Функция сингулярности

Функции особенности — это класс разрывных функций , содержащих особенности , т. е. они разрывны в своих особых точках. Функции сингулярности интенсивно изучались в области математики под альтернативными названиями обобщенных функций и теории распределения . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Функции обозначаются скобками, т.к. $\langle x-a\rangle ^{n}$ где n — целое число. " $\langle \rangle$ » часто называют скобками сингулярности . Функции определяются как:

н	$\langle x-a\rangle ^{n}$
$<0$	${\frac {d^{\|n+1\|}}{dx^{\|n+1\|}}}\delta (x-a)\,$
-2	${\frac {d}{dx}}\delta (x-a)\,$
-1	$\delta (x-a)\,$
0	$H(x-a)\,$
1	$(x-a)H(x-a)\,$
2	$(x-a)^{2}H(x-a)$
$\geq 0$	$(x-a)^{n}H(x-a)$

где: $δ (x)$ — дельта-функция Дирака , также называемая единичным импульсом. Первую производную $δ (x)$ также называют единичным дублетом . Функция $H(x)$ — ступенчатая функция Хевисайда : $H (x)=0$ для $x <0$ и $H (x)=1$ для $x >0$ . Значение $H (0)$ будет зависеть от конкретного соглашения, выбранного для ступенчатой функции Хевисайда. Обратите внимание, что это будет проблемой только для $n = 0,$ поскольку функции содержат мультипликативный множитель $x - a$ для $n > 0$ . $\langle x-a\rangle ^{1}$ также называется функцией Ramp .

Интеграция

Интеграция $\langle x-a\rangle ^{n}$ можно сделать удобным способом, при котором константа интегрирования включается автоматически, поэтому результат будет равен $0$ при $x = a$ .

$\int \langle x-a\rangle ^{n}dx={\begin{cases}\langle x-a\rangle ^{n+1},&n<0\\{\frac {\langle x-a\rangle ^{n+1}}{n+1}},&n\geq 0\end{cases}}$

Пример расчета балки

Прогиб свободно опертой балки, как показано на схеме, с постоянным поперечным сечением и модулем упругости, можно найти с помощью теории балки Эйлера – Бернулли . Здесь мы используем соглашение о знаках, согласно которому нисходящие силы и провисающие изгибающие моменты являются положительными.

Распределение нагрузки:

w=-3{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{-1}\ +\ 6{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{0}\ -\ 9{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{-1}\ -\ 6{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{0}\

Сила сдвига:

S=\int w\,dx

S=-3{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{0}\ +\ 6{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{1}\ -\ 9{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{0}\ -\ 6{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{1}\,

Изгибающий момент:

M=-\int S\,dx

M=3{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{1}\ -\ 3{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{2}\ +\ 9{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{1}\ +\ 3{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{2}\,

Склон:

u'={\frac {1}{EI}}\int M\,dx

Поскольку наклон не равен нулю при x константа интегрирования c . = 0, добавляется

u'={\frac {1}{EI}}\left({\frac {3}{2}}{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{2}\ -\ 1{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{3}\ +\ {\frac {9}{2}}{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{2}\ +\ 1{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{3}\ +\ c\right)\,

Отклонение:

u=\int u'\,dx

u={\frac {1}{EI}}\left({\frac {1}{2}}{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{3}\ -\ {\frac {1}{4}}{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{4}\ +\ {\frac {3}{2}}{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{3}\ +\ {\frac {1}{4}}{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{4}\ +\ cx\right)\,

Граничное условие u = 0 при x = 4 м позволяет решить для c = −7 Нм ²

См. также

Ссылки

^ Земанян, А.Х. (1965), Теория распределения и анализ преобразований , McGraw-Hill Book Company
^ Хоскинс, РФ (1979), Обобщенные функции , Halsted Press
^ Лайтхилл, М.Дж. (1958), Анализ Фурье и обобщенные функции , Издательство Кембриджского университета

Внешние ссылки

[1] Земанян, А.Х. (1965), Теория распределения и анализ преобразований , McGraw-Hill Book Company

[2] Хоскинс, РФ (1979), Обобщенные функции , Halsted Press

[3] Лайтхилл, М.Дж. (1958), Анализ Фурье и обобщенные функции , Издательство Кембриджского университета

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]