Линия влияния

В инженерии линия влияния отображает изменение функции (например, сдвига, момента и т. д., ощущаемого в элементе конструкции) в определенной точке балки или фермы , вызванное единичной нагрузкой, помещенной в любую точку конструкции. ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] Общие функции, изучаемые с помощью линий влияния, включают реакции (силы, которые должны прилагать опоры конструкции, чтобы конструкция оставалась статичной), сдвиг , момент и прогиб (деформация). ^[6] Линии влияния важны при проектировании балок и ферм, используемых в мостах , подкрановых рельсах, конвейерных лентах , балках перекрытий и других конструкциях, где нагрузки будут перемещаться по их пролету. ^[5] Линии влияния показывают, где нагрузка создаст максимальный эффект для любой из изучаемых функций.

Линии влияния являются как скалярными , так и аддитивными . ^[5] Это означает, что их можно использовать, даже если прикладываемая нагрузка не является единичной нагрузкой или прилагается несколько нагрузок. Чтобы определить влияние любой неединичной нагрузки на конструкцию, результаты по оси ординат, полученные по линии влияния, умножаются на величину фактической нагрузки, которая будет приложена. Можно масштабировать всю линию влияния или только максимальный и минимальный эффекты, испытываемые вдоль этой линии. Масштабированные максимум и минимум — это критические величины, которые должны быть рассчитаны на балку или ферму.

В случаях, когда могут действовать несколько нагрузок, линии влияния для отдельных нагрузок могут быть сложены вместе, чтобы получить общее воздействие, ощущаемое конструкцией в данной точке. При сложении линий влияния необходимо учитывать соответствующие смещения из-за расстояния между нагрузками по конструкции. Например, к конструкции приложена нагрузка от грузовика. Задняя ось B находится на три фута позади передней оси A, тогда эффект A на расстоянии x футов вдоль конструкции должен быть добавлен к эффекту B на расстоянии ( x – 3) футов вдоль конструкции, а не к эффекту B на расстоянии x футов вдоль конструкции.

Многие нагрузки распределены, а не сконцентрированы. Линии влияния могут использоваться как с сосредоточенными, так и с распределенными нагрузками. При сосредоточенной (или точечной) нагрузке единичная точечная нагрузка перемещается вдоль конструкции. Для распределенной нагрузки заданной ширины вдоль конструкции перемещается единично-распределенная нагрузка той же ширины, причем по мере приближения нагрузки к концам и отрыва от конструкции только часть общей нагрузки воспринимается конструкцией. Эффект распределенной единичной нагрузки также можно получить путем интегрирования линии влияния точечной нагрузки по соответствующей длине конструкции.

Линии влияния определенных структур становятся механизмом, тогда как линии влияния неопределенных структур становятся просто определенными. ^[7]

Демонстрация теоремы Бетти.

Линии влияния основаны на теореме Бетти . Отсюда рассмотрим две внешние силовые системы: $F_{i}^{P}$ и $F_{i}^{Q}$ , каждый из которых связан с полем смещений, смещения которого, измеренные в точке приложения силы, представлены выражением $d_{i}^{P}$ и $d_{i}^{Q}$ .

Учтите, что $F_{i}^{P}$ Система представляет собой действующие силы, приложенные к конструкции, находящиеся в равновесии. Учтите, что $F_{i}^{Q}$ система образована единой силой, $F^{Q}$ . Поле смещения $d_{i}^{Q}$ связанное с этим усилием, определяется путем снятия структурных ограничений, действующих в точке, где $F^{Q}$ применяется и вызывает относительное перемещение единицы, кинематически допустимое в отрицательном направлении, представленное как $d_{1}^{Q}=-1$ . Из теоремы Бетти получаем следующий результат:

$-F_{1}^{P}+\sum _{i=2}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=F^{Q}\times 0\iff F_{1}^{P}=\sum _{i=2}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}$

Концепция

При проектировании балки или фермы необходимо учитывать сценарии, вызывающие максимально ожидаемые реакции, сдвиги и моменты внутри элементов конструкции, чтобы гарантировать, что ни один элемент не выйдет из строя в течение срока службы конструкции. При работе с постоянными нагрузками (нагрузками, которые никогда не перемещаются, например, весом самой конструкции) это относительно легко, поскольку нагрузки легко прогнозировать и планировать. Для динамических нагрузок (любой нагрузки, которая перемещается в течение срока службы конструкции, например, мебели и людей), становится гораздо сложнее предсказать, где будут находиться нагрузки или насколько они будут сконцентрированы или распределены на протяжении всего срока службы конструкции.

Линии влияния отображают реакцию балки или фермы при прохождении через нее единичной нагрузки. Линия влияния помогает проектировщикам найти место размещения динамической нагрузки, чтобы рассчитать максимальный результирующий отклик для каждой из следующих функций: реакции, сдвига или момента. Затем проектировщик может масштабировать линию влияния по наибольшей ожидаемой нагрузке, чтобы рассчитать максимальную реакцию каждой функции, для которой должна быть спроектирована балка или ферма.Линии влияния также можно использовать для определения реакции других функций (например, прогиба или осевой силы) на приложенную единичную нагрузку, но такое использование линий влияния встречается реже.

Методы построения линий влияния

Для построения линии влияния используются три метода. Первый — свести в таблицу значения влияния для нескольких точек конструкции, а затем использовать эти точки для создания линии влияния. ^[5] Второй — определить уравнения линии влияния, применимые к конструкции, тем самым решая для всех точек вдоль линии влияния значение x , где x — количество футов от начала конструкции до точки, где единичная нагрузка применяется. ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] Третий метод называется принципом Мюллера-Бреслау . Это создает качественную линию влияния. ^[1]^[2]^[5] Эта линия влияния по-прежнему даст проектировщику точное представление о том, где единичная нагрузка будет вызывать наибольший отклик функции в изучаемой точке, но ее нельзя использовать непосредственно для расчета величины этого отклика, тогда как влияние линии, полученные первыми двумя методами, могут.

Табличные значения

Чтобы свести в таблицу значения влияния относительно некоторой точки А конструкции, необходимо разместить единичную нагрузку в различных точках конструкции. Статика используется для расчета значения функции (реакции, сдвига или момента) в точке А. Обычно реакция вверх рассматривается как положительная. Сдвигу и моментам присваиваются положительные или отрицательные значения в соответствии с теми же соглашениями, которые используются для диаграмм сдвига и моментов .

Р.С. Хиббелер в своей книге «Структурный анализ» утверждает : «Все статически определенные балки будут иметь линии влияния, состоящие из отрезков прямых линий». ^[5] Следовательно, можно минимизировать количество вычислений, распознавая точки, которые вызовут изменение наклона линии влияния, и вычисляя значения только в этих точках. Наклон линии перегиба может меняться в опорах, средних пролетах и стыках.

Линия влияния на данную функцию, такую как реакция, осевая сила, поперечная сила или изгибающий момент, представляет собой график, который показывает изменение этой функции в любой заданной точке конструкции из-за приложения единичной нагрузки в любой точке. точка на конструкции.

Линия влияния на функцию отличается от диаграммы поперечного, осевого или изгибающего момента. Линии влияния могут быть созданы путем независимого приложения единичной нагрузки в нескольких точках конструкции и определения значения функции, обусловленной этой нагрузкой, т. е. сдвиговой, осевой и моментной в нужном месте. Рассчитанные значения для каждой функции затем наносятся на график в том месте, где была приложена нагрузка, а затем соединяются вместе для создания линии влияния для функции.

После того, как значения влияния сведены в таблицу, линию влияния для функции в точке A можно нарисовать через x . Во-первых, необходимо найти табличные значения. Для участков между точками таблицы требуется интерполяция. Следовательно, для соединения точек можно провести прямые линии. Как только это будет сделано, линия влияния будет завершена.

Уравнения линий влияния

Можно создать уравнения, определяющие линию влияния по всему пролету конструкции. Это делается путем определения реакции, сдвига или момента в точке А, вызванного единичной нагрузкой, расположенной на расстоянии x футов вдоль конструкции, а не на определенном расстоянии. Этот метод аналогичен методу табличных значений, но вместо получения числового решения результатом является уравнение в терминах x . ^[5]

Для этого метода важно понять, где изменяется наклон линии влияния, поскольку уравнение линии влияния будет меняться для каждого линейного участка линии влияния. Следовательно, полное уравнение представляет собой кусочно-линейную функцию с отдельным уравнением линии влияния для каждого линейного участка линии влияния. ^[5]

Принцип Мюллера-Бреслау

Согласно сайту www.public.iastate.edu, « Принцип Мюллера-Бреслау можно использовать для построения качественных линий влияния, которые прямо пропорциональны фактической линии влияния». ^[2] Вместо перемещения единичной нагрузки вдоль балки принцип Мюллера-Бреслау определяет отклоненную форму балки, вызванную сначала освобождением балки в изучаемой точке, а затем применением изучаемой функции (реакции, сдвига или момента) к этот момент. Принцип гласит, что линия влияния функции будет иметь масштабированную форму, аналогичную форме отклонения луча, когда на луч воздействует функция.

Чтобы понять, как балка отклоняется под действием этой функции, необходимо исключить способность балки сопротивляться этой функции. Ниже приведены объяснения того, как найти линии влияния жестко опертой балки (например, той, что показана на рисунке 1).

При определении реакции, вызываемой опорой, опору заменяют роликом, который не может сопротивляться вертикальной реакции. ^[2]^[5] Затем к точке, где была поддержка, применяется восходящая (положительная) реакция. Поскольку опора удалена, балка повернется вверх, а поскольку балка жесткая, то она создаст треугольник с точкой у второй опоры. Если балка выходит за пределы второй опоры как консоль, аналогичный треугольник образуется ниже положения консолей. Это означает, что линия влияния реакции будет прямой наклонной линией с нулевым значением в месте второй поддержки.

При определении сдвига, вызванного в некоторой точке B вдоль балки, балку необходимо разрезать и вставить в точку B роликовую направляющую (которая способна выдерживать моменты, но не сдвигать). ^[2]^[5] Затем, приложив к этой точке положительный сдвиг, можно увидеть, что левая сторона повернется вниз, а правая сторона повернется вверх. Это создает прерывистую линию влияния, которая достигает нуля на опорах и наклон которой одинаков по обе стороны от разрыва. Если точка B находится на опоре, то прогиб между точкой B и любыми другими опорами все равно будет создавать треугольник, но если балка консольная, то вся консольная сторона будет двигаться вверх или вниз, образуя прямоугольник.

При определении момента, вызванного в некоторой точке В вдоль балки, в точке В будет помещен шарнир, разлагающий его на моменты, но оказывающий сопротивление сдвигу. ^[2]^[5] Тогда, когда положительный момент будет помещен в точку B, обе стороны балки повернутся вверх. Это создаст непрерывную линию влияния, но наклоны будут равными и противоположными по обе стороны от шарнира в точке В. Поскольку балка просто опирается, ее концевые опоры (штифты) не могут сопротивляться моменту; следовательно, можно заметить, что опоры никогда не будут испытывать моменты в статической ситуации, независимо от того, где находится нагрузка.

Принцип Мюллера-Бреслау может создавать только качественные линии влияния. ^[2]^[5] Это означает, что инженеры могут использовать его, чтобы определить, где разместить нагрузку, чтобы получить максимум функции, но величину этого максимума нельзя вычислить по линии влияния. Вместо этого инженер должен использовать статику для определения значения функции в этом случае загрузки.

Альтернативные варианты загрузки

Несколько загрузок

Самый простой случай нагружения — это одноточечная нагрузка, но линии влияния также можно использовать для определения реакции на множественные и распределенные нагрузки. Иногда известно, что несколько нагрузок будут возникать на некотором фиксированном расстоянии друг от друга. Например, на мосту колеса легковых или грузовых автомобилей создают точечные нагрузки, действующие на относительно стандартных расстояниях.

Чтобы рассчитать реакцию функции на все эти точечные нагрузки с использованием линии влияния, результаты, полученные с помощью линии влияния, можно масштабировать для каждой нагрузки, а затем масштабированные величины можно суммировать, чтобы найти общий отклик, который должна выдержать конструкция. ^[5] Точечные нагрузки сами по себе могут иметь разные величины, но даже если они прикладывают к конструкции одну и ту же силу, их необходимо будет масштабировать отдельно, поскольку они действуют на разных расстояниях вдоль конструкции. Например, если колеса автомобиля находятся на расстоянии 10 футов друг от друга, то, когда первый комплект находится на расстоянии 13 футов от моста, второй комплект будет находиться на расстоянии всего 3 фута от моста. Если первый комплект колес находится на расстоянии 7 футов от моста, второй комплект еще не достиг моста, и, следовательно, только первый комплект оказывает нагрузку на мост.

Кроме того, если между двумя нагрузками один из грузов тяжелее, необходимо проверить грузы в обоих порядках нагружения (большая нагрузка справа и большая нагрузка слева), чтобы убедиться в том, что найдена максимальная нагрузка. Если грузов три и более, то количество дел, подлежащих рассмотрению, увеличивается.

Распределенные нагрузки

Многие нагрузки не действуют как точечные нагрузки, а действуют на протяженной длине или площади как распределенные нагрузки. Например, трактор с непрерывными гусеницами будет прилагать нагрузку, распределенную по длине каждой гусеницы.

Чтобы найти эффект распределенной нагрузки, проектировщик может проинтегрировать линию влияния, найденную с помощью точечной нагрузки, по расстоянию, на которое воздействует конструкция. ^[5] Например, если дорожка длиной три фута действует на расстоянии от 5 до 8 футов вдоль балки, линия влияния этой балки должна быть интегрирована на расстоянии от 5 до 8 футов. Интегрирование линии влияния дает эффект, который ощущался бы, если бы распределенная нагрузка имела единичную величину. Поэтому после интеграции проектировщику все равно придется масштабировать результаты, чтобы получить реальный эффект от распределенной нагрузки.

Неопределенные структуры

Хотя линии влияния статически определенных структур (как упоминалось выше) состоят из отрезков прямых, этого нельзя сказать о неопределенных структурах. Неопределенные конструкции не считаются жесткими; поэтому нарисованные для них линии влияния будут не прямыми, а кривыми. Вышеописанные методы по-прежнему можно использовать для определения линий влияния на конструкцию, но работа становится намного сложнее, поскольку необходимо учитывать свойства самой балки.

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Харагпур. «Структурный анализ.pdf, версия 2 CE IIT». Архивировано 19 августа 2010 г. в Wayback Machine . 7 августа 2008 г. По состоянию на 26 ноября 2010 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Доктор Фанус, Фуад. «Вводные задачи структурного анализа: линии влияния» . 20 апреля 2000 г. По состоянию на 26 ноября 2010 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Метод анализа линий влияния» . Конструктор. 10 февраля 2010 г. По состоянию на 26 ноября 2010 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Структурный анализ: линии влияния» . Коалиция Фонда. 2 декабря 2010 г. По состоянию на 26 ноября 2010 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот Хиббелер, Р.К. (2009). Структурный анализ (седьмое издание). Пирсон Прентис Холл, Нью-Джерси. ISBN 0-13-602060-7 .
^ Зейнали, Яша (декабрь 2017 г.). «Система оценки изгибной жесткости балок Эйлера-Бернулли с использованием линий влияния деформации» (PDF) . Инфраструктуры . 2 (4): 23. doi : 10.3390/infrastructures2040023 .
^ «Линии влияния | Обзор структурного анализа» . www.mathalino.com . Проверено 25 декабря 2019 г.

[onlinefreeebooks-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Харагпур. «Структурный анализ.pdf, версия 2 CE IIT». Архивировано 19 августа 2010 г. в Wayback Machine . 7 августа 2008 г. По состоянию на 26 ноября 2010 г.

[iastate-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Доктор Фанус, Фуад. «Вводные задачи структурного анализа: линии влияния» . 20 апреля 2000 г. По состоянию на 26 ноября 2010 г.

[theconstructor-3] Перейти обратно: ^а ^б «Метод анализа линий влияния» . Конструктор. 10 февраля 2010 г. По состоянию на 26 ноября 2010 г.

[foundationcoalition-4] Перейти обратно: ^а ^б «Структурный анализ: линии влияния» . Коалиция Фонда. 2 декабря 2010 г. По состоянию на 26 ноября 2010 г.

[Hibbeler-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот Хиббелер, Р.К. (2009). Структурный анализ (седьмое издание). Пирсон Прентис Холл, Нью-Джерси. ISBN 0-13-602060-7 .

[6] Зейнали, Яша (декабрь 2017 г.). «Система оценки изгибной жесткости балок Эйлера-Бернулли с использованием линий влияния деформации» (PDF) . Инфраструктуры . 2 (4): 23. doi : 10.3390/infrastructures2040023 .

[7] «Линии влияния | Обзор структурного анализа» . www.mathalino.com . Проверено 25 декабря 2019 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]