Обобщенная функция

В математике обобщенными функциями являются объекты, расширяющие понятие функций . Существует более одной признанной теории, например теория распределений . Обобщенные функции особенно полезны для того, чтобы сделать разрывные функции более похожими на гладкие функции и описать дискретные физические явления, такие как точечные заряды . Они широко применяются, особенно в физике и технике .

Общей чертой некоторых подходов является то, что они основаны на операторных аспектах повседневных числовых функций. Ранняя история связана с некоторыми идеями оперативного исчисления , а более современные разработки в определенных направлениях тесно связаны с идеями Микио Сато о том, что он называет алгебраическим анализом . Важным влиянием на этот предмет были технические требования теорий уравнений в частных производных и представления групп теории .

Немного ранней истории

В математике девятнадцатого века появились аспекты обобщенной теории функций, например, в определении функции Грина , в преобразовании Лапласа и в Римана теории тригонометрических рядов , которые не обязательно были рядом Фурье функции. интегрируемой функция . это были разрозненные аспекты математического анализа В то время .

Интенсивное использование преобразования Лапласа в технике привело к эвристическому использованию символических методов, называемых операционным исчислением . Поскольку были даны обоснования с использованием расходящихся рядов , эти методы имели плохую репутацию с точки зрения чистой математики . Они типичны для более позднего применения методов обобщенных функций. Влиятельной книгой по операционному исчислению стала « Оливера Хевисайда » Электромагнитная теория 1899 года.

Когда был введен интеграл Лебега , впервые появилось понятие обобщенной функции, занимающее центральное место в математике. Интегрируемая функция в теории Лебега эквивалентна любой другой, одинаковой почти всюду . Это означает, что его значение в данный момент (в некотором смысле) не является его самой важной особенностью. В функциональном анализе дается четкая формулировка существенного признака интегрируемой функции, а именно способа определения ею линейного функционала от других функций. Это позволяет определить слабую производную .

В конце 1920-х и 1930-х годах были предприняты дальнейшие шаги, лежащие в основе будущей работы. была Дельта-функция Дирака смело определена Полем Дираком (аспект его научного формализма ); это означало, что меры , рассматриваемые как плотности (например, плотность заряда ), рассматривались как настоящие функции. Сергей Соболев , работая в области теории уравнений в частных производных , определил первую адекватную с математической точки зрения теорию обобщенных функций для работы со слабыми решениями уравнений в частных производных. Другими, предлагающими подобные теории в то время, были Саломон Бохнер и Курт Фридрихс . Работа Соболева получила дальнейшее развитие в расширенной форме Лорана Шварца .

Распределения Шварца

Реализация такой концепции, которая должна была стать окончательной для многих целей, стала теорией распределений , разработанной Лораном Шварцем . Ее можно назвать принципиальной теорией, основанной на теории двойственности топологических векторных пространств . Его главным конкурентом в прикладной математике является использование последовательностей гладких аппроксимаций (объяснение « Джеймса Лайтхилла »), которое носит скорее специальный характер . Теперь это входит в теорию как теория смягчающего фактора .

Эта теория оказалась очень успешной и до сих пор широко используется, но имеет главный недостаток: она допускает только линейные операции. Другими словами, распределения нельзя перемножать (за исключением очень особых случаев): в отличие от большинства классических функциональных пространств , они не являются алгеброй . Например, не имеет смысла возводить в квадрат дельта-функцию Дирака . Работа Шварца примерно 1954 года показала, что это была внутренняя трудность.

Были предложены некоторые решения проблемы умножения. Один из них основан на очень простом и интуитивно понятном определении обобщенной функции, данном Ю. В. Егоров (см. также его статью в книге Демидова в списке книг ниже), которая допускает произвольные операции над обобщенными функциями и между ними.

Другое решение проблемы умножения продиктовано , основанной на интеграле по путям формулировкой квантовой механики . Поскольку это должно быть эквивалентно Шредингера теории квантовой механики , которая инвариантна относительно преобразований координат, это свойство должно быть общим для интегралов по путям. Это фиксирует все произведения обобщенных функций. как показали Х. Клейнерт и А. Червяков. Результат эквивалентен тому, что можно получить из размерная регуляризация .

Алгебры обобщенных функций

Было предложено несколько конструкций алгебр обобщенных функций, в том числе Ю. М. Широков и Э. Розингера, Ю. Егорова и Р. Робинсона. В первом случае умножение определяется некоторой регуляризацией обобщенной функции. Во втором случае алгебра строится как умножение распределений . Оба случая обсуждаются ниже.

Некоммутативная алгебра обобщенных функций

Алгебру обобщенных функций можно построить с помощью соответствующей процедуры проектирования функции $F=F(x)$ чтобы он был гладким $F_{\rm {smooth}}$ и его единственное число $F_{\rm {singular}}$части. Произведение обобщенных функций $F$ и $G$ выглядит как

$FG~=~F_{\rm {smooth}}~G_{\rm {smooth}}~+~F_{\rm {smooth}}~G_{\rm {singular}}~+F_{\rm {singular}}~G_{\rm {smooth}}.$ ( 1 )

Такое правило применимо как к пространству главных функций, так и к пространству операторов, действующих на пространстве главных функций. Достигается ассоциативность умножения; а функция Signum определена так, что ее квадрат везде равен единице (включая начало координат). Обратите внимание, что произведение особых частей не появляется в правой части ( 1 ); в частности, $\delta (x)^{2}=0$. Такой формализм включает в себя традиционную теорию обобщенных функций (без их произведения) как частный случай. Однако полученная алгебра некоммутативна: обобщенные функции Signum и Delta антикоммутируют. Было предложено несколько приложений алгебры.

Умножение раздач

Проблема умножения распределений , ограничение теории распределения Шварца, становится серьезной для нелинейных задач.

Сегодня используются различные подходы. Самый простой из них основан на определении обобщенной функции, данном Ю. В. Егоров. Другой подход к построению ассоциативных дифференциальных алгебр основан на идеях Ж.-Ф. Конструкция Коломбо: см. Алгебра Коломбо . Это факторные пространства

$G=M/N$

«умеренных» по модулю «незначительных» сеток функций, где «умеренность» и «незначительность» относятся к росту по отношению к индексу семьи.

Пример: алгебра Коломбо

Простой пример получается с использованием полиномиальной шкалы по N : $s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}$. Тогда для любой полунормированной алгебры (E,P) фактор-пространство будет

$G_{s}(E,P)={\frac {\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\exists m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}{\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\forall m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}}.$

В частности, для ( E , P )=( C (Коломбо) ,|.|) получаются обобщенные комплексные числа (которые могут быть «бесконечно большими» и «бесконечно малыми» и при этом допускать строгую арифметику, очень похожую на нестандартные числа). ). Ибо ( E , P ) = ( C ^∞ ( R ),{ p _k }) (где p _k — верхняя грань всех производных порядка меньше или равного k на шаре радиуса k ) получаем упрощенную алгебру Коломбо .

Введение

Эта алгебра «содержит» все распределения T из D' посредством инъекции

j ( Т ) знак равно (φ _п * Т ) _п + N ,

где ∗ — операция свертки , а

φ _п ( Икс ) знак равно п φ ( nx ).

Эта инъекция неканонична в том смысле, что она зависит от выбора мягчителя φ , которым должен быть C ^∞ , целой единицы и все ее производные в точке 0 обращаются в нуль. Чтобы получить каноническую инъекцию, набор индексов можно изменить так, чтобы он был N × D ( R ), с удобной базой фильтров на D ( R ) (функции исчезающих моментов до порядка q ).

Сноповая структура

Если ( E , P ) — (предварительный) пучок полунормированных алгебр на некотором топологическом пространстве , то Gs _X ( E , P ) также будет обладать этим свойством. Это означает, что будет определено понятие ограничения , позволяющее определить носитель обобщенной функции относительно подпучка, в частности:

• Для подпучка {0} получается обычный носитель (дополнение наибольшего открытого подмножества, в котором функция равна нулю).
• Для подпучка E (вложенного с помощью канонического (постоянного) введения) получается так называемый сингулярный носитель , т. е., грубо говоря, замыкание множества, где обобщенная функция не является гладкой функцией (при E = C ^∞ ).

Микролокальный анализ

Поскольку преобразование Фурье (хорошо) определено для обобщенных функций с компактным носителем (покомпонентно), можно применить ту же конструкцию, что и для распределений, и определить Ларса Хёрмандера также множество волновых фронтов для обобщенных функций.

важное применение при анализе распространения особенностей . Это имеет особенно

Другие теории

К ним относятся: факторов свертки теория Яна Микусински , основанная на поле частных алгебр свертки , которые являются целыми областями ; и теории гиперфункций , основанные (в их первоначальной концепции) на граничных значениях аналитических функций , а теперь использующие теорию пучков .

Топологические группы

Брюа ввел класс пробных функций , функций Шварца–Брюа, как они теперь известны, на классе локально компактных групп , который выходит за рамки многообразий , которые являются типичными областями функций . Приложения в основном относятся к теории чисел , особенно к адельным алгебраическим группам . Андре Вейль переписал диссертацию Тейта на этом языке , охарактеризовав дзета-распределение в группе идель ; а также применил ее к явной формуле L-функции .

Общий раздел

Дальнейший путь расширения теории — это обобщение сечений гладкого векторного расслоения . Это по паттерну Шварца, построению объектов, двойственных тестовым объектам, гладких участков связки, имеющих компактную основу . Наиболее развита теория токов Де Рама , двойственных дифференциальным формам . Они гомологичны по своей природе, так же, как дифференциальные формы порождают когомологии Де Рама . С их помощью можно сформулировать очень общую теорему Стокса .

См. также

• Пространство Беппо-Леви
• Дельта-функция Дирака
• Обобщенная собственная функция
• Распределение (математика)
• Гиперфункция
• Лапласиан индикатора
• Оснащенное гильбертово пространство
• Предел распределения

Книги

• Шварц, Л. (1950). Теория распределения . Том. 1. Париж: Германн. OCLC   889264730 . Том. 2. ОСЛК   889391733
• Берлинг, А. (1961). О квазианалитичности и общих распределениях (мультиграфические лекции). Летний институт Стэнфордского университета. OCLC   679033904 .
• Гельфанд, Израиль Моисеевич ; Виленкин, Наум Яковлевич (1964). Обобщенные функции . Том. I–VI. Академическая пресса. OCLC   728079644 .
• Хёрмандер, Л. (2015) [1990]. Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных (2-е изд.). Спрингер. ISBN  978-3-642-61497-2 .
• Х. Комацу, Введение в теорию распределений, Второе издание, Iwanami Shoten, Токио, 1983.
• Коломбо, Ж.-Ф. (2000) [1983]. Новые обобщенные функции и умножение распределений . Эльзевир. ISBN  978-0-08-087195-0 .
• Vladimirov, V.S.; Drozhzhinov, Yu. N.; Zav’yalov, B.I. (2012) [1988]. Tauberian theorems for generalized functions . Springer. ISBN  978-94-009-2831-2 .
• Обергуггенбергер, М. (1992). Умножение распределений и приложения к уравнениям в частных производных . Лонгман. ISBN  978-0-582-08733-0 . OCLC   682138968 .
• Моримото, М. (1993). Введение в гиперфункции Сато . Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8767-7 .
• Демидов А.С. (2001). Обобщенные функции в математической физике: основные идеи и понятия . Нова Наука. ISBN  9781560729051 .
• Гроссер, М.; Кунцигер, М.; Обергуггенбергер, Майкл; Штайнбауэр, Р. (2013) [2001]. Геометрическая теория обобщенных функций с приложениями к общей теории относительности . Спрингер. ISBN  978-94-015-9845-3 .
• Эстрада, Р.; Канвал, Р. (2012). Распределительный подход к асимптотике. Теория и приложения (2-е изд.). Березовые дома в Бостоне. ISBN  978-0-8176-8130-2 .
• Владимиров В.С. (2002). Методы теории обобщенных функций . Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-0-415-27356-5 .
• Кляйнерт, Х. (2009). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (5-е изд.). Всемирная научная. ISBN  9789814273572 . ( онлайн здесь ). См. главу 11 о произведениях обобщенных функций.
• Пилипови, С.; Станкович, Б.; Виндас, Дж. (2012). Асимптотическое поведение обобщенных функций . Всемирная научная. ISBN  9789814366847 .