метод Маколея

Метод Маколея (метод двойного интегрирования) — это метод, используемый в структурном анализе для определения отклонения балок Эйлера-Бернулли . Использование методики Маколея очень удобно для случаев прерывистого и/или дискретного нагружения. Обычно с помощью этого метода удобно обрабатывать частичные, равномерно распределенные нагрузки (udl) и равномерно изменяющиеся нагрузки (uvl) по пролету, а также ряд сосредоточенных нагрузок.

Первое описание метода на английском языке было сделано Маколеем . Фактический подход, по-видимому, был разработан Клебшем в 1862 году. Метод Маколея был обобщен для балок Эйлера-Бернулли с осевым сжатием: to Timoshenko beams , на эластичные основания , и к задачам, в которых жесткость на изгиб и сдвиг меняется в балке скачкообразно.

Метод

Отправной точкой является соотношение из теории балок Эйлера-Бернулли.

$\pm EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}=M$

Где $w$ это отклонение и $M$ это изгибающий момент. Это уравнение проще, чем уравнение балки четвертого порядка, и его можно проинтегрировать дважды, чтобы найти $w$ если значение $M$ как функция $x$ известно. Для общих нагрузок $M$ может быть выражено в форме

$M=M_{1}(x)+P_{1}\langle x-a_{1}\rangle +P_{2}\langle x-a_{2}\rangle +P_{3}\langle x-a_{3}\rangle +\dots$

где количества $P_{i}\langle x-a_{i}\rangle$ представляют собой изгибающие моменты от точечных нагрузок и величину $\langle x-a_{i}\rangle$ является скобкой Маколея, определяемой как

$\langle x-a_{i}\rangle ={\begin{cases}0&\mathrm {if} ~x<a_{i}\\x-a_{i}&\mathrm {if} ~x>a_{i}\end{cases}}$

Обычно при интеграции $P(x-a)$ мы получаем

$\int P(x-a)~dx=P\left[{\cfrac {x^{2}}{2}}-ax\right]+C$

Однако при интегрировании выражений, содержащих скобки Маколея, имеем

$\int P\langle x-a\rangle ~dx=P{\cfrac {\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}+C_{m}$

при этом разница между двумя выражениями содержится в константе $C_{m}$. Использование этих правил интегрирования упрощает расчет прогиба балок Эйлера-Бернулли в ситуациях, когда имеется несколько точечных нагрузок и точечных моментов. Метод Маколея предшествует более сложным концепциям, таким как дельта-функции Дирака и ступенчатые функции , но дает те же результаты для задач о балках.

Пример. Свободно опертая балка с точечной нагрузкой.

Просто поддерживаемая балка с одной эксцентриковой сосредоточенной нагрузкой.

В качестве иллюстрации метода Маколея рассматривается просто опертая балка с единственной эксцентричной сосредоточенной нагрузкой, как показано на рисунке рядом. Первый шаг – найти $M$. Реакции на опорах А и С определяются из баланса сил и моментов как

$R_{A}+R_{C}=P,~~LR_{C}=Pa$

Поэтому, $R_{A}=Pb/L$ и изгибающий момент в точке D между A и B ( $0<x<a$) определяется

$M=R_{A}x=Pbx/L$

Используя соотношение момент-кривизна и выражение Эйлера-Бернулли для изгибающего момента, имеем

$EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}$

Интегрируя приведенное выше уравнение, получаем, что $0<x<a$,

${\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&={\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}+C_{1}&&\quad \mathrm {(i)} \\EIw&={\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}+C_{1}x+C_{2}&&\quad \mathrm {(ii)} \end{aligned}}$

В $x=a_{-}$

${\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}(a_{-})&={\dfrac {Pba^{2}}{2L}}+C_{1}&&\quad \mathrm {(iii)} \\EIw(a_{-})&={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}+C_{1}a+C_{2}&&\quad \mathrm {(iv)} \end{aligned}}$

Для точки D в области BC ( $a<x<L$), изгибающий момент

$M=R_{A}x-P(x-a)=Pbx/L-P(x-a)$

В подходе Маколея мы используем скобку Маколея в приведенном выше выражении, чтобы представить тот факт, что точечная нагрузка была приложена в месте B, т.е.

$M={\frac {Pbx}{L}}-P\langle x-a\rangle$

Поэтому уравнение балки Эйлера-Бернулли для этой области имеет вид

$EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}-P\langle x-a\rangle$

Интегрируя приведенное выше уравнение, получаем для $a<x<L$

${\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&={\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-P{\cfrac {\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}+D_{1}&&\quad \mathrm {(v)} \\EIw&={\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}-P{\cfrac {\langle x-a\rangle ^{3}}{6}}+D_{1}x+D_{2}&&\quad \mathrm {(vi)} \end{aligned}}$

В $x=a_{+}$

${\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}(a_{+})&={\dfrac {Pba^{2}}{2L}}+D_{1}&&\quad \mathrm {(vii)} \\EIw(a_{+})&={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}+D_{1}a+D_{2}&&\quad \mathrm {(viii)} \end{aligned}}$

Сравнивая уравнения (iii) и (vii) и (iv) и (viii), мы замечаем, что из-за непрерывности в точке B, $C_{1}=D_{1}$ и $C_{2}=D_{2}$. Из приведенного выше наблюдения следует, что для двух рассматриваемых областей, хотя уравнения изгибающего момента и, следовательно, кривизны различны, константы интегрирования, полученные при последовательном интегрировании уравнения кривизны для двух областей, одинаковы.

Приведенное выше рассуждение справедливо для любого количества/типа разрывов в уравнениях кривизны при условии, что в каждом случае в уравнении сохраняется член для последующей области в виде $\langle x-a\rangle ^{n},\langle x-b\rangle ^{n},\langle x-c\rangle ^{n}$ и т. д. Следует помнить, что при любом х, задающем величины в скобках, как и в приведенном выше случае, следует пренебречь -ve и производить расчеты с учетом только тех величин, которые дают знак +ve для слагаемых в скобках.

Возвращаясь к проблеме, мы имеем

$EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}-P\langle x-a\rangle$

Очевидно, что для $x<a$ и оба условия для $x>a$ и решение

${\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&=\left[{\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}+C_{1}\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}\\EIw&=\left[{\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}+C_{1}x+C_{2}\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{3}}{6}}\end{aligned}}$

Обратите внимание, что константы помещаются сразу после первого члена, чтобы указать, что они соответствуют первому члену, когда $x<a$ и с обоими терминами, когда $x>a$. Скобки Маколея помогают напомнить, что величина справа равна нулю при рассмотрении точек с $x<a$.

Граничные условия

Как $w=0$ в $x=0$, $C2=0$. Также, как $w=0$ в $x=L$,

$\left[{\dfrac {PbL^{2}}{6}}+C_{1}L\right]-{\cfrac {P(L-a)^{3}}{6}}=0$

или,

$C_{1}=-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^{2}-b^{2})~.$

Следовательно,

${\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&=\left[{\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^{2}-b^{2})\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}\\EIw&=\left[{\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}-{\cfrac {Pbx}{6L}}(L^{2}-b^{2})\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{3}}{6}}\end{aligned}}$

Максимальное отклонение

Для $w$ быть максимальным, $dw/dx=0$. Если предположить, что это произойдет за $x<a$ у нас есть

${\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^{2}-b^{2})=0$

или

$x=\pm {\cfrac {(L^{2}-b^{2})^{1/2}}{\sqrt {3}}}$

Четко $x<0$ не может быть решением. Следовательно, максимальное отклонение определяется выражением

$EIw_{\mathrm {max} }={\cfrac {1}{3}}\left[{\dfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{6{\sqrt {3}}L}}\right]-{\cfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{6{\sqrt {3}}L}}$

или,

$w_{\mathrm {max} }=-{\dfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{9{\sqrt {3}}EIL}}~.$

Прогиб в точке приложения нагрузки

В $x=a$, т. е. в точке B прогиб равен

$EIw_{B}={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}-{\cfrac {Pba}{6L}}(L^{2}-b^{2})={\frac {Pba}{6L}}(a^{2}+b^{2}-L^{2})$

или

$w_{B}=-{\cfrac {Pa^{2}b^{2}}{3LEI}}$

Отклонение в средней точке

Поучительно изучить соотношение $w_{\mathrm {max} }/w(L/2)$. В $x=L/2$

$EIw(L/2)={\dfrac {PbL^{2}}{48}}-{\cfrac {Pb}{12}}(L^{2}-b^{2})=-{\frac {Pb}{12}}\left[{\frac {3L^{2}}{4}}-b^{2}\right]$

Поэтому,

${\frac {w_{\mathrm {max} }}{w(L/2)}}={\frac {4(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{3{\sqrt {3}}L\left[{\frac {3L^{2}}{4}}-b^{2}\right]}}={\frac {4(1-{\frac {b^{2}}{L^{2}}})^{3/2}}{3{\sqrt {3}}\left[{\frac {3}{4}}-{\frac {b^{2}}{L^{2}}}\right]}}={\frac {16(1-k^{2})^{3/2}}{3{\sqrt {3}}\left(3-4k^{2}\right)}}$

где $k=B/L$ и для $a<b;0<k<0.5$. Даже когда нагрузка находится на расстоянии всего 0,05L от опоры, ошибка оценки прогиба составляет всего 2,6%. Следовательно, в большинстве случаев оценку максимального отклонения можно произвести достаточно точно с разумной погрешностью, определив прогиб в центре.

Особый случай симметрично приложенной нагрузки

Когда $a=b=L/2$, для $w$ быть максимальным

$x={\cfrac {[L^{2}-(L/2)^{2}]^{1/2}}{\sqrt {3}}}={\frac {L}{2}}$

и максимальное отклонение

$w_{\mathrm {max} }=-{\dfrac {P(L/2)b[L^{2}-(L/2)^{2}]^{3/2}}{9{\sqrt {3}}EIL}}=-{\frac {PL^{3}}{48EI}}=w(L/2)~.$

См. также

• Теория пучка
• Гибка
• Изгибающий момент
• Функция сингулярности
• Диаграмма сдвига и момента
• Timoshenko beam theory