Интегральный оператор Фурье

В математическом анализе интегральные операторы Фурье стали важным инструментом теории уравнений в частных производных . Класс интегральных операторов Фурье содержит дифференциальные операторы , а также классические интегральные операторы в качестве частных случаев.

Интегральный оператор Фурье $T$ дается:

$(Tf)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi i\Phi (x,\xi )}a(x,\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi$

где ${\hat {f}}$ обозначает преобразование Фурье $f$, $a(x,\xi )$ — стандартный символ , компактно поддерживаемый в $x$ и $\Phi$ является действительно ценным и однородным по степени $1$ в $\xi$. Также необходимо потребовать, чтобы $\det \left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x_{i}\,\partial \xi _{j}}}\right)\neq 0$ при поддержке А. В этих условиях, если а имеет нулевой порядок, можно показать, что $T$ определяет ограниченный оператор из $L^{2}$ к $L^{2}$.

Примеры

Одной из причин изучения интегральных операторов Фурье является оператор решения начальной задачи для волнового оператора. Действительно, рассмотрим следующую задачу:

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}(t,x)=\Delta u(t,x)\quad \mathrm {for} \quad (t,x)\in \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{n},$

и

$u(0,x)=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}(0,x)=f(x),\quad \mathrm {for} \quad f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}).$

Решение этой проблемы дает

$u(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int {\frac {e^{i(\langle x,\xi \rangle +ct|\xi |)}}{2ic|\xi |}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi -{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int {\frac {e^{i(\langle x,\xi \rangle -ct|\xi |)}}{2ic|\xi |}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .$

Их следует интерпретировать как осциллирующие интегралы, поскольку они, как правило, не сходятся. Формально это выглядит как сумма двух интегральных операторов Фурье, однако коэффициенты в каждом из интегралов не являются гладкими в начале координат и, следовательно, не являются стандартными символами. Если вырезать эту особенность с помощью обрезающей функции, то полученные таким образом операторы все равно будут давать решения начальной задачи по модулю гладких функций. Таким образом, если нас интересует только распространение особенностей исходных данных, достаточно рассмотреть такие операторы. Фактически, если мы позволим скорости звука c в волновом уравнении меняться в зависимости от положения, мы все равно сможем найти интегральный оператор Фурье, который дает решение по модулю гладких функций, и, таким образом, интегральные операторы Фурье предоставляют полезный инструмент для изучения распространения особенностей решения волновых уравнений с переменной скоростью и, в более общем плане, других гиперболических уравнений.

См. также

• Микролокальный анализ
• Преобразование Фурье
• Псевдодифференциальный оператор
• Осциллирующий интегральный оператор
• Симплектическая категория

Ссылки

• Элиас Штайн, Гармонический анализ: методы действительных переменных, ортогональность и осциллирующие интегралы . Издательство Принстонского университета, 1993. ISBN   0-691-03216-5
• Ф. Тревес, Введение в псевдодифференциальные и интегральные операторы Фурье, (Университетская серия по математике), Plenum Publ. Компания 1981 года. ISBN   0-306-40404-4
• Дж. Дж. Дуйстермаат , Интегральные операторы Фурье (Прогресс в математике), Birkhäuser 1995. ISBN   0-8176-3821-0

Внешние ссылки

• «Интегральный оператор Фурье» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]