критерий текучести фон Мизеса

В механике сплошной среды критерий максимальной энергии искажения (также критерий текучести фон Мизеса ) утверждает, что текучесть пластичного второй материала начинается, когда инвариант девиаторного напряжения $J_{2}$ достигает критического значения. Это часть теории пластичности , которая в основном применима к пластичным материалам, таким как некоторые металлы . До определения текучести можно предположить, что реакция материала имеет линейно-упругое , нелинейно-упругое или вязкоупругое поведение.

В материаловедении и технике критерий текучести фон Мизеса также формулируется в терминах напряжения фон Мизеса или эквивалентного растягивающего напряжения . $\sigma _{\text{v}}$. Это скалярное значение напряжения, которое можно вычислить по тензору напряжений Коши . В этом случае говорят, что материал начинает поддаваться, когда напряжение фон Мизеса достигает значения, известного как предел текучести . $\sigma _{\text{y}}$. Напряжение фон Мизеса используется для прогнозирования текучести материалов при сложном нагружении по результатам испытаний на одноосное растяжение . Напряжение фон Мизеса удовлетворяет свойству, при котором два напряженных состояния с одинаковой энергией искажения имеют одинаковое напряжение фон Мизеса.

Поскольку критерий текучести фон Мизеса не зависит от первого инварианта напряжения , $I_{1}$, он применим для анализа пластической деформации пластичных материалов, таких как металлы, поскольку начало текучести для этих материалов не зависит от гидростатической составляющей тензора напряжений .

Хотя считается, что он был сформулирован Джеймсом Клерком Максвеллом в 1865 году, Максвелл описал лишь общие условия в письме Уильяму Томсону (лорду Кельвину). Рихард Эдлер фон Мизес строго сформулировал ее в 1913 году. Титус Максимилиан Хубер (1904) в статье, написанной на польском языке, в некоторой степени предвосхитил этот критерий, правильно полагаясь на энергию деформации деформации, а не на полную энергию деформации, как его предшественники. Генрих Хенки сформулировал тот же критерий, что и фон Мизес, независимо в 1924 году. По вышеуказанным причинам этот критерий также называют «теорией Максвелла – Хубера – Хенки – фон Мизеса».

Математическая формулировка

Поверхности текучести фон Мизеса в координатах главных напряжений описывают цилиндр радиусом ${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$ вокруг гидростатической оси. Также показана Tresca . шестиугольная поверхность текучести

фон Мизеса Математически критерий текучести выражается как:

$J_{2}=k^{2}\,\!$

Здесь $k$ — предел текучести материала при чистом сдвиге. Как будет показано далее в этой статье, в начале текучести величина предела текучести при сдвиге при чистом сдвиге в √3 раза ниже, чем предел текучести при растяжении в случае простого растяжения. Таким образом, мы имеем:

$k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}$

где $\sigma _{y}$ – предел текучести материала. Если мы установим напряжение фон Мизеса равным пределу текучести и объединим приведенные выше уравнения, критерий текучести фон Мизеса запишется как:

$\sigma _{v}=\sigma _{y}={\sqrt {3J_{2}}}$

или

$\sigma _{v}^{2}=3J_{2}=3k^{2}$

Замена $J_{2}$ с компонентами тензора напряжений Коши получаем

$\sigma _{\text{v}}^{2}={\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6\left(\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}+\sigma _{12}^{2}\right)\right]={\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}$,

где $s$ называется девиаторным напряжением. Это уравнение определяет поверхность текучести как круглый цилиндр (см. рисунок), кривая текучести которого или пересечение с девиаторной плоскостью представляет собой круг с радиусом ${\sqrt {2}}k$, или ${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$. Это означает, что условие текучести не зависит от гидростатических напряжений.

Приведенное уравнение фон Мизеса для различных напряженных условий

Критерий текучести фон Мизеса в условиях двумерного (плоского) нагружения: если напряжение в третьем измерении равно нулю ( $\sigma _{3}=0$), для координат напряжений не прогнозируется текучесть $\sigma _{1},\sigma _{2}$ в красной зоне. Поскольку критерий текучести Трески находится в красной зоне, критерий фон Мизеса более мягкий.

Одноосное (1D) напряжение

В случае одноосного напряжения или простого растяжения $\sigma _{1}\neq 0,\sigma _{3}=\sigma _{2}=0$, критерий фон Мизеса просто сводится к

$\sigma _{1}=\sigma _{\text{y}}\,\!$,

Это означает, что материал начинает поддаваться, когда $\sigma _{1}$ достигает предела текучести материала $\sigma _{\text{y}}$, в соответствии с определением предела текучести при растяжении (или сжатии).

Многоосное (2D или 3D) напряжение

Эквивалентное растягивающее напряжение или эквивалентное напряжение фон Мизеса, $\sigma _{\text{v}}$ используется для прогнозирования текучести материалов в условиях многоосного нагружения с использованием результатов простых испытаний на одноосное растяжение. Таким образом, мы определяем

${\begin{aligned}\sigma _{\text{v}}&={\sqrt {3J_{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+\left(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}}\end{aligned}}\,\!$

где $s_{ij}$ являются компонентами тензора девиатора напряжений ${\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}$:

${\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)}{3}}\mathbf {I} \,\!$.

В этом случае текучесть возникает, когда эквивалентное напряжение $\sigma _{\text{v}}$, достигает предела текучести материала при простом растяжении, $\sigma _{\text{y}}$. Например, напряженное состояние стальной балки при сжатии отличается от напряженного состояния стальной оси при кручении, даже если оба образца изготовлены из одного и того же материала. С учетом тензора напряжений, который полностью описывает напряженное состояние, эта разница проявляется в шести степенях свободы , поскольку тензор напряжений имеет шесть независимых компонент. Поэтому трудно сказать, какой из двух образцов ближе к пределу текучести или даже достиг его. Однако с помощью критерия текучести фон Мизеса, который зависит исключительно от значения скалярного напряжения фон Мизеса, т. е. одной степени свободы, это сравнение является простым: большее значение фон Мизеса означает, что материал ближе к пределу текучести. точка.

В случае чистого напряжения сдвига $\sigma _{12}=\sigma _{21}\neq 0$, в то время как все остальные $\sigma _{ij}=0$, критерий фон Мизеса принимает вид:

$\sigma _{12}=k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}\,\!$.

Это означает, что в начале текучести величина напряжения сдвига при чистом сдвиге равна ${\sqrt {3}}$ раз ниже предела текучести при простом растяжении. Критерий текучести фон Мизеса для чистого напряжения сдвига, выраженный в главных напряжениях, равен

$(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}=2\sigma _{y}^{2}\,\!$

В случае главного плоского напряжения $\sigma _{3}=0$ и $\sigma _{12}=\sigma _{23}=\sigma _{31}=0$, критерий фон Мизеса принимает вид:

$\sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{2}=3k^{2}=\sigma _{y}^{2}\,\!$

Это уравнение представляет собой эллипс на плоскости $\sigma _{1}-\sigma _{2}$.

Краткое содержание

Состояние стресса	Граничные условия	уравнения фон Мизеса
Общий	Никаких ограничений	$\sigma _{\text{v}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+3\left(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}}$
Главные напряжения	$\sigma _{12}=\sigma _{31}=\sigma _{23}=0\!$	$\sigma _{\text{v}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}$
Общее плоскостное напряжение	${\begin{aligned}\sigma _{3}&=0\!\\\sigma _{31}&=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}$	$\sigma _{\text{v}}={\sqrt {\sigma _{11}^{2}-\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}^{2}+3\sigma _{12}^{2}}}\!$
Главное плоское напряжение	${\begin{aligned}\sigma _{3}&=0\!\\\sigma _{12}&=\sigma _{31}=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}$	$\sigma _{\text{v}}={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}}}\!$
Чистый сдвиг	${\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sigma _{2}=\sigma _{3}=0\!\\\sigma _{31}&=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}$	$\sigma _{\text{v}}={\sqrt {3}}|\sigma _{12}|\!$
Одноосный	${\begin{aligned}\sigma _{2}&=\sigma _{3}=0\!\\\sigma _{12}&=\sigma _{31}=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}$	$\sigma _{\text{v}}=\sigma _{1}\!$

Физическая интерпретация критерия текучести фон Мизеса

Хенки (1924) предложил физическую интерпретацию критерия фон Мизеса, предполагающую, что текучесть начинается, когда упругая энергия деформации достигает критического значения. По этой причине критерий фон Мизеса также известен как критерий максимальной энергии деформации деформации. Это происходит из отношения между $J_{2}$ и энергия упругой деформации искажения $W_{\text{D}}$:

$W_{\text{D}}={\frac {J_{2}}{2G}}\,\!$ с модулем упругого сдвига $G={\frac {E}{2(1+\nu )}}\,\!$.

В 1937 году Арпад Л. Надаи предположил, что текучесть начинается, когда октаэдрическое напряжение сдвига достигает критического значения, то есть октаэдрическое напряжение сдвига материала при текучести при простом растяжении. В этом случае критерий текучести фон Мизеса также известен как критерий максимального октаэдрического напряжения сдвига ввиду прямой пропорциональности, существующей между $J_{2}$ и октаэдрическое напряжение сдвига, $\tau _{\text{oct}}$, что по определению

$\tau _{\text{oct}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\,\!$

таким образом, мы имеем

$\tau _{\text{oct}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\sigma _{\text{y}}\,\!$

Плотность энергии деформации состоит из двух составляющих – объемной или диалационной и дисторсионной. Объемная составляющая отвечает за изменение объема без изменения формы. Искажающий компонент отвечает за сдвиговую деформацию или изменение формы.

Практическое инженерное использование критерия текучести фон Мизеса

Как показано в приведенных выше уравнениях, использование критерия фон Мизеса в качестве критерия текучести точно применимо только тогда, когда следующие свойства материала изотропны, а отношение предела текучести при сдвиге к пределу текучести при растяжении имеет следующее значение:

${\frac {F_{sy}}{F_{ty}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0.577\!$

Поскольку ни один материал не будет иметь точное соотношение, на практике необходимо использовать инженерное суждение, чтобы решить, какая теория разрушения подходит для данного материала. Альтернативно, для использования теории Трески то же соотношение определяется как 1/2.

Запас доходности безопасности записывается как

$MS_{\text{yld}}={\frac {F_{y}}{\sigma _{\text{v}}}}-1$

См. также

• Поверхность текучести
• Уравнение Губера
• Анри Треска
• Stephen Timoshenko
• Теория Мора – Кулона
• Критерий разрушения Хука – Брауна
• Выход (инжиниринг)
• Стресс
• Напряжение
• 3-D эластичность