смягчающий

Смягчитель (вверху) в первом измерении . Внизу красным цветом изображена функция с углом (слева) и резким скачком (справа), а синим — ее смягченный вариант.

В математике гладких функций , смягчающие факторы (также известные как приближения к тождеству ) представляют собой особые гладкие функции , используемые, например, в теории распределения для создания последовательностей аппроксимирующих негладкие (обобщенные) функции посредством свертки . Интуитивно, если дана (обобщенная) функция, свертка ее с помощью смягчающего средства «смягчает» ее, то есть ее резкие особенности сглаживаются, оставаясь при этом близкими к исходной.

Они также известны как смягчающие средства Фридрихса в честь Курта Отто Фридрихса , который их представил.

Исторические заметки

Смягчители были введены Куртом Отто Фридрихсом в его статье ( Friedrichs 1944 , стр. 136–139), которая считается переломным моментом в современной теории уравнений в частных производных . Название этого математического объекта имеет любопытное происхождение, и Питер Лакс рассказывает эту историю в своем комментарии к этой статье, опубликованной в книге Фридрихса « Селекта ». По его словам, в то время коллегой Фридрихса был математик Дональд Александр Фландерс; поскольку ему нравилось консультироваться с коллегами по поводу использования английского языка, он попросил у Фландерса совета по поводу названия оператора сглаживания, который он использовал. Фландерс был современным пуританином , которого друзья прозвали Молл в честь Молла Фландерса в знак признания его моральных качеств: он предложил назвать новую математическую концепцию « смягчающим » в виде каламбура, включающего в себя как прозвище Фландерса, так и глагол « смягчать ». в переносном смысле означает «сглаживать».

Раньше Сергей Соболев в свою эпоху использовал мягчители при изготовлении бумаги 1938 года, который содержит доказательство теоремы вложения Соболева : сам Фридрихс признал работу Соболева по смягчающим средствам, заявив: « Эти смягчающие средства были введены Соболевым и автором... ».

Следует отметить, что термин «смягчитель» претерпел лингвистический сдвиг со времени этих основополагающих работ: Фридрихс определил как « смягчитель » интегральный оператор которого , ядром является одна из функций, ныне называемых «мягчителями». Однако, поскольку свойства линейного интегрального оператора полностью определяются его ядром, имя «моллификатор» было унаследовано самим ядром в результате общего использования.

Определение

Функция, подвергающаяся постепенному смягчению.

Современное (основанное на распределении) определение

Определение 1. Пусть $\varphi$ быть гладкой функцией на $\mathbb {R} ^{n}$, $n\geq 1$, и положить $\varphi _{\epsilon }(x):=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )$ для $\epsilon >0\in \mathbb {R}$.Затем $\varphi$ является смягчающим средством , если оно удовлетворяет следующим трем требованиям:

(1)    он компактен ,

(2)   $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1$,

(3)   $\lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)$,

где $\delta (x)$ есть дельта-функция Дирака , и предел следует понимать как имеющий место в пространстве распределений Шварца . Функция $\varphi$ может также удовлетворить дополнительные условия интереса; например, если оно удовлетворяет

(4)   $\varphi (x)\geq 0$ для всех $x\in \mathbb {R} ^{n}$,

тогда он называется положительным смягчающим фактором , и если он удовлетворяет

(5)   $\varphi (x)=\mu (|x|)$ для некоторой бесконечно дифференцируемой функции $\mu :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$,

тогда его называют симметричным мягчителем .

Примечания к определению Фридрихса

Примечание 1 . Когда теория распределений еще не была широко известна и не использовалась, свойство (3) выше было сформулировано, говоря, что свертка функции $\scriptstyle \varphi _{\epsilon }$ с данной функцией, принадлежащей собственному гильбертовому или банаховому пространству, сходится при ε → 0 к этой функции: именно это и сделал Фридрихс . Это также проясняет, почему смягчающие средства связаны с приблизительными тождествами .

Примечание 2 . Как кратко указано в разделе « Исторические заметки » этой статьи, первоначально термин «смягчитель» обозначал следующий оператор свертки :

$\Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y$

где $\varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )$ и $\varphi$ представляет собой гладкую функцию, удовлетворяющую первым трем условиям, указанным выше, и одному или нескольким дополнительным условиям, таким как положительность и симметрия.

Конкретный пример

Рассмотрим функцию удара $\varphi$$(x)$ переменной ​ в $\mathbb {R} ^{n}$ определяется

$\varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&{\text{ if }}|x|<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1\end{cases}}$

где числовая константа $I_{n}$ обеспечивает нормализацию. Эта функция бесконечно дифференцируема, неаналитическая с нулевой производной при | х | = 1 . $\varphi$ поэтому можно использовать в качестве смягчающего средства, как описано выше: можно видеть, что $\varphi$$(x)$ определяет положительный и симметричный смягчающий элемент .

Функция $\varphi$$(x)$ в измерении первом

Характеристики

Все свойства мульификатора связаны с его поведением при операции свертки : перечислим следующие, доказательства которых можно найти в каждом тексте по теории распределения .

Сглаживающее свойство

Для любого дистрибутива $T$, следующее семейство сверток, индексированных действительным числом $\epsilon$

$T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }$

где $\ast$ обозначает свертку , представляет собой семейство гладких функций .

Приближение идентичности

Для любого дистрибутива $T$, следующее семейство сверток, индексированных действительным числом $\epsilon$ сходится к $T$

$\lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$

Поддержка свертки

Для любого дистрибутива $T$,

$\operatorname {supp} T_{\epsilon }=\operatorname {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \operatorname {supp} T+\operatorname {supp} \varphi _{\epsilon }$,

где $\operatorname {supp}$ указывает на поддержку в смысле распределений, и $+$ указывает на их сложение Минковского .

Приложения

Основное применение смягчающих средств — доказать, что свойства, действительные для гладких функций, также действительны и в негладких ситуациях.

Продукт дистрибутивов

В некоторых теориях обобщенных функций смягчители используются для определения умножения распределений . Учитывая два распределения $S$ и $T$, предел произведения гладкой функции, полученной из одного операнда путем уплотнения, с другим операндом определяет, если он существует, их произведение в различных теориях обобщенных функций :

$S\cdot T:=\lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }$.

Теоремы «Слабое = Сильное»

Моллификаторы используются для доказательства идентичности двух разных видов расширения дифференциальных операторов: сильного расширения и слабого расширения . Статья Фридрихса, в которой вводятся смягчающие средства ( Friedrichs 1944 ), иллюстрирует этот подход.

Функции плавного среза

Путем свертки характеристической функции единичного шара $B_{1}=\{x:|x|<1\}$ с функцией плавности $\varphi _{1/2}$ (определяется как в (3) с $\epsilon =1/2$), получаем функцию

${\begin{aligned}\chi _{B_{1},1/2}(x)&=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\\&=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because \ \mathrm {supp} (\varphi _{1/2})=B_{1/2})\end{aligned}}$

которая является гладкой функцией, равной $1$ на $B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}$, при поддержке, содержащейся в $B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}$. В этом легко убедиться, заметив, что если $|x|\leq 1/2$ и $|y|\leq 1/2$ затем $|x-y|\leq 1$. Следовательно, для $|x|\leq 1/2$,

$\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1$.

Можно увидеть, как эту конструкцию можно обобщить, чтобы получить гладкую функцию, идентичную единице в окрестности данного компакта и равную нулю в каждой точке, расстояние от которой до этого множества больше заданного. $\epsilon$. Такая функция называется (гладкой) функцией среза ; они используются для устранения особенностей данной ( обобщенной ) функции посредством умножения . Они оставляют неизменным значение множимого в данном наборе , но изменяют его поддержку . Функции отсечения используются для построения гладких разбиений единицы .

См. также

• Приблизительная идентичность
• Функция удара
• Свертка
• Распределение (математика)
• Обобщенная функция
• Курт Отто Фридрихс
• Неаналитическая гладкая функция
• Sergei Sobolev
• Преобразование Вейерштрасса

Ссылки

• Фридрихс, Курт Отто (январь 1944 г.), «Тождественность слабых и сильных расширений дифференциальных операторов», Труды Американского математического общества , 55 (1): 132–151, doi : 10.1090/S0002-9947-1944-0009701- 0 , JSTOR   1990143 , MR   0009701 , Збл   0061.26201 . Первая статья, в которой были введены смягчающие средства.
• Фридрихс, Курт Отто (1953), «О дифференцируемости решений линейных эллиптических дифференциальных уравнений» , Сообщения по чистой и прикладной математике , VI (3): 299–326, doi : 10.1002/cpa.3160060301 , MR   0058828 , Zbl   0051.32703 , заархивировано из оригинала 05 января 2013 г. Статья, в которой дифференцируемость решений эллиптических уравнений в частных производных . с помощью мягчителей исследуется
• Фридрихс, Курт Отто (1986), Моравец, Кэтлин С. (редактор), Selecta , Современные математики, Бостон- Базель - Штутгарт : Birkhäuser Verlag , стр. 427 (Том 1), стр. 608 (Том 2), ISBN  0-8176-3270-0 , Збл   0613.01020 . Подборка произведений Фридрихса с биографией и комментариями Дэвида Айзексона , Фрица Джона , Тосио Като , Питера Лакса , Луи Ниренберга , Вольфгага Васова , Гарольда Вайцнера .
• Джусти, Энрико (1984), Минимальные поверхности и функции ограниченных вариаций , Монографии по математике, том. 80, Базель – Бостон – Штутгарт : Birkhäuser Verlag, стр. xii+240, ISBN  0-8176-3153-4 , МР   0775682 , Збл   0545.49018 .
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных I , Основы математической науки, том. 256 (2-е изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN  0-387-52343-Х , МР   1065136 , Збл   0712.35001 .
• Соболев, Сергей Л. (1938), «Sur un theorème d'analyse fonctionnelle» , Recueil Mathématique (Математический сборник) (на русском и французском языках), 4 (46) (3): 471–497, Zbl   0022.14803 . Статья, в которой Сергей Соболев доказал свою теорему вложения , вводя и используя интегральные операторы, очень похожие на мягчители, не называя их.