Операционное исчисление

Операционное исчисление , также известное как операционный анализ , представляет собой метод, с помощью которого задачи анализа , в частности дифференциальные уравнения , преобразуются в алгебраические задачи, обычно задачу решения полиномиального уравнения .

История

Идея представления процессов исчисления, дифференцирования и интегрирования в виде операторов. имеет долгую историю, восходящую к Готфриду Вильгельму Лейбницу . Математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст был одним из первых, кто манипулировал этими символами независимо от функции, к которой они применялись.

Этот подход получил дальнейшее развитие Франсуа-Жозефа Сервуа , который разработал удобные обозначения. За Сервуа последовала школа британских и ирландских математиков, в которую входили Чарльз Джеймс Харгрив , Джордж Буль , Боунин, Кармайкл, Дукин, Грейвс, Мерфи, Уильям Споттисвуд и Сильвестр.

Трактаты, описывающие применение операторных методов к обыкновенным уравнениям и уравнениям в частных производных, были написаны Робертом Беллом Кармайклом в 1855 году. и Буля в 1859 году.

Эта методика была полностью разработана физиком Оливером Хевисайдом в 1893 году в связи с его работами в области телеграфии .

Руководствуясь интуицией и богатыми познаниями в физике, лежащими в основе его исследований цепей, [Хевисайд] разработал операционное исчисление, которое теперь приписывают его имени.

В то время методы Хевисайда не были строгими, и его работа не получила дальнейшего развития со стороны математиков. Операционное исчисление впервые нашло применение в электротехники задачах . расчет переходных процессов в линейных цепях после 1910 года под импульсом Эрнста Джулиуса Берга , Джона Реншоу Карсона и Ванневара Буша .

Строгое математическое обоснование операционных методов Хевисайда появилось только после работы Бромвича, связавшего операционное исчисление с Методы преобразования Лапласа (подробное изложение см. в книгах Джеффриса, Карслоу или Маклахлана). Другие способы обоснования операционных методов Хевисайда были предложены в середине 1920-х годов с использованием методы интегральных уравнений (как это сделал Карсон) или преобразование Фурье (как это сделал Норберт Винер ).

Другой подход к операционному исчислению был разработан в 1930-х годах польским математиком. Ян Микусинский , используя алгебраические рассуждения.

Норберт Винер заложил основы теории операторов в своем обзоре экзистенциального статуса операционного исчисления в 1926 году:

Блестящая работа Хевисайда носит чисто эвристический характер, лишенный даже претензии на математическую строгость. Его операторы применяются к электрическим напряжениям и токам, которые могут быть прерывистыми и, конечно, не обязательно должны быть аналитическими. Например, любимый корпус, на котором он испытывает свои операторы, — это функция , которая исчезает слева от начала координат и равна 1 справа. Это исключает любое прямое применение методов Пинчерле…

Хотя разработки Хевисайда не были оправданы нынешним состоянием чисто математической теории операторов, существует множество того, что мы можем назвать экспериментальными доказательствами их обоснованности, и они очень ценны для инженеров-электриков . Однако бывают случаи, когда они приводят к неоднозначным или противоречивым результатам.

Принцип

Ключевым элементом операционного исчисления является рассмотрение дифференцирования как оператора p = d / d t, действующий на функции . Линейные дифференциальные уравнения затем можно преобразовать в виде «функций» F (p) оператора p, действующего на неизвестную функцию, равную известной функции. Здесь F определяет что-то, что принимает оператор p и возвращает другой оператор F (p) . Затем решения получаются путем воздействия обратного оператора F на известную функцию. Операционное исчисление обычно обозначается двумя символами: оператором p и единичной функцией 1 . Оператор в его использовании, вероятно, является скорее математическим, чем физическим, а функция единицы - более физической, чем математической. Оператор p в исчислении Хевисайда изначально должен представлять дифференциатор времени д / д т . Кроме того, желательно, чтобы этот оператор имел отношение взаимности такое, что p ⁻¹ обозначает операцию интегрирования.

В теории электрических цепей пытаются определить реакцию электрической цепи на импульс. Ввиду линейности достаточно рассматривать единичный шаг :

Ступенчатая функция Хевисайда : H ( t ) такая, что H ( t ) = 0, если t < 0, и H ( t ) = 1, если t > 0.

Простейшим примером применения операционного исчисления является решение: p y = H ( t ) , что дает

$y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\,du=t\,H(t).$

Из этого примера видно, что $\operatorname {p} ^{-1}$ представляет собой интеграцию . Кроме того, n итерированных интеграций представлены выражением $\operatorname {p} ^{-n},$ так что

$\operatorname {p} ^{-n}H(t)={\frac {t^{n}}{n!}}H(t).$

Продолжая рассматривать p, как если бы это была переменная,

${\frac {\operatorname {p} }{\operatorname {p} -a}}H(t)={\frac {1}{1-{\frac {a}{\operatorname {p} }}}}\,H(t),$

который можно переписать, используя разложение в геометрический ряд :

$${\frac {1}{1-{\frac {a}{\operatorname {p} }}}}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\operatorname {p} ^{-n}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{n}t^{n}}{n!}}H(t)=e^{at}H(t).$$

Используя разложение частичных дробей , можно определить любую дробь в операторе p и вычислить ее действие на H ( t ) . При этом, если функция 1/ F (p) имеет разложение в ряд вида

${\frac {1}{F(\operatorname {p} )}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\operatorname {p} ^{-n},$

это легко найти

${\frac {1}{F(\operatorname {p} )}}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}H(t).$

Применяя это правило, решение любого линейного дифференциального уравнения сводится к чисто алгебраической задаче.

Хевисайд пошел дальше и определил дробную степень p, установив тем самым связь между операционным исчислением и дробным исчислением .

Используя разложение Тейлора , можно также проверить формулу перевода Лагранжа– Буля e ^{п ​} f ( t ) = f ( t + a ) , поэтому операционнаяисчисление также применимо к конечно- разностным уравнениям и к задачам электротехники с запаздывающими сигналами.

См. также

• Исчисление конечных разностей
• Теневое исчисление

Дополнительные источники

При жизни Хевисайда

• Теркем и Джероно (1855 г.). « [название не указано] ». Новые анналы математики . 14:83 . — Некоторые исторические ссылки на предшественников до Кармайкла].

• Хевисайд, Оливер (1892). Электротехническая бумага . Лондон, Великобритания. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

• Хевисайд, Оливер (1902) [1893, 1899]. Электромагнитная теория . Лондон, Великобритания. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

• Хевисайд, Оливер (1893). «III. Об операторах в физической математике. Часть I». Труды Лондонского королевского общества . 52 : 504–529. дои : 10.1098/rspl.1892.0093 . ISSN   0370-1662 .

Хевисайд, Оливер (1894). «VIII. Об операторах в физической математике. Часть II» . Труды Лондонского королевского общества . 54 (326–330): 105–143. дои : 10.1098/rspl.1893.0059 . ISSN   0370-1662 . S2CID   121790063 .

После смерти Хевисайда

• Берг, Э. (1929). Операционное исчисление Хевисайда . МакГроу-Хилл - через Интернет-архив (archive.org).

• Буш, В. (1929). Анализ оперативных цепей . Джон Уайли и сыновья. с приложением Норберта Винера

• Калверт, Джеймс Б. (2002). «Хевисайд, Лаплас и интеграл обращения» . mysite.du.edu (академическое лицо). Денверский университет .

• Карслоу, HS (1941). Операционные методы в прикладной математике . Издательство Оксфордского университета . Архивировано из оригинала 19 июля 2011 г. – на сайте www.new.dli.ernet.in.

• Карсон, младший (январь – февраль 1926 г.). «Операционное исчисление Хевисайда» . Бюллетень Американского математического общества . 32 (1): 43–68. дои : 10.1090/S0002-9904-1926-04162-8 . Проверено 7 декабря 2023 г. - через Project Euclid (projecteuclid.org).

• Карсон, младший (1926). Теория электрических цепей и операционное исчисление . МакГроу Хилл.

• Черчилль, Р.В. (1958). Оперативная математика . МакГроу-Хилл .

• Дэвис, ХТ (1936). Теория линейных операторов . Блумингтон, Иллинойс: Principia Press – через Интернет-архив (archive.org).

• Эрдели, А. (2013) [1962]. Операционное исчисление и обобщенные функции (переиздание). Дувр. ISBN  978-0486497129 .

• Джеффрис, Х. (1927). Операционные методы в математической физике . Издательство Кембриджского университета. Архивировано из оригинала 19 июля 2011 г. – на сайте www.new.dli.ernet.in.

• Джеффрис, Х. (1927). Операционные методы в математической физике . Издательство Кембриджского университета - через Интернет-архив (archive.org).

• Лютцен, Дж. (1979). «Операционное исчисление Хевисайда и попытки его строгости». Архив истории точных наук . 21 (2): 161–200. дои : 10.1007/BF00330405 . S2CID   118606242 .

• Мак-Лахлан, Северо-Запад (1941). Современное операционное исчисление . Макмиллан. Архивировано из оригинала 19 июля 2011 г. – на сайте www.new.dli.ernet.in.

• Март, HW (май – июнь 1927 г.). «Операционное исчисление Хевисайда» . Бюллетень Американского математического общества . 33 (3): 311–318. doi : 10.1090/S0002-9904-1927-04363-4 – через Project Euclid (projecteuclid.org).

«Коррекция» . Бюллетень Американского математического общества . 33 (4): 492. Июль – август 1927 г. doi : 10.1090/S0002-9904-1927-04412-3 . Проверено 7 декабря 2023 г. - через Project Euclid (projecteuclid.org).

• Микусинский, Дж. (1960). Операционное исчисление . Эльзевир .

• Нахин, П.Дж. (1985). «Оливер Хевисайд: дробные операторы и возраст Земли» . Транзакции IEEE по образованию . E-28 (2): 94–104. Бибкод : 1985ITEdu..28...94N . дои : 10.1109/TE.1985.4321749 . S2CID   7161941 — через IEEE Explore .

• Рота, ГК; Каханер, Д.; Одлизко, А. (1973). «Об основах комбинаторной теории. VIII. Конечное операторное исчисление» . Журнал математического анализа и приложений . 42 (3): 684. дои : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .

• ван дер Пол , Б .; Бреммер, Х. (1950). Операционное исчисление . Издательство Кембриджского университета .

• ван дер Пол , Б. (1950). «Операционное исчисление Хевисайда». Том столетнего юбилея Хевисайда . Институт инженеров-электриков .

Внешние ссылки

• Lindell HEAVISIDE, ПРИМЕНИМЫЕ К РЕШЕНИЮ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОБЛЕМ IV ПРАВИЛА ЭКСПЛУАТАЦИИ
• Исчисление Рона Дорфлера Хевисайда
• Эссе Джека Креншоу, показывающее использование операторов Подробнее о Розеттском камне