Осциллирующий интегральный оператор

В математике , в области гармонического анализа , осциллирующим интегральным оператором называется интегральный оператор вида

$T_{\lambda }u(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\lambda S(x,y)}a(x,y)u(y)\,dy,\qquad x\in \mathbb {R} ^{m},\quad y\in \mathbb {R} ^{n},$

где функция S ( x , y ) называется фазой оператора , а функция a ( x , y ) называется символом оператора. λ — параметр. Часто считают, что S ( x , y ) является вещественным и гладким, а a ( x , y ) гладким и компактным . Обычно интересует поведение T _λ при больших значениях λ .

Осциллирующие интегральные операторы часто появляются во многих областях математики ( анализ , уравнения в частных производных , интегральная геометрия , теория чисел ) и в физике. Свойства осциллирующих интегральных операторов изучались Элиасом Штейном и его школой.

Теорема Хёрмандера

Следующая оценка на L ² → Л ² действие осциллирующих интегральных операторов (или L ² → Л ² норма оператора ) была получена Ларсом Хёрмандером в его статье об интегральных операторах Фурье :

Предположим, что x,y ∈ R ^н , n ≥ 1. Пусть S ( x , y ) вещественнозначное и гладкое, и пусть a ( x , y ) гладкое и имеет компактный носитель . Если ${\textstyle \det _{j,k}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{j}\,\partial y_{k}}}(x,y)\neq 0}$ всюду на носителе a ( x , y ), то существует константа C такая, что T _λ , изначально определённый на гладких функциях , продолжается до непрерывного оператора из L ² ( Р ^н ) до Л ² ( Р ^н ), с нормой , ограниченной $C\lambda ^{-n/2}$, для любого λ ≥ 1:

$\|T_{\lambda }\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\lambda ^{-n/2}.$