Теорема трех моментов

В гражданском строительстве и структурном анализе Клапейрона теорема о трех моментах представляет собой соотношение между изгибающими моментами в трех последовательных опорах горизонтальной балки.

Пусть A,B,CD — три последовательные точки опоры и обозначают через l длину AB и $l'$ длина BC на w и $w'$ вес на единицу длины в этих сегментах. Затем изгибающие моменты $M_{A},\,M_{B},\,M_{C}$ в трех точках связаны соотношением:

$M_{A}l+2M_{B}(l+l')+M_{C}l'={\frac {1}{4}}wl^{3}+{\frac {1}{4}}w'(l')^{3}.$

Это уравнение также можно записать как

$M_{A}l+2M_{B}(l+l')+M_{C}l'={\frac {6a_{1}x_{1}}{l}}+{\frac {6a_{2}x_{2}}{l'}}$

где а ₁ - площадь на диаграмме изгибающих моментов от вертикальных нагрузок на АВ, а ₂ - площадь от нагрузок на ВС, х ₁ - расстояние от А до центра тяжести диаграммы изгибающих моментов балки АВ, х ₂ – расстояние от С до центра тяжести площади диаграммы изгибающих моментов балки ВС.

Второе уравнение является более общим, поскольку оно не требует равномерного распределения веса каждого сегмента.

Рисунок 01-Пример сечения неразрезной балки

Вывод уравнений трех моментов

Мора Теорема можно использовать для вывода теоремы о трех моментах (ТМТ).

Первая теорема Мора

Изменение наклона кривой отклонения между двумя точками балки равно площади диаграммы M/EI между этими двумя точками (Рисунок 02).

Рисунок 02-Первая теорема Мора

Вторая теорема Мора

Рассмотрим две точки k1 и k2 на балке . Отклонение k1 и k2 относительно точки пересечения касательной в точках k1 и k2 и вертикали, проходящей через k1, равно моменту диаграммы M/EI между k1 и k2 относительно k1. (Рисунок 03).

Рисунок03-Вторая теорема Мора

Уравнение трех моментов выражает соотношение между изгибающими моментами в трех последовательных опорах неразрезной балки, подвергающихся нагрузке на два соседних пролета с осадкой опор или без нее.

Соглашение о знаках

Согласно рисунку 04,

1. Моменты М1, М2 и М3 положительны, если они вызывают сжатие в верхней части балки. ( провисающий позитив)
2. Отклонение . вниз положительное (Позитивный расчет в сторону понижения)
3. Пусть ABC — непрерывная балка с опорой в точках A, B и C. Тогда моменты в точках A, B и C равны M1, M2 и M3 соответственно.
4. Пусть A' B' и C' будут конечными положениями балки ABC с учетом осадок опоры .

Рисунок 04-Кривая отклонения неразрезной балки при осадке

Вывод теоремы о трех моментах

PB'Q — это касательная, проведенная в точке B' для конечной упругой кривой A'B'C' балки ABC . RB’S — горизонтальная линия, проведенная через B’. Рассмотрим треугольники RB'P и QB'S.

${\dfrac {PR}{RB'}}={\dfrac {SQ}{B'S}},$

${\dfrac {PR}{L1}}={\dfrac {SQ}{L2}}$ ( 1 )

$PR=\Delta B-\Delta A+PA'$ ( 2 )

$SQ=\Delta C-\Delta B-QC'$ ( 3 )

Из (1), (2) и (3)

${\dfrac {\Delta B-\Delta A+PA'}{L1}}={\dfrac {\Delta C-\Delta B-QC'}{L2}}$

${\dfrac {PA'}{L1}}+{\dfrac {QC'}{L2}}={\dfrac {\Delta A-\Delta B}{L1}}+{\dfrac {\Delta C-\Delta B}{L2}}$ ( а )

Нарисуйте диаграмму M/EI, чтобы найти PA' и QC'.

Pисунок 05 - Диаграмма M/EI

Из второй теоремы Мора
PA' = первый момент площади диаграммы M/EI между A и B относительно A.

$PA'=\left({\frac {1}{2}}\times {\frac {M_{1}}{E_{1}I_{1}}}\times L_{1}\right)\times L_{1}\times {\frac {1}{3}}+\left({\frac {1}{2}}\times {\frac {M_{2}}{E_{2}I_{2}}}\times L_{1}\right)\times L_{1}\times {\frac {2}{3}}+{\frac {A_{1}X_{1}}{E_{1}I_{1}}}$

QC' = первый момент площади диаграммы M/EI между B и C относительно C.

$QC'=\left({\frac {1}{2}}\times {\frac {M_{3}}{E_{2}I_{2}}}\times L_{2}\right)\times L_{2}\times {\frac {1}{3}}+\left({\frac {1}{2}}\times {\frac {M_{2}}{E_{2}I_{2}}}\times L_{2}\right)\times L_{2}\times {\frac {2}{3}}+{\frac {A_{2}X_{2}}{E_{2}I_{2}}}$

Подставив PA' и QC' в уравнение (a), можно получить теорему трех моментов (ТМТ).

Уравнение трех моментов

${\frac {M_{1}L_{1}}{E_{1}I_{1}}}+2M_{2}\left({\frac {L_{1}}{E_{1}I_{1}}}+{\frac {L_{2}}{E_{2}I_{2}}}\right)+{\frac {M_{3}L_{2}}{E_{2}I_{2}}}=6[{\frac {\Delta A-\Delta B}{L_{1}}}+{\frac {\Delta C-\Delta B}{L_{2}}}]-6[{\frac {A_{1}X_{1}}{E_{1}I_{1}L_{1}}}+{\frac {A_{2}X_{2}}{E_{2}I_{2}L_{2}}}]$

Внешние ссылки

• CodeCogs: Непрерывные балки с более чем одним пролетом