Псевдодифференциальный оператор

В математическом анализе псевдодифференциальный оператор является расширением понятия дифференциального оператора . Псевдодифференциальные операторы широко используются в теории уравнений в частных производных и квантовой теории поля , например, в математических моделях, которые включают ультраметрические псевдодифференциальные уравнения в неархимедовом пространстве.

История

Изучение псевдодифференциальных операторов началось в середине 1960-х годов с работ Кона , Ниренберга , Хёрмандера , Унтербергера и Бокобзы.

Они сыграли влиятельную роль во втором доказательстве теоремы об индексе Атьи – Зингера с помощью K-теории. Атья и Зингер поблагодарили Хёрмандера за помощь в понимании теории псевдодифференциальных операторов.

Мотивация

Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами:

$P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }$

который действует на гладкие функции $u$ с компактным носителем в R ^н .Этот оператор можно записать как композицию преобразования Фурье — простого умножения наполиномиальная функция (называемая символом )

$P(\xi )=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha },$

и обратное преобразование Фурье в виде:

$\quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(\xi )u(y)\,dy\,d\xi$ ( 1 )

Здесь, $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ является мультииндексом , $a_{\alpha }$ являются комплексными числами, а

$D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\cdots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}$

— повторная частная производная, где ∂ _j означает дифференцирование по j -й переменной. Введем константы $-i$ для облегчения расчета преобразований Фурье.

Вывод формулы ( 1 )

функции u Преобразование Фурье гладкой с компактным носителем в R ^н , является

${\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)\,dy$

и формула обращения Фурье дает

$u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }u(y)\,dy\,d\xi$

Применяя P ( D ) к этому представлению u и используя

$P(D_{x})\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )$

получаем формулу ( 1 ).

Представление решений уравнений в частных производных

Чтобы решить уравнение в частных производных

$P(D)\,u=f$

мы (формально) применяем преобразование Фурье с обеих сторон и получаем алгебраическое уравнение

$P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi ).$

Если символ P (ξ) никогда не равен нулю, когда ξ ∈ R ^н , то можно разделить на P (ξ):

${\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )$

По формуле обращения Фурье решение имеет вид

$u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .$

Здесь предполагается, что:

1. P ( D ) — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами,
2. его символ P (ξ) никогда не равен нулю,
3. и u, и ƒ имеют четко определенное преобразование Фурье.

Последнее предположение можно ослабить, используя теорию распределений .Первые два предположения можно ослабить следующим образом.

В последней формуле выпишите преобразование Фурье ƒ, чтобы получить

$u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)\,dy\,d\xi .$

Это похоже на формулу ( 1 ), за исключением того, что 1/ P (ξ) не является полиномиальной функцией, а функцией более общего вида.

псевдодифференциальных

Здесь мы рассматриваем псевдодифференциальные операторы как обобщение дифференциальных операторов.Расширим формулу (1) следующим образом. Псевдодифференциальный оператор P ( x , D ) на R ^н — оператор, значение которого для функции u(x) является функцией x :

$\quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }P(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d\xi$ ( 2 )

где ${\hat {u}}(\xi )$ является преобразованием Фурье функции u , а символ P ( x ,ξ) в подынтегральной функции принадлежит определенному классу символов .Например, если P ( x ,ξ) — бесконечно дифференцируемая функция на R ^н × Р ^н с имуществом

$|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}$

для всех x ,ξ ∈ R ^н , все мультииндексы α,β, некоторые константы C _{α, β} и некоторое вещественное число m , то P принадлежит классу символов $\scriptstyle {S_{1,0}^{m}}$ из Хёрмандера . Соответствующий оператор P ( x , D ) называется псевдодифференциальным оператором порядка m и принадлежит классу $\Psi _{1,0}^{m}.$

Свойства

Линейные дифференциальные операторы порядка m с гладкими ограниченными коэффициентами являются псевдодифференциальными.операторы порядка m .Композиция PQ двух псевдодифференциальных операторов P , Q снова является псевдодифференциальным оператором, и символ PQ используя символы P и Q. можно вычислить , Сопряженный и транспонированный псевдодифференциальный оператор является псевдодифференциальным оператором.

Если дифференциальный оператор порядка m ( (равномерно) эллиптический порядка m )и обратим, то его обратный оператор является псевдодифференциальным оператором порядка − m , и его символ можно вычислить. Это означает, что можно более или менее явно решать линейные эллиптические дифференциальные уравнения.с помощью теории псевдодифференциальных операторов.

Дифференциальные операторы являются локальными в том смысле, что для определения эффекта оператора нужно только значение функции в окрестности точки. Псевдодифференциальные операторы псевдолокальны , что неформально означает, что при применении к распределению они не создают сингулярности в точках, где распределение уже было гладким.

Точно так же, как дифференциальный оператор можно выразить через D = −id/d x в виде

$p(x,D)\,$

для многочлена p в D (который называется символом ) псевдодифференциальный оператор имеет символ в более общем классе функций. Часто задачу анализа псевдодифференциальных операторов можно свести к последовательности алгебраических задач, связанных с их символами, и в этом суть микролокального анализа .

Ядро псевдодифференциального оператора

Псевдодифференциальные операторы могут быть представлены ядрами . Особенность ядра на диагонали зависит от степени соответствующего оператора. Фактически, если символ удовлетворяет указанным выше дифференциальным неравенствам с m ≤ 0, можно показать, что ядро ​​является сингулярным целочисленным ядром .

См. также

• Дифференциальная алгебра для определения псевдодифференциальных операторов в контексте дифференциальных алгебр и дифференциальных колец.
• Преобразование Фурье
• Интегральный оператор Фурье
• Осциллирующий интегральный оператор
• Основная теорема Сато
• Операционное исчисление

Ссылки

• Стейн, Элиас (1993), Гармонический анализ: методы действительных переменных, ортогональность и осциллирующие интегралы , Princeton University Press .
• Атья, Майкл Ф .; Сингер, Исадор М. (1968), «Индекс эллиптических операторов I», Annals of Mathematics , 87 (3): 484–530, doi : 10.2307/1970715 , JSTOR   1970715

Дальнейшее чтение

• Николас Лернер, Метрики в фазовом пространстве и несамосопряженные псевдодифференциальные операторы . Псевдодифференциальные операторы. Теория и приложения, 3. Birkhäuser Verlag, Базель, 2010.
• Майкл Э. Тейлор , Псевдодифференциальные операторы, Princeton Univ. Пресс 1981 год. ISBN   0-691-08282-0
• М. А. Шубин, Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, Springer-Verlag, 2001. ISBN   3-540-41195-X
• Франсуа Тревес , Введение в псевдодифференциальные и интегральные операторы Фурье, (Университетская серия по математике), Plenum Publ. Компания 1981 года. ISBN   0-306-40404-4
• Ф.Г. Фридлендер и М. Джоши, Введение в теорию распределений, Cambridge University Press, 1999. ISBN   0-521-64971-4
• Хёрмандер, Ларс (1987). Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных III: Псевдодифференциальные операторы . Спрингер. ISBN  3-540-49937-7 .
• Андре Унтербергер, Псевдодифференциальные операторы и приложения: введение . Серия конспектов лекций, 46. Орхусский университет, математический факультет, Орхус, 1976.

Внешние ссылки

• о псевдодифференциальных операторах Лекции Марка С. Джоши на arxiv.org.
• «Псевдодифференциальный оператор» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]