Преобразование Фурье – Броса – Ягольнитцера

В математике или преобразование ФБИ преобразование Фурье-Броса-Ягольнитцера представляет собой обобщение преобразования Фурье, разработанного французскими физиками-математиками Жаком Бро и Даниэлем Ягольнитцером для характеристики локальной аналитичности функций (или распределений ) на R. ^н . Преобразование обеспечивает альтернативный подход к аналитическим наборам распределений волновых фронтов , независимо разработанный японскими математиками Микио Сато , Масаки Кашивара и Такахиро Каваи в их подходе к микролокальному анализу . Его также можно использовать для доказательства аналитичности решений аналитических эллиптических уравнений в частных производных , а также как версию классической теоремы единственности, усиливающую теорему Коши – Ковалевского , принадлежащую шведскому математику Эрику Альберту Холмгрену (1872–1943).

Определения

Фурье Преобразование функции Шварца f в S ( R ^н ) определяется

$({\mathcal {F}}f)(t)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}f(x)e^{-ix\cdot t}\,dx.$

f Преобразование ФБИ определяется : для a ≥ 0 следующим образом

$({\mathcal {F}}_{a}f)(t,y)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}f(x)e^{-a|x-y|^{2}/2}e^{-ix\cdot t}\,dx.$

Таким образом, когда a = 0, это по существу совпадает с преобразованием Фурье.

Те же формулы можно использовать для определения преобразований Фурье и ФБР умеренных распределений в С' ( Р ^н ).

Формула инверсии

Формула обращения Фурье

$f(x)={\mathcal {F}}^{2}f(-x)$

функцию f позволяет восстановить из ее преобразования Фурье.

В частности

$f(x)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}e^{it\cdot x}{\mathcal {F}}(f)(t)\,dt$

значении a Аналогично, при положительном f (0) может быть восстановлено из преобразования FBI f ( x ) по формуле обращения

$f(x)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}e^{it\cdot x}e^{a|x-y|^{2}/2}{\mathcal {F}}_{a}(f)(t,y)\,dt$

Критерий локальной аналитичности

Брос и Ягольницер показали, что распределение f локально равно действительной аналитической функции в точке y в направлении ξ тогда и только тогда, когда его преобразование ФБР удовлетворяет неравенству вида

$|({\mathcal {F}}_{|\xi |}f)(\xi ,y)|\leq Ce^{-\varepsilon |\xi |},$

для |ξ| достаточно большой.

Теорема Хольмгрена о единственности

Простым следствием характеристики локальной аналитичности Броса и Ягольнитцера является следующий результат Ларса Хёрмандера и Микио Сато о регулярности ( Sjöstand (1982) ).

Теорема. Пусть P — эллиптический оператор в частных производных с аналитическими коэффициентами, определенными на открытом подмножестве X из R ^н . Если Pf аналитичен в X , то аналитичен и f .

Когда в этой теореме слово «аналитический» заменяется на «гладкий», результатом является не что иное, как Германа Вейля классическая лемма об эллиптической регулярности , обычно доказываемая с использованием пространств Соболева (Warner 1983). Это частный случай более общих результатов, связанных с набором аналитических волновых фронтов (см. ниже), которые подразумевают классическое усиление Холмгреном теоремы Коши – Ковалевского о линейных дифференциальных уравнениях в частных производных с действительными аналитическими коэффициентами. Говоря современным языком, теорема Холмгрена о единственности утверждает, что любое распределительное решение такой системы уравнений должно быть аналитическим и, следовательно, единственным, согласно теореме Коши – Ковалевского.

Аналитический набор волновых фронтов

Аналитический набор волновых фронтов или сингулярный спектр WF _A ( f ) распределения f ( или, в более общем плане, гиперфункции ) может быть определен в терминах преобразования ФБИ ( Хёрмандер (1983) ) как дополнение конического набора точек ( x , λ ξ) (λ > 0) такие, что преобразование ФБИ удовлетворяет неравенству Броса–Ягольнитцера

$|({\mathcal {F}}_{|\xi |}f)(\xi ,y)|\leq Ce^{-\varepsilon |\xi |},$

для y — точка, в которой хотелось бы проверить аналитичность, и | ξ | достаточно большой и указывающий в том направлении, в котором хотелось бы искать волновой фронт, то есть в направлении, в котором распространяется сингулярность в точке y , если она существует. Дж. М. Бони ( Сьёстранд (1982) , Хёрмандер (1983) ) доказал, что это определение совпадает с другими определениями, введенными независимо Сато, Кашиварой и Каваи, а также Хёрмандером. Если P — линейный дифференциальный оператор m -го порядка с аналитическими коэффициентами

$P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha },$

с основным символом

$\sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha },$

и характерное разнообразие

${\rm {char}}\,P=\{(x,\xi ):\xi \neq 0,\,\sigma _{P}(x,\xi )=0\},$

затем

• $\operatorname {WF} _{A}(Pf)\subseteq \operatorname {WF} _{A}(f)$
• $\operatorname {WF} _{A}(f)\subseteq \operatorname {WF} _{A}(Pf)\cup \operatorname {char} P.$

В частности, когда P эллиптическое, char P = ø, так что

ВФ _А ( Пф ) = ВФ _А ( ж ).

Это усиление упомянутой аналитической версии эллиптической регулярности. выше.

Ссылки

• Фолланд, Джеральд Б. (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве , Анналы математических исследований, том. 122, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-08528-5
• Гординг, Ларс (1998), Математика и математики: математика в Швеции до 1950 года , Американское математическое общество , ISBN  0-8218-0612-2
• Хёрмандер, Ларс (1983), Анализ операторов в частных производных I , Springer-Verlag, ISBN  3-540-12104-8 (Глава 9.6, Набор аналитических волновых фронтов.)
• Ягольницер, Дэниел (1975), Микролокальная существенная поддержка распределения и локальной декомпозиции – введение. В книге «Гиперфункции и теоретическая физика» , Конспект лекций по математике, вып. 449, Springer-Verlag, стр. 121–132.
• Кранц, Стивен ; Паркс, Гарольд Р. (1992), Букварь действительных аналитических функций , Биркхойзер, ISBN  0-8176-4264-1 . 2-е изд., Биркхойзер (2002), ISBN   0-8176-4264-1 .
• Сьёстранд, Йоханнес (1982), «Микролокальные аналитические особенности», Asterisk , 95 : 1–166.
• Тревес, Франсуа (1992), Гипоаналитические структуры: локальная теория , Princeton Mathematical Series, vol. 40, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-08744-Х (Глава 9, Преобразование ФБР в гипоаналитическом многообразии.)
• Уорнер, Франк (1983), Основы дифференциальной геометрии и групп Ли , Дипломные тексты по математике, том. 94, Шпрингер-Верлаг, ISBN  0-387-90894-3