Набор волнового фронта

В математическом анализе , точнее в микролокальном анализе , волновой фронт (множество) WF( f ) характеризует особенности f обобщенной функции не только в пространстве , но и относительно ее преобразования Фурье в каждой точке. Термин «волновой фронт» был придуман Ларсом Хёрмандером примерно в 1970 году.

Введение

Говоря более привычными терминами, WF( f ) сообщает не только , где функция f является сингулярной (что уже описано ее сингулярным носителем ), но также и то, как и почему она сингулярна, более точно указывая направление, в котором возникает сингулярность. . Эта концепция наиболее полезна в измерении как минимум два, поскольку в одном измерении есть только два возможных направления. Дополнительным понятием несингулярности функции по направлению является микролокальная гладкость .

Интуитивно в качестве примера рассмотрим функцию ƒ, сингулярный носитель которой сосредоточен на гладкой кривой в плоскости, в которой функция имеет скачок. В направлении, касательно кривой, функция остается гладкой. Напротив, в направлении, нормальном к кривой, функция имеет особенность. Чтобы решить, является ли функция гладкой в другом направлении v , можно попытаться сгладить функцию путем усреднения в направлениях, перпендикулярных v . Если полученная функция гладкая, то мы считаем ƒ гладкой в направлении v . В противном случае v находится в наборе волнового фронта.

Формально в евклидовом пространстве набор волновых фронтов ƒ определяется как дополнение набора всех пар ( x ₀ , v ), таких что существует пробная функция $\phi \in C_{c}^{\infty }$ с $\phi$ ( x ₀ ) ≠ 0 и открытый конус Γ, содержащий v такой, что выполнена оценка

|(\phi f)^{\wedge }(\xi )|\leq C_{N}(1+|\xi |)^{-N}\quad {\mbox{for all }}\ \xi \in \Gamma

справедливо для всех положительных целых чисел N . Здесь $(\phi f)^{\wedge }$ обозначает преобразование Фурье. Заметим, что набор волновых фронтов является коническим в том смысле, что если ( x , v ) ∈ Wf(ƒ), то ( x , λ v ) ∈ Wf(ƒ) для всех λ > 0. В примере, рассмотренном в предыдущем параграфе, множество волнового фронта является теоретико-множественным дополнением образа касательного расслоения кривой внутри касательного расслоения плоскости.

Поскольку определение включает обрезание функцией с компактным носителем, понятие множества волновых фронтов можно перенести на любое дифференцируемое многообразие X . В этой более общей ситуации множество волновых фронтов представляет собой замкнутое коническое подмножество кокасательного расслоения T ^*( X ), поскольку переменная ξ естественным образом локализуется в ковекторе , а не в векторе. Множество волновых фронтов определяется так, что его проекция на X равна сингулярному носителю функции.

Определение

В евклидовом пространстве набор волнового фронта распределения ƒ определяется как

{\rm {WF}}(f)=\{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mid \xi \in \Sigma _{x}(f)\}

где $\Sigma _{x}(f)$ — особый слой ƒ в точке x . Особый слой определяется как дополнение всех направлений. $\xi$ такое, что преобразование Фурье функции f , локализованное в точке x , является достаточно регулярным, если ограничиться открытым конусом, содержащим $\xi$ . Точнее, направление v находится в дополнении к $\Sigma _{x}(f)$ если существует гладкая функция φ с компактным носителем с φ( x ) ≠ 0 и открытый конус Γ, содержащий v, выполняется следующая оценка такая, что для каждого натурального числа N :

|(\phi f)^{\wedge }(\xi )|<c_{N}(1+|\xi |)^{-N}\quad {\rm {for~all}}\ \xi \in \Gamma .

Если такая оценка справедлива для конкретной обрезающей функции φ в точке x , она также справедлива для всех обрезающих функций с меньшим носителем, возможно, для другого открытого конуса, содержащего v .

На дифференцируемом многообразии M с использованием локальных координат $x,\xi$ на кокасательном расслоении множество волновых фронтов WF( f )распределения ƒ можно определить следующим общим образом:

{\rm {WF}}(f)=\{(x,\xi )\in T^{*}(X)\mid \xi \in \Sigma _{x}(f)\}

где особое волокно $\Sigma _{x}(f)$ снова является дополнением всех направлений $\xi$ такое, что преобразование Фурье функции f , локализованное в точке x , является достаточно регулярным, если ограничиться конической окрестностью точки $\xi$ . Проблема регулярности является локальной, поэтому ее можно проверить в локальной системе координат, используя преобразование Фурье для переменных x . Требуемая оценка регулярности хорошо преобразуется при диффеоморфизме , поэтому понятие регулярности не зависит от выбора локальных координат.

Обобщения

Понятие набора волновых фронтов можно адаптировать для учета других представлений о регулярности функции. Локализованность здесь можно выразить, сказав, что f усекается некоторой гладкой обрезающей функцией, не обращающейся в нуль в точке x . (Процесс локализации можно осуществить более элегантным способом, используя микробы .)

Более конкретно это можно выразить как

\xi \notin \Sigma _{x}(f)\iff \xi =0{\text{ or }}\exists \phi \in {\mathcal {D}}_{x},\ \exists V\in {\mathcal {V}}_{\xi }:{\widehat {\phi f}}|_{V}\in O(V)

где

${\mathcal {D}}_{x}$ — с компактным носителем, гладкие функции не исчезающие в точке x ,
${\mathcal {V}}_{\xi }$ представляют собой окрестности конические $\xi$ , т.е. окрестности V такие, что $c\cdot V\subset V$ для всех $c>0$ ,
${\widehat {u}}|_{V}$ обозначает преобразование Фурье (обобщенной с компактным носителем) функции u , ограниченной V ,
$O:\Omega \to O(\Omega )$ представляет собой фиксированный предпучок функций (или распределений), выбор которых обеспечивает желаемую регулярность преобразования Фурье.

Обычно секции O должны удовлетворять некоторому условию роста (или уменьшения) на бесконечности, например такому, чтобы $(1+|\xi |)^{s}v(\xi )$ принадлежать какому-то L ^п космос .Это определение имеет смысл, поскольку преобразование Фурье становится болеерегулярный (с точки зрения роста на бесконечности), когда f усекается плавным обрезанием $\phi$ .

Самая сложная «проблема», с теоретической точки зрения,состоит в нахождении адекватного пучка O, характеризующего функции, принадлежащие данному подпучку E пространства G обобщенных функций.

Пример

Если мы возьмем G = D ′ пространство распределений Шварца и хотим охарактеризовать распределения, которые локально $C^{\infty }$ функций, мы должны взять в качестве O (Ω) классические функциональные пространства, называемые O ′ _M в литературе (Ω).

Тогда проекция на первую компоненту множества волновых фронтов распределения есть не что иное, как его классический сингулярный носитель , т.е. дополнение множества, на котором его ограничение было бы гладкой функцией .

Приложения

Набор волновых фронтов полезен, в частности, при распространения особенностей изучении операторами псевдодифференциальными .

См. также

Ссылки

Ларс Хёрмандер , Интегральные операторы Фурье I , Acta Math. 127 (1971), стр. 79–183.
Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных уравнений в частных производных I: Теория распределения и анализ Фурье , Основы математических наук, том. 256 (2-е изд.), Springer, стр. 251–279, ISBN. 0-387-52345-6 Глава VIII. Спектральный анализ особенностей.