Теория Бетти

Теорема Бетти , также известная как теорема обратной работы Максвелла-Бетти , открытая Энрико Бетти в 1872 году, утверждает, что для линейной упругой конструкции, на которую действуют два набора сил {P _i } i=1,...,n и {Q _j }, j=1,2,...,n, работа, совершаемая набором P посредством перемещений, производимых набором Q, равна работе, совершаемой набором Q посредством перемещений, производимых набором P. Эта теорема имеет применение в проектировании конструкций , где он используется для определения линий влияния и получения метода граничных элементов .

Теорема Бетти используется при разработке совместимых механизмов с помощью подхода оптимизации топологии.

Доказательство

Рассмотрим твердое тело, на которое действует пара внешних силовых систем, называемых $F_{i}^{P}$ и $F_{i}^{Q}$ . Учтите, что каждая система сил вызывает поле смещений, причем смещения, измеренные в точке приложения внешней силы, называются $d_{i}^{P}$ и $d_{i}^{Q}$ .

Когда $F_{i}^{P}$ Система сил приложена к конструкции, баланс между работой, совершаемой внешней системой сил, и энергией деформации составляет:

{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega

Баланс работы и энергии, связанный с $F_{i}^{Q}$ Система сил выглядит следующим образом:

{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega

Теперь представьте, что с $F_{i}^{P}$ применена система сил, $F_{i}^{Q}$ Система сил применяется впоследствии. Как $F_{i}^{P}$ уже приложен и, следовательно, не вызовет каких-либо дополнительных перемещений, баланс работы-энергии принимает следующее выражение:

{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}+\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega +{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega +\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega

И наоборот, если мы рассмотрим $F_{i}^{Q}$ уже применена система сил и $F_{i}^{P}$ приложенную впоследствии систему внешних сил, баланс работы-энергии примет следующее выражение:

{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}+\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega +{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega +\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega

Если баланс работы-энергии для случаев, когда внешние системы сил применяются изолированно, соответственно вычесть из случаев, когда системы сил применяются одновременно, мы придем к следующим уравнениям:

\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega

\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}=\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega

Если твердое тело, к которому применяются системы сил, образовано линейно-упругим материалом и если системы сил таковы, что в теле наблюдаются только бесконечно малые деформации тела , то уравнение состояния , которое может следовать закону Гука , может быть выражено в виде следующим образом:

\sigma _{ij}=D_{ijkl}\epsilon _{kl}

Замена этого результата в предыдущей системе уравнений приводит нас к следующему результату:

\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=\int _{\Omega }D_{ijkl}\epsilon _{ij}^{P}\epsilon _{kl}^{Q}\,d\Omega

\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}=\int _{\Omega }D_{ijkl}\epsilon _{ij}^{Q}\epsilon _{kl}^{P}\,d\Omega

Если вычесть оба уравнения, то получим следующий результат:

\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}

Пример

Для простого примера пусть m=1 и n=1. Рассмотрим горизонтальную балку , на которой определены две точки: точка 1 и точка 2. Сначала мы прикладываем вертикальную силу P в точке 1 и измеряем вертикальное смещение точки 2, обозначаемое $\Delta _{P2}$ . Затем мы убираем силу P и прикладываем вертикальную силу Q в точке 2, которая вызывает вертикальное смещение в точке 1. $\Delta _{Q1}$ . Теорема взаимности Бетти утверждает, что:

P\,\Delta _{Q1}=Q\,\Delta _{P2}.

См. также

Принцип Даламбера

Ссылки

А. Гали; А. М. Невилл (1972). Структурный анализ: единый классический и матричный подход . Лондон, Нью-Йорк: E & FN SPON. п. 215. ИСБН 0-419-21200-0 .