Метод сопряженных пучков

Метод сопряженных балок — это инженерный метод определения наклона и смещения балки. Сопряженная балка определяется как воображаемая балка тех же размеров (длины), что и исходная балка, но нагрузка в любой точке сопряженной балки равна изгибающему моменту в этой точке, разделенному на EI. ^[1]

Метод сопряженной балки был разработан Генрихом Мюллером-Бреслау в 1865 году. По сути, он требует того же объема вычислений, что и теоремы о моменте и площади, для определения наклона или отклонения балки; однако этот метод опирается только на принципы статики, поэтому его применение будет более привычным. ^[2]

В основе метода лежит подобие уравнения. 1 и уравнение 2 к уравнениям 3 и 4. Чтобы показать это сходство, эти уравнения показаны ниже.

$Eq.1\;{\frac {dV}{dx}}=w$	$Eq.3\;{\frac {d^{2}M}{dx^{2}}}=w$
$Eq.2\;{\frac {d\theta }{dx}}={\frac {M}{EI}}$	$Eq.4\;{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}={\frac {M}{EI}}$

Интегрированные уравнения выглядят следующим образом.

$V=\int w\,dx$	$M=\int \left[\int w\,dx\right]dx$
$\theta =\int \left({\frac {M}{EI}}\right)dx$	$v=\int \left[\int \left({\frac {M}{EI}}\right)dx\right]dx$

Здесь сдвиг V сравнивается с наклоном θ, момент M сравнивается со смещением v, а внешняя нагрузка w сравнивается с диаграммой M/EI. Ниже приведена диаграмма сдвига, момента и отклонения. балки Диаграмма AM/EI представляет собой диаграмму моментов, разделенную на модуль Юнга и момент инерции .

Чтобы воспользоваться этим сравнением, мы теперь рассмотрим балку, имеющую ту же длину, что и реальная балка, но называемую здесь «сопряженной балкой». Сопряженная балка «нагружена» диаграммой M/EI, полученной на основе нагрузки на реальную балку. Из приведенных выше сравнений мы можем сформулировать две теоремы, связанные с сопряженным пучком: ^[2]

Теорема 1: Наклон в точке реальной балки численно равен сдвигу в соответствующей точке сопряженной балки.

Теорема 2: Смещение точки реальной балки численно равно моменту в соответствующей точке сопряженной балки. ^[2]

Опоры сопряженных балок

При рисовании сопряженной балки важно, чтобы сдвиг и момент, возникающие в опорах сопряженной балки, учитывали соответствующий наклон и смещение реальной балки в ее опорах, что является следствием теорем 1 и 2. Например, как показано ниже. , штыревая или роликовая опора на конце реальной балки обеспечивает нулевое смещение, но ненулевой наклон. Следовательно, по теоремам 1 и 2 сопряженная балка должна опираться на штифт или ролик, так как эта опора имеет нулевой момент, но имеет сдвиговую или концевую реакцию. Когда реальная балка имеет фиксированную опору, наклон и смещение равны нулю. Здесь сопряженная балка имеет свободный конец, так как на этом конце нулевой сдвиг и нулевой момент. Соответствующие действительные и сопряженные носители показаны ниже. Отметим, что, как правило, без учета осевых сил статически определенные реальные балки имеют статически определенные сопряженные балки; а статически неопределимые действительные балки имеют неустойчивые сопряженные балки. Хотя это и происходит, нагрузка M/EI обеспечит необходимое «равновесие», чтобы поддерживать стабильность сопряженного пучка. ^[2]

Реальная поддержка против поддержки сопряжения ^[3]
Реальный луч		Сопряженный пучок
Фиксированная поддержка		Свободный конец
$v=0$ $\theta =0$		${\overline {M}}=0$ ${\overline {Q}}=0$
Свободный конец		Фиксированная поддержка
$v\not =0$ $\theta \not =0$		${\overline {M}}\not =0$ ${\overline {Q}}\not =0$
Шарнирная опора		Шарнирная опора
$v=0$ $\theta \not =0$		${\overline {M}}=0$ ${\overline {Q}}\not =0$
Средняя поддержка		Средний шарнир
$v=0$ $\theta$ :продолжать		${\overline {M}}=0$ ${\overline {Q}}$ :продолжать
Средний шарнир		Средняя поддержка
$v$ :продолжать $\theta$ :прекратить		${\overline {M}}$ :продолжать ${\overline {Q}}$ :прекратить

Примеры сопряженной балки ^[3]
Реальный луч		Сопряженный пучок
Простой луч
Консольная балка
Левая нависающая балка
Навесная балка с обоих концов
Балка Гербера (2 пролета)
Балка Гербера (3 пролета)

Процедура анализа

Следующая процедура представляет собой метод, который можно использовать для определения смещения и прогиба в точке упругой кривой балки с использованием метода сопряженной балки.

Сопряженный пучок

Нарисуйте сопряженный луч для реального луча. Эта балка имеет ту же длину, что и реальная балка, и имеет соответствующие опоры, перечисленные выше.
В общем, если реальная опора допускает наклон, сопряженная опора должна развивать сдвиг ; и если реальная опора допускает смещение, то сопряженная опора должна развить момент .
Сопряженный луч загружается диаграммой M/EI реального луча. Предполагается, что эта нагрузка распределена по сопряженной балке и направлена вверх, когда M/EI положителен, и вниз, когда M/EI отрицателен. Другими словами, нагрузка всегда действует в сторону от балки. ^[2]

Равновесие

Используя уравнения статики , определите реакции на опорах сопряженных балок.
Разрежьте сопряженную балку в точке, где необходимо определить наклон θ и смещение Δ реальной балки. На разрезе показаны неизвестные сдвиги V' и M', равные θ и Δ соответственно для реальной балки. В частности, если эти значения положительны, наклон направлен против часовой стрелки, а смещение направлено вверх. ^[2]

См. также

Консольный метод

Ссылки

ОКАМУРА Коичи Окамура Коичи (1988) Кодзо коугаку (I) Добоку кютэй сэнсё сюппан. Касима 4-306-02225-0 .

^ Бансал, РК (2010). Прочность материалов . ISBN 9788131808146 . Проверено 20 ноября 2014 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Хиббелер, Р.К. (2009). Структурный анализ . Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Пирсон. стр. 328–335 . ISBN 9780136020608 .
^ Jump up to: ^а ^б Окмамура (1988) , стр. 171.

[1] Бансал, РК (2010). Прочность материалов . ISBN 9788131808146 . Проверено 20 ноября 2014 г.

[Hibbeler_2009_328–335-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Хиббелер, Р.К. (2009). Структурный анализ . Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Пирсон. стр. 328–335 . ISBN 9780136020608 .

[okamura_171-3] Jump up to: ^а ^б Окмамура (1988) , стр. 171.

[1]

[2]

[3]