Теория пучка Тимошенко – Эренфеста

Ориентация линии перпендикулярно средней плоскости толстой книги в мягкой обложке при изгибе.

Теория пучка Тимошенко – Эренфеста была разработана Стивеном Тимошенко и Полом Эренфестом. в начале 20 века. Модель учитывает эффекты сдвиговой деформации и вращательного изгиба , что делает ее подходящей для описания поведения толстых балок, многослойных композитных балок или балок, подвергающихся высокочастотному возбуждению , когда длина волны приближается к толщине балки. Полученное уравнение имеет 4-й порядок, но, в отличие от теории балок Эйлера-Бернулли , присутствует также частная производная второго порядка. Физически учет дополнительных механизмов деформации эффективно снижает жесткость балки, в то время как в результате происходит больший прогиб под статической нагрузкой и более низкие прогнозируемые собственные частоты для данного набора граничных условий. Последний эффект более заметен для более высоких частот, поскольку длина волны становится короче (в принципе сравнимой с высотой луча или короче), и, таким образом, расстояние между противоположными поперечными силами уменьшается.

Эффект вращательной инерции был введен Брессом. и Рэлей.

Если модуль сдвига материала балки приближается к бесконечности - и, таким образом, балка становится жесткой при сдвиге - и если пренебречь эффектами инерции вращения, теория балки Тимошенко сходится к теории балки Эйлера-Бернулли .

Quasistatic Timoshenko beam

Деформация балки Тимошенко (синий) по сравнению с деформацией балки Эйлера – Бернулли (красный).

Деформация балки Тимошенко. Нормаль поворачивается на величину $\theta _{x}=\varphi (x)$ что не равно $dw/dx$.

В статической теории балки Тимошенко без осевых эффектов предполагается, что смещения балки определяются выражением

$u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x,y)=w(x)$

где $(x,y,z)$ – координаты точки балки, $u_{x},u_{y},u_{z}$ – компоненты вектора смещения в трех координатных направлениях, $\varphi$ - угол поворота нормали к средней поверхности балки, а $w$ - это смещение срединной поверхности в $z$-направление.

Основными уравнениями являются следующие связанные системы обыкновенных дифференциальных уравнений :

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right).\end{aligned}}$

Теория пучка Тимошенко для статического случая эквивалентна теории Эйлера – Бернулли, если пренебречь последним слагаемым выше, приближение, которое справедливо, когда

${\frac {3EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1$

где

• $L$ это длина балки.
• $A$ это площадь поперечного сечения.
• $E$ – модуль упругости .
• $G$ – модуль сдвига .
• $I$ это второй момент площади .
• $\kappa$, называемый коэффициентом сдвига Тимошенко, зависит от геометрии. Обычно, $\kappa =5/6$ для прямоугольного сечения.
• $q(x)$ — распределенная нагрузка (сила на длину).
• $w$ - это смещение срединной поверхности в $z$-направление.
• $\varphi$ — угол поворота нормали к средней поверхности балки.

Объединение двух уравнений дает для однородной балки постоянного поперечного сечения:

$EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Изгибающий момент $M_{xx}$ и поперечная сила $Q_{x}$ в балке связаны со смещением $w$ и вращение $\varphi$. Эти соотношения для линейно упругой балки Тимошенко таковы:

$M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.$

showВывод квазистатических уравнений балки Тимошенко

From the kinematic assumptions for a Timoshenko beam, the displacements of the beam are given by $u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z)=w(x,t)$ Then, from the strain-displacement relations for small strains, the non-zero strains based on the Timoshenko assumptions are $\varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=-z~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~;~~\varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)$ Since the actual shear strain in the beam is not constant over the cross section we introduce a correction factor $\kappa$ such that $\varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}~\kappa ~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)$ The variation in the internal energy of the beam is $\delta U=\int _{L}\int _{A}(\sigma _{xx}\delta \varepsilon _{xx}+2\sigma _{xz}\delta \varepsilon _{xz})~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L=\int _{L}\int _{A}\left[-z~\sigma _{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+\sigma _{xz}~\kappa \left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L$ Define $M_{xx}:=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A~;~~Q_{x}:=\kappa ~\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A$ Then $\delta U=\int _{L}\left[-M_{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+Q_{x}\left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} L$ Integration by parts, and noting that because of the boundary conditions the variations are zero at the ends of the beam, leads to $\delta U=\int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}~\delta w\right]~\mathrm {d} L$ The variation in the external work done on the beam by a transverse load $q(x,t)$ per unit length is $\delta W=\int _{L}q~\delta w~\mathrm {d} L$ Then, for a quasistatic beam, the principle of virtual work gives $\delta U=\delta W\implies \int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -\left({\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q\right)~\delta w\right]~\mathrm {d} L=0$ The governing equations for the beam are, from the fundamental theorem of variational calculus, ${\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}=0~;~~{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q=0$ For a linear elastic beam ${\begin{aligned}M_{xx}&=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A=\int _{A}z~E~\varepsilon _{xx}~\mathrm {d} A=-\int _{A}z^{2}~E~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~\mathrm {d} A=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\Q_{x}&=\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}2G~\varepsilon _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}\kappa ~G~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)~\mathrm {d} A=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\end{aligned}}$ Therefore the governing equations for the beam may be expressed as ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)&=0\\{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q&=0\end{aligned}}$ Combining the two equations together gives ${\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)=q\\&{\frac {\partial w}{\partial x}}=\varphi -{\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)\end{aligned}}$

Граничные условия

Два уравнения, описывающие деформацию балки Тимошенко, должны быть дополнены граничными условиями, если их необходимо решить. задачи необходимы четыре граничных условия Для корректной постановки . Типичные граничные условия:

• Свободно опертые балки : смещение $w$ равна нулю в местах расположения двух опор. Изгибающий момент $M_{xx}$ также необходимо указать силу, приложенную к балке. Ротация $\varphi$ и поперечная сила сдвига $Q_{x}$ не указаны.
• Зажатые балки : смещение $w$ и вращение $\varphi$ заданы равными нулю на зажатом конце. Если один конец свободен, поперечная сила $Q_{x}$ и изгибающий момент $M_{xx}$ должны быть указаны в этом конце.

Strain energy of a Timoshenko beam

Энергия деформации балки Тимошенко выражается как сумма энергий деформации из-за изгиба и сдвига. Обе эти компоненты квадратичны по своим переменным. Функцию энергии деформации балки Тимошенко можно записать как:

$W=\int _{[0,L]}{\frac {EI}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+{\frac {kGA}{2}}\left(\varphi -{\frac {dw}{dx}}\right)^{2}$

Пример: консольная балка

Консольная балка Тимошенко под точечной нагрузкой на свободном конце.

Для консольной балки одна граница зажата, а другая свободна. Воспользуемся правосторонней системой координат , в которой $x$ направление положительное вправо, а $z$ направление положительное вверх. Следуя обычному соглашению, мы предполагаем, что положительные силы действуют в положительных направлениях. $x$ и $z$ оси и положительные моменты действуют по часовой стрелке. Мы также предполагаем, что соглашение о знаках равнодействующих напряжений ( $M_{xx}$ и $Q_{x}$) такова, что положительные изгибающие моменты сжимают материал в нижней части балки (нижняя часть балки). $z$ координаты) и положительные поперечные силы вращают балку против часовой стрелки.

Предположим, что зажатый конец находится на $x=L$ и свободный конец находится на $x=0$. Если точечная нагрузка $P$ применяется к свободному концу в положительном $z$ направление, диаграмма свободного тела балки дает нам

$-Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px$

и

$P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,.$

Поэтому из выражений для изгибающего момента и поперечной силы имеем

$Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{and}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw}{dx}}\right)\,.$

Интегрирование первого уравнения и применение граничного условия $\varphi =0$ в $x=L$, приводит к

$\varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.$

Тогда второе уравнение можно записать как

${\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.$

Интегрирование и применение граничного условия $w=0$ в $x=L$ дает

$w(x)={\frac {P(L-x)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.$

Осевое напряжение определяется выражением

$\sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.$

Dynamic Timoshenko beam

В теории балки Тимошенко без учета осевых эффектов предполагается, что смещения балки определяются выражением

$u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)$

где $(x,y,z)$ – координаты точки балки, $u_{x},u_{y},u_{z}$ – компоненты вектора смещения в трех координатных направлениях, $\varphi$ - угол поворота нормали к средней поверхности балки, а $w$ - это смещение срединной поверхности в $z$-направление.

Исходя из вышеизложенного предположения, теория балки Тимошенко с учетом вибраций может быть описана с помощью связанных линейных дифференциальных уравнений в частных производных :

$\rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]$

$\rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)$

где зависимые переменные $w(x,t)$, поступательное смещение балки и $\varphi (x,t)$, угловое смещение. Обратите внимание, что в отличие от теории Эйлера – Бернулли , угловое отклонение является еще одной переменной и не аппроксимируется наклоном отклонения. Также,

• $\rho$ — плотность материала балки (но не линейная плотность ).
• $A$ это площадь поперечного сечения.
• $E$ – модуль упругости .
• $G$ – модуль сдвига .
• $I$ это второй момент площади .
• $\kappa$, называемый коэффициентом сдвига Тимошенко, зависит от геометрии. Обычно, $\kappa =5/6$ для прямоугольного сечения.
• $q(x,t)$ — распределенная нагрузка (сила на длину).
• $m:=\rho A$
• $J:=\rho I$
• $w$ - это смещение срединной поверхности в $z$-направление.
• $\varphi$ — угол поворота нормали к средней поверхности балки.

Эти параметры не обязательно являются постоянными.

Для линейно упругой изотропной однородной балки постоянного поперечного сечения эти два уравнения можно объединить, чтобы получить

$EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{\kappa AG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}$

showВывод комбинированного уравнения балки Тимошенко

The equations governing the bending of a homogeneous Timoshenko beam of constant cross-section are ${\begin{aligned}(1)&&\quad m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&=\kappa AG~\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+q(x,t)~;~~m:=\rho A\\(2)&&\quad J~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=EI~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)~;~~J:=\rho I\end{aligned}}$ From equation (1), assuming appropriate smoothness, we have ${\begin{aligned}(3)&&\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&={\cfrac {q}{\kappa AG}}-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\\(4)&&\quad {\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}&={\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}-{\frac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}\\(5)&&\quad {\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}}&={\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}\end{aligned}}$ Differentiating equation (2) gives ${\begin{aligned}(6)&&\quad J~{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}}&=EI~{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}+\kappa AG~\left({\frac {\partial w^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)\end{aligned}}$ Substituting equation (3), (4), (5) into equation (6) and rearrange, we get ${\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}$

Однако легко показать, что это уравнение неверно. Рассмотрим случай, когда q является постоянным и не зависит от x или t, в сочетании с наличием небольшого затухания все производные по времени будут стремиться к нулю, когда t стремится к бесконечности. Члены сдвига в этой ситуации отсутствуют, что приводит к теории балки Эйлера-Бернулли, в которой деформацией сдвига пренебрегают.

Уравнение Тимошенко предсказывает критическую частоту $\omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I}}}.$Для нормальных режимов можно решить уравнение Тимошенко. Будучи уравнением четвертого порядка, существует четыре независимых решения: два колебательных и два затухающих для частот ниже $f_{c}$. Для частот больше $f_{c}$ все решения являются колебательными и, как следствие, появляется второй спектр.

Осевые эффекты

Если перемещения балки определяются выражением

$u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)$

где $u_{0}$ представляет собой дополнительное смещение в $x$-направлении, то основные уравнения балки Тимошенко принимают вид

${\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}$

где $J=\rho I$ и $N(x,t)$ — внешняя осевая сила. Любая внешняя осевая сила уравновешивается результирующей напряжения.

$N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz$

где $\sigma _{xx}$ — осевое напряжение, а толщина балки предполагалась равной $2h$.

Комбинированное уравнение балки с учетом эффектов осевой силы:

$EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}$

Демпфирование

Если помимо осевых сил принять силу демпфирования, пропорциональную скорости, имеющую вид

$\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}$

связанные основные уравнения для балки Тимошенко принимают вид

$m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)$

$J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)$

и объединенное уравнение принимает вид

${\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{3}w}{\partial t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}\right)+\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}$

Предостережение по поводу этой анзац-силы демпфирования (напоминающей вязкость) заключается в том, что, хотя вязкость приводит к частотно-зависимой и независимой от амплитуды скорости затухания колебаний балки, эмпирически измеренные скорости демпфирования нечувствительны к частоте, но зависят от амплитуды отклонения балки. .

Коэффициент сдвига

Определение коэффициента сдвига не является простым (и определенные значения не получили широкого признания, т.е. существует более одного ответа); как правило, он должен удовлетворять:

$\int _{A}\tau dA=\kappa AG(\varphi -{\frac {\partial w}{\partial x}})$ .

Коэффициент сдвига зависит от коэффициента Пуассона . Попытки дать точные выражения предпринимались многими учеными, в том числе Стефаном Тимошенко , Рэймонд Д. Миндлин , Г. Р. Каупер, Н.Г. Стивен, Дж. Р. Хатчинсон и т. д. (см. также вывод балочной теории Тимошенко как уточненной балочной теории, основанной на вариационно-асимптотическом методе, в книге Хана К. Ле что приводит к разным коэффициентам сдвига в статическом и динамическом случаях). В инженерной практике выражения Стефана Тимошенко в большинстве случаев достаточно. В 1975 году Канеко опубликовал отличный обзор исследований коэффициента сдвига. Совсем недавно новые экспериментальные данные показывают, что коэффициент сдвига недооценен.

Поправочные коэффициенты сдвига для однородной изотропной балки по Кауперу – выбор.

Поперечное сечение	Коэффициент
	${\frac {10(1+\nu )}{12+11\nu }}$
	${\frac {6(1+\nu )}{7+6\nu }}$
	${\frac {12(1+\nu )a^{2}(3a^{2}+b^{2})}{(40+37\nu )a^{4}+(16+10\nu )a^{2}b^{2}+\nu b^{4}}}$
	${\frac {1+\nu }{1.305+1.273\nu }}$
	${\frac {6(1+\nu )(1+m^{2})^{2}}{(7+6\nu )(1+m^{2})^{2}+(20+12\nu )m^{2}}}$, где $m={\frac {b}{a}}$
	${\frac {2(1+\nu )}{4+3\nu }}$
	${\frac {20(1+\nu )}{48+39\nu }}$
	${\frac {10(1+\nu )(1+3m)^{2}}{(12+72m+150m^{2}+90m^{3})+\nu (11+66m+135m^{2}+90m^{3})+10n^{2}((3+\nu )m+3m^{2})}}$, где $m={\frac {bt_{1}}{ht_{2}}}$ и $n={\frac {b}{h}}$
	${\frac {10(1+\nu )(1+3m)^{2}}{(12+72m+150m^{2}+90m^{3})+\nu (11+66m+135m^{2}+90m^{3})+30n^{2}(m+m^{2})+5\nu n^{2}(8m+9m^{2})}}$, где $m={\frac {2bt_{1}}{ht_{2}}}$ и $n={\frac {b}{h}}$
	${\frac {10(1+\nu )(1+4m)^{2}}{(12+96m+276m^{2}+192m^{3})+\nu (11+88m+248m^{2}+216m^{3})+30n^{2}(m+m^{2})+10\nu n^{2}(4m+5m^{2}+m^{3})}}$, где $m={\frac {bt_{1}}{ht_{2}}}$ и $n={\frac {b}{h}}$

где $\nu$ – коэффициент Пуассона.

См. также

• Теория пластин
• Теория сэндвича