Гиперфункция

Эта статья о гиперфункциях в математическом контексте. О биологических гипо- или гиперфункциях см. эндокринные заболевания .

В математике к другой на границе , гиперфункции представляют собой обобщения функций как «переход» от одной голоморфной функции и их неформально можно рассматривать как распределения бесконечного порядка. Гиперфункции были представлены Микио Сато в 1958 году на японском языке ( 1959 , 1960 на английском языке), основываясь на более ранних работах Лорана Шварца , Гротендика и других.

Формулировка

Гиперфункцию на вещественной прямой можно представить как «разницу» между одной голоморфной функцией, определенной в верхней полуплоскости , и другой в нижней полуплоскости. То есть гиперфункция задается парой ( f , g ), где f — голоморфная функция в верхней полуплоскости, а g — голоморфная функция в нижней полуплоскости.

Неофициально гиперфункция – вот в чем разница $f-g$ будет на самой реальной линии. На эту разницу не влияет добавление одной и той же голоморфной функции к f и g , поэтому, если h — голоморфная функция на всей комплексной плоскости , гиперфункции ( f , g ) и ( f + h , g + h ) определяются как быть эквивалентным.

Определение в одном измерении

Мотивацию можно конкретно реализовать, используя идеи пучковых когомологий . Позволять ${\mathcal {O}}$ — пучок голоморфных функций на $\mathbb {C} .$ Определим гиперфункции на вещественной прямой как первую группу локальных когомологий :

${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )=H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).$

Конкретно, пусть $\mathbb {C} ^{+}$ и $\mathbb {C} ^{-}$ быть верхней полуплоскостью и нижней полуплоскостью соответственно. Затем $\mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {C} ^{-}=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ так

$H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}})=\left[H^{0}(\mathbb {C} ^{+},{\mathcal {O}})\oplus H^{0}(\mathbb {C} ^{-},{\mathcal {O}})\right]/H^{0}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).$

Поскольку нулевая группа когомологий любого пучка — это просто глобальные сечения этого пучка, мы видим, что гиперфункция — это пара голоморфных функций, по одной в верхней и нижней комплексной полуплоскости по модулю целых голоморфных функций.

В более общем смысле можно определить ${\mathcal {B}}(U)$ для любого открытого набора $U\subseteq \mathbb {R}$ как частное $H^{0}({\tilde {U}}\setminus U,{\mathcal {O}})/H^{0}({\tilde {U}},{\mathcal {O}})$ где ${\tilde {U}}\subseteq \mathbb {C}$ любое открытое множество с ${\tilde {U}}\cap \mathbb {R} =U$. Можно показать, что это определение не зависит от выбора ${\tilde {U}}$ давая еще один повод думать о гиперфункциях как о «граничных значениях» голоморфных функций.

Примеры

• Если f — любая голоморфная функция на всей комплексной плоскости, то ограничение f на действительную ось является гиперфункцией, представленной либо ( f , 0 ), либо (0, − f ).
• можно Ступенчатую функцию Хевисайда представить в виде
  $$H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z),-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z)\right).$$
  где $\log(z)$ — главное значение комплексного z логарифма .
• представлена Дельта-функция Дирака ​​выражением
  $$\left({\dfrac {1}{2\pi iz}},{\dfrac {1}{2\pi iz}}\right).$$
  На самом деле это переформулировка интегральной формулы Коши . Чтобы проверить это, можно вычислить интегрирование f чуть ниже реальной линии и вычесть интегрирование g чуть выше реальной линии — как слева направо. Обратите внимание, что гиперфункция может быть нетривиальной, даже если ее компоненты являются аналитическим продолжением одной и той же функции. Также это легко проверить, дифференцируя функцию Хевисайда.
• Если g — непрерывная функция (или, в более общем случае, распределение ) на вещественной прямой с носителем, содержащимся в ограниченном интервале I , то g соответствует гиперфункции ( f , − f ), где f — голоморфная функция в дополнении к I определяется
  $$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{x\in I}g(x){\frac {1}{z-x}}\,dx.$$
  Значение этой функции f подскакивает на g ( x ) при пересечении вещественной оси в точке x . Формула для f следует из предыдущего примера, записывая g как свертку самого себя с дельта-функцией Дирака.
• Используя разбиение единицы, можно записать любую непрерывную функцию (распределение) как локально конечную сумму функций (распределений) с компактным носителем. Это можно использовать для расширения приведенного выше вложения до вложения $\textstyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )\to {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).$
• Если f — любая функция, голоморфная всюду, кроме существенной особенности в точке 0 (например, e ^{1/ з} ), затем $(f,-f)$ — это гиперфункция с поддержкой 0, которая не является распределением. Если f имеет полюс конечного порядка в точке 0, то $(f,-f)$ является распределением, поэтому, когда f имеет существенную особенность, тогда $(f,-f)$ выглядит как «распределение бесконечного порядка» в точке 0. (Обратите внимание, что распределения всегда имеют конечный порядок в любой точке.)

Операции над гиперфункциями

Позволять $U\subseteq \mathbb {R}$ быть любым открытым подмножеством.

• По определению ${\mathcal {B}}(U)$ — векторное пространство, в котором четко определены сложение и умножение комплексных чисел. Явно:
  $$a(f_{+},f_{-})+b(g_{+},g_{-}):=(af_{+}+bg_{+},af_{-}+bg_{-})$$
• Очевидные карты ограничений превращаются ${\mathcal {B}}$ в сноп (который на самом деле дряблый ).
• Умножение с действительными аналитическими функциями $h\in {\mathcal {O}}(U)$ и дифференциация четко определены:
  $${\begin{aligned}h(f_{+},f_{-})&:=(hf_{+},hf_{-})\\[6pt]{\frac {d}{dz}}(f_{+},f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\right)\end{aligned}}$$
  С этими определениями ${\mathcal {B}}(U)$ становится D-модулем и вложение ${\mathcal {D}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}$ является морфизмом D-модулей.
• точка $a\in U$ называется точкой голоморфной $f\in {\mathcal {B}}(U)$ если $f$ ограничивается действительной аналитической функцией в некоторой малой окрестности $a.$ Если $a\leqslant b$ являются двумя голоморфными точками, то интегрирование корректно определено:
  $$\int _{a}^{b}f:=-\int _{\gamma _{+}}f_{+}(z)\,dz+\int _{\gamma _{-}}f_{-}(z)\,dz$$
  где $\gamma _{\pm }:[0,1]\to \mathbb {C} ^{\pm }$ являются произвольными кривыми с $\gamma _{\pm }(0)=a,\gamma _{\pm }(1)=b.$ Интегралы не зависят от выбора этих кривых, поскольку верхняя и нижняя полуплоскости односвязны .
• Позволять ${\mathcal {B}}_{c}(U)$ — пространство гиперфункций с компактным носителем. Через билинейную форму
  $${\begin{cases}{\mathcal {B}}_{c}(U)\times {\mathcal {O}}(U)\to \mathbb {C} \\(f,\varphi )\mapsto \int f\cdot \varphi \end{cases}}$$
  каждой гиперфункции с компактным носителем сопоставляется непрерывная линейная функция на ${\mathcal {O}}(U).$ Это приводит к отождествлению дуального пространства, ${\mathcal {O}}'(U),$ с ${\mathcal {B}}_{c}(U).$ Особым случаем, заслуживающим рассмотрения, является случай непрерывных функций или распределений с компактным носителем: если рассматривать $C_{c}^{0}(U)$ (или ${\mathcal {E}}'(U)$) как подмножество ${\mathcal {B}}(U)$ посредством приведенного выше вложения, то это в точности вычисляет традиционный интеграл Лебега. Более того: если $u\in {\mathcal {E}}'(U)$ это дистрибутив с компактной поддержкой, $\varphi \in {\mathcal {O}}(U)$ является действительной аналитической функцией, а $\operatorname {supp} (u)\subset (a,b)$ затем
  $$\int _{a}^{b}u\cdot \varphi =\langle u,\varphi \rangle .$$
  Таким образом, это понятие интеграции придает точный смысл таким формальным выражениям, как
  $$\int _{a}^{b}\delta (x)\,dx$$
  которые не определены в обычном смысле. Более того: поскольку действительные аналитические функции плотны в ${\mathcal {E}}(U),{\mathcal {E}}'(U)$ является подпространством ${\mathcal {O}}'(U)$. Это альтернативное описание того же вложения ${\mathcal {E}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}$.
• Если $\Phi :U\to V$ является реальным аналитическим отображением между открытыми множествами $\mathbb {R}$, затем композиция с $\Phi$ является четко определенным оператором из ${\mathcal {B}}(V)$ к ${\mathcal {B}}(U)$:
  $$f\circ \Phi :=(f_{+}\circ \Phi ,f_{-}\circ \Phi )$$

См. также

• Алгебраический анализ
• Обобщенная функция
• Распределение (математика)
• Микролокальный анализ
• Псевдодифференциальный оператор
• Когомологии пучков

Ссылки

• Имаи, Исао (2012) [1992], Прикладная теория гиперфункций , математика и ее приложения (книга 8), Springer, ISBN  978-94-010-5125-5 .
• Канеко, Акира (1988), Введение в теорию гиперфункций , математику и ее приложения (книга 3), Springer, ISBN  978-90-277-2837-1
• Касивара, Масаки ; Каваи, Такахиро; Кимура, Тацуо (2017) [1986], Основы алгебраического анализа , Princeton Legacy Library (книга 5158), том. PMS-37, перевод Като, Горо (переиздание), Princeton University Press, ISBN  978-0-691-62832-5
• Комацу, Хикосабуро, изд. (1973), Гиперфункции и псевдодифференциальные уравнения, Материалы конференции в Катате, 1971 , Конспекты лекций по математике 287, Springer, ISBN  978-3-540-06218-9 .
  • Комацу, Хикосабуро, Относительные когомологии пучков решений дифференциальных уравнений , стр. 192–261 .
  • Сато, Микио; Каваи, Такахиро; Кашивара, Масаки, Микрофункции и псевдодифференциальные уравнения , стр. 265–529 . - Это называется СКК.
• Мартино, Андре (1960–1961), Гиперфункции М. Сато , Семинар Бурбаки, Том 6 (1960–1961), Презентация №. 214, МР   1611794 , Збл   0122.34902 .
• Моримото, Мицуо (1993), Введение в гиперфункции Сато , переводы математических монографий (книга 129), Американское математическое общество, ISBN  978-0-82184571-4 .
• Фам, Флорида, изд. (1975), Гиперфункции и теоретическая физика, Rencontre de Nice, 21–30 мая 1973 г. , Конспекты лекций по математике 449, Springer, ISBN  978-3-540-37454-1 .
  • Сересо, А.; Пириу, А.; Чазарин Дж., Введение в гиперфункции , стр. 1–53 .
• Сато, Микио (1958), «Cyōkansū no riron (Теория гиперфункций)» , Сугаку (на японском языке), 10 (1), Математическое общество Японии: 1–27, doi : 10.11429/sugaku1947.10.1 , ISSN   0039-470X
• Сато, Микио (1959), «Теория гиперфункций, I», Журнал факультета естественных наук Токийского университета. Секта. 1, Математика, Астрономия, Физика, Химия , 8 (1): 139–193, hdl : 2261/6027 , MR   0114124 .
• Сато, Микио (1960), «Теория гиперфункций, II», Журнал факультета естественных наук Токийского университета. Секта. 1, Математика, Астрономия, Физика, Химия , 8 (2): 387–437, hdl : 2261/6031 , MR   0132392 .
• Шапира, Пьер (1970), Теории гиперфункций , Конспекты лекций по математике 126, Springer, ISBN  978-3-540-04915-9 .
• Шлихткрулл, Хенрик (2013) [1984], Гиперфункции и гармонический анализ в симметричных пространствах , Прогресс в математике (перепечатка оригинального 1-го изд. в мягкой обложке), Springer, ISBN  978-1-4612-9775-8

Внешние ссылки

• Джейкобс, Брайан. «Гиперфункция» . Математический мир .
• Канеко, А. (2001) [1994], «Гиперфункция» , Математическая энциклопедия , EMS Press