения :

${\begin{aligned}M^{\mathrm {core} }&=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma _{2}}{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\vartheta \right)\\M^{\mathrm {face} }&=-D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q^{\mathrm {core} }&=S^{\mathrm {core} }\gamma \\Q^{\mathrm {face} }&=-D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}\,$

где

$w\,$	поперечное смещение балки
$\gamma \,$	Средняя деформация сдвига в сэндвиче	$\gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}\,$
$\gamma _{1}\,$	Поворот лицевых панелей	$\gamma _{1}={\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\,$
$\gamma _{2}\,$	Сдвиговая деформация в сердечнике
$M^{\mathrm {core} }\,$	Изгибающий момент в сердечнике
$D^{\mathrm {beam} }\,$	Изгибная жесткость сэндвич-балки
$M^{\mathrm {face} }\,$	Изгибающий момент в лицевых панелях
$D^{\mathrm {face} }\,$	Жесткость лицевых панелей на изгиб
$Q^{\mathrm {core} }\,$	Поперечная сила в ядре
$Q^{\mathrm {face} }\,$	Сила сдвига в лицевых панелях
$S^{\mathrm {core} }\,$	Сдвиговая жесткость сердечника
$\vartheta \,$	Дополнительный изгиб вследствие перепада температуры	$\vartheta ={\frac {\alpha (T_{o}-T_{u})}{e}}\,$
$\alpha \,$	Температурный коэффициент расширения конвергенции

Суперпозиция уравнений для лицевых панелей и сердечника приводит к следующим уравнениям для полной поперечной силы: $Q$ и полный изгибающий момент $M$:

${\begin{alignedat}{3}&S^{\mathrm {core} }\gamma -D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}=Q&\quad \quad &(1)\\&D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)-\left(D^{\mathrm {beam} }+D^{\mathrm {face} }\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M&\quad \quad &(2)\,\end{alignedat}}$

Альтернативно мы можем выразить вышеизложенное в виде двух уравнений, которые можно решить относительно $w$ и $\gamma$, то есть,

${\begin{aligned}&\left({\frac {D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}-\vartheta \\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\gamma }{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\right)\gamma =-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}$

Подходы к решению

Сдвиговая и изгибная деформация многослойной композитной балки.

Поведение при изгибе и напряжения в непрерывной многослойной балке можно рассчитать путем решения двух основных дифференциальных уравнений.

Аналитический подход

Для простых геометрических форм, таких как двухпролетные балки при равномерно распределенных нагрузках, основные уравнения можно решить, используя соответствующие граничные условия и принцип суперпозиции. Такие результаты указаны в стандарте DIN EN 14509:2006. (Таблица Е10.1). Энергетические методы также могут использоваться для непосредственного расчета решений.

Численный подход

Дифференциальное уравнение многослойной неразрезной балки может быть решено с использованием численных методов, таких как конечные разности и конечные элементы . Для конечных разностей Бернера рекомендует двухэтапный подход. После решения дифференциального уравнения для нормальных сил в опорных листах для однопролетной балки при заданной нагрузке энергетический метод можно использовать для расширения подхода к расчету многопролетных балок. При использовании этого метода также можно укладывать неразрезную сэндвич-балку с гибкими покрывающими листами. Однако поперечное сечение балки должно быть постоянным по всем пролетам.

Более специализированный подход, рекомендованный Шварце. включает в себя точное решение однородной части основного уравнения и приближенное решение конкретной части. Напомним, что основное уравнение многослойной балки имеет вид

$\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}$

Если мы определим

$\alpha :={\cfrac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}~;~~\beta :={\cfrac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}~;~~W(x):={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

мы получаем

${\cfrac {\mathrm {d} ^{2}W}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\cfrac {1+\alpha }{\beta }}\right)~W={\frac {M}{\beta D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{D^{\mathrm {face} }}}$

Шварце использует общее решение для однородной части приведенного выше уравнения и полиномиальную аппроксимацию для частного решения для сечений многослойной балки. Интерфейсы между секциями связаны между собой соответствием граничных условий. Этот подход был использован в открытом исходном коде swe2 .

Практическая значимость

Результаты, предсказанные линейной сэндвич-теорией, хорошо коррелируют с экспериментально определенными результатами. Теория используется в качестве основы для структурного отчета , который необходим при строительстве крупных промышленных и коммерческих зданий, облицованных сэндвич-панелями . Его использование прямо требуется для получения разрешений и в соответствующих технических стандартах.

Мохаммед Рахиф Хакми и другие провели исследования численного, экспериментального поведения материалов, а также поведения композитных материалов при пожаре и взрыве . Он опубликовал несколько научных статей:

• Местное коробление сэндвич-панелей .
• Лицевое напряжение продольного изгиба в сэндвич-панелях .
• Поведение тонкостенных стальных балок, заполненных пеной, после выпучивания.
• «Огнестойкость композитных плит перекрытия на модельном стенде для огневых испытаний»
• Огнестойкие сэндвич-панели для морских сооружений Сэндвич-панели . .
• Численный температурный анализ гигроскопических панелей, подвергающихся воздействию огня.
• Экономически эффективное использование армированных волокном композитов на море.

Хакми разработал метод проектирования, который был рекомендован Рабочей комиссией CIB по сэндвич-панелям W056, Объединенным комитетом ECCS/CIB и использовался в европейских рекомендациях по проектированию сэндвич-панелей (CIB, 2000).

См. также

• Гибка
• Теория пучка
• Композитный материал
• Критерий урожайности холма
• Композит сэндвич-структуры
• Система сэндвич-панелей
• Композитные соты
• Timoshenko beam theory
• Теория пластин
• Сэндвич-панель

Библиография

• Мохаммед Рахиф Хакми
• Клаус Бернер, Оливер Раабе: Проектирование компонентов сэндвича . Шрифт IFBS 5.08, IFBS eV , Дюссельдорф, 2006 г.
• Ральф Мёллер, Ханс Пётер, Кнут Шварце: Проектирование и строительство с использованием трапециевидных профилей и сэндвич-элементов . Том 1, Ernst & Sohn, Берлин, 2004 г., ISBN   3-433-01595-3 .

Внешние ссылки

• Мохаммед Рахиф Хакми Исследование сэндвич-панелей
• Институт сэндвич-технологий
• https://web.archive.org/web/20081120190919/http://www.diabgroup.com/europe/literature/e_pdf_files/man_pdf/sandwich_hb.pdf Справочник DIAB по сэндвичам
• http://www.swe1.com Программа для определения внутренних сил и напряжений сэндвич-стеновых панелей с гибкими защитными слоями (с открытым исходным кодом)
• http://www.swe2.com Расчет сэндвич-балок с гофрированными гранями (с открытым исходным кодом)