Диаграмма сдвига и момента

Диаграмма поперечных и изгибающих моментов для свободно опертой балки с сосредоточенной нагрузкой в ​​середине пролета.

Диаграммы поперечных сил и изгибающих моментов — это аналитические инструменты, используемые в сочетании со структурным анализом , которые помогают выполнить проектирование конструкций путем определения значения поперечных сил и изгибающих моментов в данной точке структурного элемента, такого как балка . Эти диаграммы можно использовать для легкого определения типа, размера и материала элемента конструкции, чтобы заданный набор нагрузок можно было выдержать без разрушения конструкции . Другое применение диаграмм сдвига и моментов заключается в том, что прогиб балки можно легко определить, используя либо метод площади момента , либо метод сопряженной балки .

Соглашение

Хотя эти соглашения относительны и можно использовать любое соглашение, если оно указано явно, практикующие инженеры приняли стандартное соглашение, используемое в практике проектирования.

Нормальная конвенция

Обычное соглашение, используемое в большинстве инженерных приложений, — это положительная поперечная сила, которая вращает элемент по часовой стрелке (вверх слева и вниз справа). Аналогичным образом, обычным правилом положительного изгибающего момента является деформация элемента в форме буквы «U» (по часовой стрелке слева и против часовой стрелки справа). Еще один способ запомнить это: если момент сгибает балку в «улыбку», тогда момент положительный, со сжатием вверху балки и напряжением внизу.

Условное обозначение нормальной положительной поперечной силы (слева) и условного обозначения нормального изгибающего момента (справа).

Это соглашение было выбрано для упрощения анализа лучей. Поскольку горизонтальный элемент обычно анализируется слева направо, а положительное значение в вертикальном направлении обычно считается направленным вверх, правило положительного сдвига было выбрано таким образом, чтобы оно было направлено вверх слева и чтобы все чертежи были согласованными вниз справа. Соглашение о положительном изгибе было выбрано таким образом, чтобы положительная поперечная сила имела тенденцию создавать положительный момент.

Альтернативное соглашение о рисовании

В проектировании конструкций и, в частности , при проектировании бетона положительный момент создается на растянутой стороне элемента. Это соглашение помещает положительный момент ниже балки, описанной выше. Условное размещение диаграммы моментов на стороне растяжения позволяет более легко и четко работать с рамами. Кроме того, размещение момента на растянутой стороне элемента показывает общую форму деформации и указывает, на какой стороне бетонного элемента следует размещать арматурный стержень , поскольку бетон слаб при растяжении.

Взаимосвязь между диаграммами нагрузки, сдвига и момента

Поскольку этот метод может легко стать неоправданно сложным при решении относительно простых задач, может быть весьма полезно понять различные взаимосвязи между диаграммой нагрузки, сдвига и момента. Первым из них является связь между распределенной нагрузкой на диаграмме нагружения и диаграммой сдвига. Поскольку распределенная нагрузка изменяет сдвиговую нагрузку в зависимости от ее величины, можно сделать вывод, что наклон диаграммы сдвига равен величине распределенной нагрузки. Связь, описываемая теоремой Шведлера , между распределенной нагрузкой и величиной поперечной силы:

${\frac {dQ}{dx}}=-q$

Некоторым прямым результатом этого является то, что диаграмма сдвига будет иметь точечное изменение величины, если к элементу приложена точечная нагрузка, и линейно изменяющуюся величину сдвига в результате постоянной распределенной нагрузки.Аналогичным образом можно показать, что наклон диаграммы моментов в данной точке равен величине диаграммы сдвига на этом расстоянии. Связь между распределенной поперечной силой и изгибающим моментом следующая:

${\frac {dM}{dx}}=Q$

Прямым результатом этого является то, что в каждой точке диаграмма сдвига пересекает ноль, диаграмма моментов будет иметь локальный максимум или минимум. Кроме того, если диаграмма сдвига равна нулю по длине элемента, диаграмма моментов будет иметь постоянное значение на этой длине. С помощью расчетов можно показать, что точечная нагрузка приведет к линейно изменяющейся диаграмме моментов, а постоянная распределенная нагрузка приведет к квадратичной диаграмме моментов.

Практические соображения

В практических приложениях редко выписывается вся ступенчатая функция. Единственные части ступенчатой ​​функции, которые будут записаны, — это уравнения моментов в нелинейной части моментной диаграммы; это происходит всякий раз, когда к элементу прилагается распределенная нагрузка. Для постоянных частей значение диаграммы сдвига и/или момента указано прямо на диаграмме, а для линейно изменяющихся частей элемента достаточно только начального значения, конечного значения и наклона или части элемента.

См. также

• Гибка
• Теория пучка Эйлера – Бернулли
• Изгибающий момент
• Функция сингулярности#Пример расчета балки

Дальнейшее чтение

• Ченг, Фа-Хва. «Сдвиговые силы и изгибающие моменты в балках» Статика и прочность материалов. Нью-Йорк: Гленко, МакГроу-Хилл, 1997. Печать.
• Споттс, Мерил Франклин, Терри Э. Шуп и Ли Эмри. Хорнбергер. «Диаграммы сдвига и изгибающих моментов». Проектирование элементов машин. Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Пирсон/Прентис-Холл, 2004. Печать.