Теория пластичности течения

Пластическая деформация тонкого металлического листа.

Пластичность течения — это теория механики твердого тела , которая используется для описания пластического поведения материалов. Теории пластичности течения характеризуются предположением о существовании правила течения , которое можно использовать для определения величины пластической деформации в материале.

В теориях пластичности течения предполагается, что суммарную деформацию тела можно аддитивно (или мультипликативно) разложить на упругую и пластическую части. Упругая часть деформации может быть рассчитана на основе линейно-упругой или гиперупругой конститутивной модели. Однако для определения пластической части деформации необходимы правило текучести и модель упрочнения .

Теория малых деформаций

Кривая растяжения-деформации, показывающая типичное пластическое поведение материалов при одноосном сжатии. Деформацию можно разложить на восстанавливаемую упругую деформацию ( $\varepsilon _{e}$) и неупругая деформация ( $\varepsilon _{p}$). Напряжение при начальной текучести составляет $\sigma _{0}$. Для деформационно упрочняющихся материалов (как показано на рисунке) предел текучести увеличивается с увеличением пластической деформации до значения $\sigma _{y}$.

Типичные теории пластичности течения при однонаправленном нагружении (при малых деформациях совершенная пластичность или упрочняющая пластичность) разрабатываются на основе следующих требований:

1. Материал имеет линейный диапазон упругости.
2. Материал имеет предел упругости, определяемый как напряжение, при котором впервые происходит пластическая деформация, т. е. $\sigma =\sigma _{0}$.
3. За пределом упругости напряженное состояние всегда остается на поверхности текучести, т. е. $\sigma =\sigma _{y}$.
4. Нагрузка определяется как ситуация, при которой приращение напряжения больше нуля, т.е. $d\sigma >0$. Если нагружение переводит напряженное состояние в пластическую область, то приращение пластической деформации всегда больше нуля, т. е. $d\varepsilon _{p}>0$.
5. Разгрузка определяется как ситуация, при которой приращение напряжения меньше нуля, т.е. $d\sigma <0$. Материал эластичен при разгрузке и не накапливает дополнительных пластических напряжений.
6. Полная деформация представляет собой линейную комбинацию упругой и пластической частей, т. е. $d\varepsilon =d\varepsilon _{e}+d\varepsilon _{p}$. Пластмассовую часть невозможно восстановить, а эластичную часть можно полностью восстановить.
7. Работа, совершаемая за цикл погрузки-разгрузки, положительна или равна нулю, т. е. $d\sigma \,d\varepsilon =d\sigma \,(d\varepsilon _{e}+d\varepsilon _{p})\geq 0$. Это также называется постулатом устойчивости Друкера и исключает возможность размягчения деформации.

Вышеуказанные требования могут быть выражены в трехмерных состояниях напряжения и разнонаправленной нагрузки следующим образом.

• Эластичность ( закон Гука ). В линейно-упругом режиме напряжения и деформации в материале связаны соотношением

${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {D}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}$

где матрица жесткости ${\mathsf {D}}$ является постоянным.

• Предел упругости ( Поверхность текучести ). Предел упругости определяется поверхностью текучести, не зависящей от пластической деформации и имеющей вид

$f({\boldsymbol {\sigma }})=0\,.$

• За пределом эластичности . Для деформационно-упрочненных материалов поверхность текучести изменяется с увеличением пластической деформации и изменяется предел упругости. Эволюционирующая поверхность текучести имеет вид

$f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p})=0\,.$

• Загрузка . Для общих состояний напряжения пластическая нагрузка указывается, если состояние напряжения находится на поверхности текучести, а приращение напряжения направлено к внешней стороне поверхности текучести; это происходит, если внутренний продукт приращения напряжения и внешняя нормаль поверхности текучести положительна, т. е.

$d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}\geq 0\,.$

Приведенное выше уравнение, когда оно равно нулю, указывает на состояние нейтральной нагрузки , при котором напряженное состояние перемещается вдоль поверхности текучести.

• Разгрузка : аналогичный аргумент выдвигается в пользу разгрузки, в какой ситуации $f<0$, материал находится в упругой области, и

$d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}<0\,.$

• Разложение деформации : Аддитивное разложение деформации на упругую и пластическую части можно записать как

$d{\boldsymbol {\varepsilon }}=d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}+d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}\,.$

• Постулат стабильности : Постулат стабильности выражается как

$d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}\geq 0\,.$

Правило потока

В пластичности металлов предположение о том, что приращение пластической деформации и тензор девиаторных напряжений имеют одни и те же основные направления, заключено в соотношении, называемом правилом течения . Теории пластичности горных пород также используют аналогичную концепцию, за исключением того, что требование зависимости поверхности текучести от давления требует смягчения вышеуказанного предположения. Вместо этого обычно предполагается, что приращение пластической деформации и нормаль к поверхности текучести, зависящей от давления, имеют одно и то же направление, т.е.

$d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=d\lambda \,{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}$

где $d\lambda >0$ является параметром упрочнения. Эта форма правила потока называется ассоциированным правилом потока , а предположение о сонаправленности называется условием нормальности . Функция $f$ еще называют пластическим потенциалом .

Приведенное выше правило течения легко обосновывается для идеально пластических деформаций, для которых $d{\boldsymbol {\sigma }}=0$ когда $d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}>0$, т. е. поверхность текучести остается постоянной при увеличении пластической деформации. Это означает, что приращение упругой деформации также равно нулю, $d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0$, по закону Гука. Поэтому,

$d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}=0\quad {\text{and}}\quad d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=0\,.$

Следовательно, и нормаль к поверхности текучести, и тензор пластических деформаций перпендикулярны тензору напряжений и должны иметь одно и то же направление.

Для деформационного упрочнения материала поверхность текучести может расширяться с увеличением напряжения. Мы принимаем второй постулат устойчивости Друкера, который гласит, что для бесконечно малого цикла напряжений эта пластическая работа положительна, т. е.

$d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}\geq 0\,.$

Указанная величина равна нулю для чисто упругих циклов. Исследование работы, проделанной в течение цикла загрузки-разгрузки пластика, может быть использовано для обоснования действительности соответствующего правила потока.

Условие согласованности

Условие согласованности Прагера необходимо для замыкания системы определяющих уравнений и исключения неизвестного параметра $d\lambda$ из системы уравнений. Условие согласованности гласит, что $df=0$ с доходностью, потому что $f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p})=0$, и, следовательно,

$df={\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}:d{\boldsymbol {\sigma }}+{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}}}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=0\,.$

Теория больших деформаций

Теории пластичности при больших деформациях обычно начинаются с одного из следующих предположений:

• тензор скорости деформации может быть аддитивно разложен на упругую часть и пластическую часть, или
• тензор градиента деформации можно мультипликативно разложить на упругую и пластическую части.

Первое предположение широко использовалось для численного моделирования металлов, но постепенно было вытеснено мультипликативной теорией.

Кинематика мультипликативной пластичности

Концепция мультипликативного разложения градиента деформации на упругую и пластическую части была впервые предложена независимо Б. А. Билби , Э. Кренер, в контексте пластичности кристаллов и расширен Эразмом Ли до пластичности континуума. Разложение предполагает, что общий градиент деформации ( F ) можно разложить как:

${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {F}}^{e}\cdot {\boldsymbol {F}}^{p}$

где F ^и – упругая (восстанавливаемая) часть, F ^п – пластическая (невосстановимая) часть деформации. Градиент пространственной скорости определяется выражением

${\begin{aligned}{\boldsymbol {l}}&={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}=\left({\dot {\boldsymbol {F}}}^{e}\cdot {\boldsymbol {F}}^{p}+{\boldsymbol {F}}^{e}\cdot {\dot {\boldsymbol {F}}}^{p}\right)\cdot \left[({\boldsymbol {F}}^{p})^{-1}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}\right]\\&={\dot {\boldsymbol {F}}}^{e}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}+{\boldsymbol {F}}^{e}\cdot [{\dot {\boldsymbol {F}}}^{p}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{p})^{-1}]\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}\,.\end{aligned}}$

где наложенная точка указывает на производную по времени. Мы можем записать вышесказанное как

${\boldsymbol {l}}={\boldsymbol {l}}^{e}+{\boldsymbol {F}}^{e}\cdot {\boldsymbol {L}}^{p}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}\,.$

Количество

${\boldsymbol {L}}^{p}:={\dot {\boldsymbol {F}}}^{p}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{p})^{-1}$

называется пластическим градиентом скорости и определяется в промежуточной ( несовместимой ) конфигурации без напряжений. Симметричная часть ( D ^п ) из L ^п называется пластической скоростью деформации, а кососимметричная часть ( W ^п ) называется пластическим спином :

${\boldsymbol {D}}^{p}={\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {L}}^{p}+({\boldsymbol {L}}^{p})^{T}]~,~~{\boldsymbol {W}}^{p}={\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {L}}^{p}-({\boldsymbol {L}}^{p})^{T}]\,.$

Обычно пластический спин игнорируется в большинстве описаний конечной пластичности.

Эластичный режим

Упругое поведение в режиме конечной деформации обычно описывается моделью гиперупругого материала . Упругую деформацию можно измерить с помощью упругого правого тензора деформации Коши-Грина, определяемого как:

${\boldsymbol {C}}^{e}:=({\boldsymbol {F}}^{e})^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{e}\,.$

Тогда логарифмический тензор деформации или тензор Хенки можно определить как

${\boldsymbol {E}}^{e}:={\tfrac {1}{2}}\ln {\boldsymbol {C}}^{e}\,.$

Симметризованный тензор напряжений Манделя является удобной мерой напряжений для конечной пластичности и определяется как

${\boldsymbol {M}}:={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {C}}^{e}\cdot {\boldsymbol {S}}+{\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {C}}^{e})$

где S — второе напряжение Пиолы-Кирхгофа . Возможная гиперупругая модель в терминах логарифмической деформации:

${\boldsymbol {M}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}^{e}}}=J\,{\frac {dU}{dJ}}+2\mu \,{\text{dev}}({\boldsymbol {E}}^{e})$

где W — функция плотности энергии деформации, J = det( F ), μ — модуль, а «dev» указывает на девиаторную часть тензора.

Правило потока

Применение неравенства Клаузиуса-Дюэма приводит в отсутствие пластического спина к правилу течения с конечной деформацией.

${\boldsymbol {D}}^{p}={\dot {\lambda }}\,{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {M}}}}\,.$

Условия погрузки-разгрузки

Можно показать, что условия погрузки-разгрузки эквивалентны условиям Каруша-Куна-Таккера.

${\dot {\lambda }}\geq 0~,~~f\leq 0~,~~{\dot {\lambda }}\,f=0\,.$

Условие согласованности

Условие состоятельности такое же, как и для случая малых деформаций:

${\dot {\lambda }}\,{\dot {f}}=0\,.$

См. также

• Пластичность (физика)