Теория Мора – Кулона

Теория Мора-Кулона — это математическая модель (см. «Поверхность текучести »), описывающая реакцию хрупких материалов, таких как бетон или груды щебня, на напряжение сдвига , а также на нормальное напряжение. Большинство классических конструкционных материалов следуют этому правилу, по крайней мере, в части предела разрушения при сдвиге. Обычно теория применима к материалам, у которых прочность на сжатие намного превышает прочность на растяжение . ^{[ 1 ]}

В инженерно-геологической инженерии его используют для определения прочности грунтов и горных пород на сдвиг при различных действующих напряжениях .

В строительном проектировании он используется для определения разрушающей нагрузки, а также угла разрушения при сдвиге в бетоне и подобных материалах. Кулона Гипотеза трения , используется для определения комбинации сдвига и нормального напряжения которое приведет к разрушению материала. Круг Мора используется для определения того, какие главные напряжения вызовут эту комбинацию сдвигового и нормального напряжений, а также угла плоскости, в которой это произойдет. Согласно принципу нормальности напряжение, возникающее при разрушении, будет перпендикулярно линии, описывающей состояние разрушения.

Можно показать, что материал, разрушающийся в соответствии с гипотезой трения Кулона, будет демонстрировать смещение, возникающее при разрушении, образующее угол к линии разрушения, равный углу трения . Это позволяет определить прочность материала путем сравнения внешней механической работы, вносимой перемещением и внешней нагрузкой, с внутренней механической работой, вносимой деформацией и напряжением на линии разрушения. В целях сохранения энергии их сумма должна быть равна нулю, что позволит рассчитать разрушающую нагрузку конструкции.

Обычным улучшением этой модели является объединение гипотезы трения Кулона с гипотезой главного напряжения Рэнкина для описания отрывного разрушения. ^{[ 2 ]} Альтернативная точка зрения выводит критерий Мора-Кулона как отказ расширения . ^{[ 3 ]}

История развития

Теория Мора-Кулона названа в честь Шарля-Огюстена де Кулона и Кристиана Отто Мора . Вкладом Кулона стало эссе 1776 года, озаглавленное « Очерк применения правил максимиса и минимума к некоторым проблемам статики, относящимся к архитектуре ». . ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]} Мор разработал обобщенную форму теории примерно в конце XIX века. ^{[ 5 ]} Поскольку обобщенная форма повлияла на интерпретацию критерия, но не на его суть, в некоторых текстах критерий продолжает называться просто « критерием Кулона» . ^{[ 6 ]}

Критерий разрушения Мора – Кулона

Мор-Кулон ^{[ 7 ]} Критерий разрушения представляет собой линейную огибающую, полученную на основе графика зависимости прочности материала на сдвиг от приложенного нормального напряжения. Это отношение выражается как

\tau =\sigma ~\tan(\phi )+c

где $\tau$ это прочность на сдвиг, $\sigma$ это обычный стресс, $c$ является перехватом конверта отказа с $\tau$ ось, и $\tan(\phi )$ — наклон границы отказа. Количество $c$ часто называют сцеплением и углом $\phi$ называется углом внутреннего трения . В последующем обсуждении предполагается, что сжатие является положительным. Если сжатие предполагается отрицательным, то $\sigma$ следует заменить на $-\sigma$ .

Если $\phi =0$ , критерий Мора–Кулона сводится к критерию Треска . С другой стороны, если $\phi =90^{\circ }$ модель Мора – Кулона эквивалентна модели Ренкина. Более высокие значения $\phi$ не допускаются.

Из круга Мора мы имеем $\sigma =\sigma _{m}-\tau _{m}\sin \phi ~;~~\tau =\tau _{m}\cos \phi$ где $\tau _{m}={\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}~;~~\sigma _{m}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}$ и $\sigma _{1}$ - максимальное главное напряжение и $\sigma _{3}$ – минимальное главное напряжение.

Следовательно, критерий Мора – Кулона можно также выразить как $\tau _{m}=\sigma _{m}\sin \phi +c\cos \phi ~.$

Эта форма критерия Мора – Кулона применима к разрушению в плоскости, параллельной плоскости. $\sigma _{2}$ направление.

Критерий разрушения Мора – Кулона в трех измерениях

Критерий Мора – Кулона в трех измерениях часто выражается как

\left\{{\begin{aligned}\pm {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{2}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{2}+\sigma _{3}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{3}-\sigma _{1}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{3}+\sigma _{1}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi ).\end{aligned}}\right.

Поверхность разрушения Мора–Кулона представляет собой конус шестиугольного сечения в девиаторном пространстве напряжений.

Выражения для $\tau$ и $\sigma$ может быть обобщено на три измерения путем разработки выражений для нормального напряжения и разрешенного напряжения сдвига на плоскости произвольной ориентации относительно осей координат (базисных векторов). Если единица измерения, нормальная к интересующей плоскости, равна

\mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}

где $\mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3$ представляют собой три ортонормированных единичных базисных вектора, и если главные напряжения $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ выравниваются по базисным векторам $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ , то выражения для $\sigma ,\tau$ являются

{\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}.\end{aligned}}

Критерий разрушения Мора – Кулона затем можно оценить с помощью обычного выражения $\tau =\sigma ~\tan(\phi )+c$ для шести плоскостей максимального напряжения сдвига.

Вывод нормального и касательного напряжения на плоскости.

Let the unit normal to the plane of interest be

\mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}

where $\mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3$ are three orthonormal unit basis vectors. Then the traction vector on the plane is given by

\mathbf {t} =n_{i}~\sigma _{ij}~\mathbf {e} _{j}~~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}

The magnitude of the traction vector is given by

|\mathbf {t} |={\sqrt {(n_{j}~\sigma _{1j})^{2}+(n_{k}~\sigma _{2k})^{2}+(n_{l}~\sigma _{3l})^{2}}}~~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}

Then the magnitude of the stress normal to the plane is given by

\sigma =\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} =n_{i}~\sigma _{ij}~n_{j}~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}

The magnitude of the resolved shear stress on the plane is given by $\tau ={\sqrt {|\mathbf {t} |^{2}-\sigma ^{2}}}$ In terms of components, we have

{\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{11}+n_{2}^{2}\sigma _{22}+n_{3}^{2}\sigma _{33}+2(n_{1}n_{2}\sigma _{12}+n_{2}n_{3}\sigma _{23}+n_{3}n_{1}\sigma _{31})\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{11}+n_{2}\sigma _{12}+n_{3}\sigma _{31})^{2}+(n_{1}\sigma _{12}+n_{2}\sigma _{22}+n_{3}\sigma _{23})^{2}+(n_{1}\sigma _{31}+n_{2}\sigma _{23}+n_{3}\sigma _{33})^{2}-\sigma ^{2}}}\end{aligned}}

If the principal stresses $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ are aligned with the basis vectors $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ , then the expressions for $\sigma ,\tau$ are

{\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}\end{aligned}}

Поверхность разрушения Мора – Кулона в пространстве Хейга – Вестергора

Поверхность разрушения (текучести) Мора – Кулона часто выражается в координатах Хейга – Вестергаада . Например, функция ${\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi$ может быть выражено как

\left[{\sqrt {3}}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-\sin \phi \cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi .

Альтернативно, в терминах инвариантов $p,q,r$ мы можем написать

\left[{\cfrac {1}{{\sqrt {3}}~\cos \phi }}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-{\cfrac {1}{3}}\tan \phi ~\cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]q-p~\tan \phi =c

где $\theta ={\cfrac {1}{3}}\arccos \left[\left({\cfrac {r}{q}}\right)^{3}\right]~.$

Вывод альтернативных форм функции выхода Мора–Кулона.

We can express the yield function

${\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi$ as

\sigma _{1}~{\cfrac {(1-\sin \phi )}{2~c~\cos \phi }}-\sigma _{3}~{\cfrac {(1+\sin \phi )}{2~c~\cos \phi }}=1~.

The Haigh–Westergaard invariants are related to the principal stresses by

\sigma _{1}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\xi +{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~\rho ~\cos \theta ~;~~\sigma _{3}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\xi +{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~\rho ~\cos \left(\theta +{\cfrac {2\pi }{3}}\right)~.

Plugging into the expression for the Mohr–Coulomb yield function gives us

-{\sqrt {2}}~\xi ~\sin \phi +\rho [\cos \theta -\cos(\theta +2\pi /3)]-\rho \sin \phi [\cos \theta +\cos(\theta +2\pi /3)]={\sqrt {6}}~c~\cos \phi

Using trigonometric identities for the sum and difference of cosines and rearrangement gives us the expression of the Mohr–Coulomb yield function in terms of $\xi ,\rho ,\theta$ .

We can express the yield function in terms of $p,q$ by using the relations $\xi ={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~q$ and straightforward substitution.

Выход Мора – Кулона и пластичность

Поверхность текучести Мора – Кулона часто используется для моделирования пластического течения геоматериалов (и других когезионно-фрикционных материалов). Многие такие материалы демонстрируют дилатационное поведение в трехосных состояниях напряжения, которые не учитываются моделью Мора – Кулона. Кроме того, поскольку поверхность текучести имеет углы, может быть неудобно использовать исходную модель Мора – Кулона для определения направления пластического течения (в теории пластичности течения ).

Распространенный подход заключается в использовании несвязанного потенциала пластического течения, который является гладким. Примером такого потенциала является функция ^{[ нужна ссылка ]} $g:={\sqrt {(\alpha c_{\mathrm {y} }\tan \psi )^{2}+G^{2}(\phi ,\theta )~q^{2}}}-p\tan \phi$

где $\alpha$ это параметр, $c_{\mathrm {y} }$ это ценность $c$ когда пластическая деформация равна нулю (также называемая начальным пределом текучести сцепления ), $\psi$ — угол, образуемый поверхностью текучести в плоскости Рендулика при высоких значениях $p$ (этот угол еще называют углом расширения ), и $G(\phi ,\theta )$ – подходящая функция, также гладкая в девиаторной плоскости напряжений.

Типичные значения сцепления и угла внутреннего трения

Значения силы сцепления (также называемой прочностью сцепления ) и угла трения для горных пород и некоторых распространенных грунтов указаны в таблицах ниже.

Когезионная прочность (c) для некоторых материалов
Материал	Когезионная прочность в кПа	Когезионная прочность в фунтах на квадратный дюйм
Камень	10 000	1450
Ил	75	10
Глина	от 10 до 200	от 1,5 до 30
Очень мягкая глина	от 0 до 48	от 0 до 7
Мягкая глина	с 48 до 96	с 7 до 14
Средняя глина	от 96 до 192	с 14 до 28
Жесткая глина	от 192 до 384	от 28 до 56
Очень твердая глина	с 384 по 766	от 28 до 110
Твердая глина	> 766	> 110

Угол внутреннего трения ( $\phi$ ) для некоторых материалов
Материал	Угол трения в градусах
Камень	30 °
Песок	от 30 ° до 45 °
Гравий	35 °
Ил	от 26 ° до 35 °
Глина	20 °
Рыхлый песок	от 30 ° до 35 °
Средний песок	40 °
Плотный песок	от 35 ° до 45 °
Песчаный гравий	> 34 ° до 48 °

См. также

3-D эластичность
Критерий разрушения Хука – Брауна
Закон Байерли
Боковое давление грунта
стресс фон Мизеса
Выход (инжиниринг)
Критерий доходности Друкера Прагера - гладкая версия критерия доходности M – C.
Координаты Лоде

Ссылки

^ Ювинал, Роберт К. и Маршек, Курт .; Основы проектирования деталей машин. – 2-е изд., 1991, стр. 217, ISBN 0-471-62281-8
^ Jump up to: ^а ^б Кулон, Калифорния (1776 г.). Эссе о применении правил максимиса и минимиса к некоторым статическим задачам, связанным с архитектурой. Память акад. Рой. Див. Сав., вып. 7, с. 343–387.
^ Стаат, М. (2021) Критерий Мора – Кулона типа деформации растяжения. Рок Мех. Рок-англ., вып. 54, стр. 6207–6233. DOI: 10.1007/s00603-021-02608-7.
^ АМИР Р. ХОЙ; Расчетная пластичность в процессах формования порошков ; Эльзевир, Амстердам; 2005 г.; 449 стр.
^ Ю, Мао-хун (1 мая 2002 г.). «Достижения в теории прочности материалов в условиях сложного напряженного состояния в ХХ веке» . Обзоры прикладной механики . 55 (3): 169–218. Бибкод : 2002ApMRv..55..169Y . дои : 10.1115/1.1472455 . ISSN 0003-6900 .
^ НИЛЬС СААБЬЕ ОТТОСЕН и МАТТИ РИСТИНМАА; Механика конститутивного моделирования ; Elsevier Science, Амстердам, Нидерланды; 2005 г.; стр. 165 и далее.
^ Кулон, Калифорния (1776). Эссе о применении правил максимиса и минимиса к некоторым статическим задачам, связанным с архитектурой. Память акад. Рой. Див. Сав., вып. 7, с. 343–387.

[1] Ювинал, Роберт К. и Маршек, Курт .; Основы проектирования деталей машин. – 2-е изд., 1991, стр. 217, ISBN 0-471-62281-8

[:0-2] Jump up to: ^а ^б Кулон, Калифорния (1776 г.). Эссе о применении правил максимиса и минимиса к некоторым статическим задачам, связанным с архитектурой. Память акад. Рой. Див. Сав., вып. 7, с. 343–387.

[3] Стаат, М. (2021) Критерий Мора – Кулона типа деформации растяжения. Рок Мех. Рок-англ., вып. 54, стр. 6207–6233. DOI: 10.1007/s00603-021-02608-7.

[4] АМИР Р. ХОЙ; Расчетная пластичность в процессах формования порошков ; Эльзевир, Амстердам; 2005 г.; 449 стр.

[5] Ю, Мао-хун (1 мая 2002 г.). «Достижения в теории прочности материалов в условиях сложного напряженного состояния в ХХ веке» . Обзоры прикладной механики . 55 (3): 169–218. Бибкод : 2002ApMRv..55..169Y . дои : 10.1115/1.1472455 . ISSN 0003-6900 .

[6] НИЛЬС СААБЬЕ ОТТОСЕН и МАТТИ РИСТИНМАА; Механика конститутивного моделирования ; Elsevier Science, Амстердам, Нидерланды; 2005 г.; стр. 165 и далее.

[7] Кулон, Калифорния (1776). Эссе о применении правил максимиса и минимиса к некоторым статическим задачам, связанным с архитектурой. Память акад. Рой. Див. Сав., вып. 7, с. 343–387.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]