Лимит раздач

В математике, особенно в теории обобщенных функций , пределом последовательности распределений является распределение, к которому приближается последовательность. Расстояние, определенное количественно, до предельного распределения можно сделать сколь угодно малым, выбрав распределение, достаточно далекое вдоль последовательности. Это понятие обобщает предел последовательности функций ; предел как распределение может существовать, когда предела функций нет.

Это понятие является частью распределительного исчисления , обобщенной формы исчисления , основанной на понятии распределений, в отличие от классического исчисления, основанного на более узком понятии функций .

Определение

Учитывая последовательность распределений $f_{i}$ , его предел $f$ это распределение, заданное

f[\varphi ]=\lim _{i\to \infty }f_{i}[\varphi ]

для каждой тестовой функции $\varphi$ , при условии, что распределение существует. Существование лимита $f$ означает, что (1) для каждого $\varphi$ , предел последовательности чисел $f_{i}[\varphi ]$ существует и что (2) линейный функционал $f$ определяемая приведенной формулой, непрерывна относительно топологии в пространстве основных функций.

В более общем смысле, как и в случае с функциями, можно рассматривать предел семейства распределений.

Примеры

Предел распределения все еще может существовать, хотя классический предел отсутствует. Рассмотрим, например, функцию:

f_{t}(x)={t \over 1+t^{2}x^{2}}

Поскольку при интегрировании по частям

\langle f_{t},\phi \rangle =-\int _{-\infty }^{0}\arctan(tx)\phi '(x)\,dx-\int _{0}^{\infty }\arctan(tx)\phi '(x)\,dx,

у нас есть: $\displaystyle \lim _{t\to \infty }\langle f_{t},\phi \rangle =\langle \pi \delta _{0},\phi \rangle$ . То есть предел $f_{t}$ как $t\to \infty$ является $\pi \delta _{0}$ .

Позволять $f(x+i0)$ обозначают предел распределения $f(x+iy)$ как $y\to 0^{+}$ , если он существует. Распределение $f(x-i0)$ определяется аналогично.

У одного есть

(x-i0)^{-1}-(x+i0)^{-1}=2\pi i\delta _{0}.

Позволять $\Gamma _{N}=[-N-1/2,N+1/2]^{2}$ — прямоугольник с положительной ориентацией и целым N. числом По формуле остатка ,

I_{N}{\overset {\mathrm {def} }{=}}\int _{\Gamma _{N}}{\widehat {\phi }}(z)\pi \cot(\pi z)\,dz={2\pi i}\sum _{-N}^{N}{\widehat {\phi }}(n).

С другой стороны,

{\begin{aligned}\int _{-R}^{R}{\widehat {\phi }}(\xi )\pi \operatorname {cot} (\pi \xi )\,d&=\int _{-R}^{R}\int _{0}^{\infty }\phi (x)e^{-2\pi Ix\xi }\,dx\,d\xi +\int _{-R}^{R}\int _{-\infty }^{0}\phi (x)e^{-2\pi Ix\xi }\,dx\,d\xi \\&=\langle \phi ,\cot(\cdot -i0)-\cot(\cdot -i0)\rangle \end{aligned}}

Осциллирующий интеграл

См. также

Распределение (теория чисел)

Ссылки

Демайи, Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия.
Хёрмандер , Ларс, Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных , Springer-Verlag

Эта математическому анализу, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .