Осциллирующий интеграл

В математическом анализе осциллирующий интеграл является разновидностью распределения . Осциллирующие интегралы делают строгими многие аргументы, которые на наивном уровне кажутся основанными на расходящихся интегралах. Операторы приближенного решения многих дифференциальных уравнений можно представить в виде осциллирующих интегралов.

Определение

Осциллирующий интеграл $f(x)$ формально записывается как

f(x)=\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi ,

где $\phi (x,\xi )$ и $a(x,\xi )$ являются функциями, определенными на $\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N}$ со следующими свойствами:

Функция $\phi$ вещественна, положительно однородна степени 1 и бесконечно дифференцируема от $\{\xi =0\}$ . Также мы предполагаем, что $\phi$ не имеет точек по поддержке критических $a$ . Такая функция, $\phi$ обычно называют фазовой функцией . В некоторых контекстах рассматриваются более общие функции, которые до сих пор называются фазовыми функциями.
Функция $a$ принадлежит одному из классов символов $S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})$ для некоторых $m\in \mathbb {R}$ . Интуитивно эти классы символов обобщают понятие положительно однородных функций степени $m$ . Как и в случае с фазовой функцией $\phi$ , в некоторых случаях функция $a$ считается принадлежащим к более общим или просто различным классам.

Когда $m<-N$ , формальный интеграл, определяющий $f(x)$ сходится для всех $x$ , и нет необходимости в дальнейшем обсуждении определения понятия $f(x)$ . Однако, когда $m\geq -N$ , осциллирующий интеграл по-прежнему определяется как распределение по $\mathbb {R} ^{n}$ , хотя интеграл может и не сходиться. В этом случае распределение $f(x)$ определяется с использованием того факта, что $a(x,\xi )\in S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})$ можно аппроксимировать функциями, имеющими экспоненциальное затухание по $\xi$ . Один из возможных способов сделать это — установить

f(x)=\lim \limits _{\epsilon \to 0^{+}}\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )e^{-\epsilon |\xi |^{2}/2}\,\mathrm {d} \xi ,

где предел взят в смысле умеренных распределений . Используя интегрирование по частям, можно показать, что этот предел корректно определен и существует дифференциальный оператор $L$ такое, что полученное распределение $f(x)$ действуя на любой $\psi$ в пространстве Шварца определяется выражением

\langle f,\psi \rangle =\int e^{i\phi (x,\xi )}L{\big (}a(x,\xi )\,\psi (x){\big )}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} \xi ,

где этот интеграл сходится абсолютно. Оператор $L$ не определено однозначно, но может быть выбрано таким образом, чтобы зависеть только от фазовой функции $\phi$ , порядок $m$ символа $a$ , и $N$ . Действительно, для любого целого числа $M$ , можно найти оператора $L$ так что указанное выше подынтегральное выражение ограничено $C(1+|\xi |)^{-M}$ для $|\xi |$ достаточно большой. Это основная цель определения классов символов.

Примеры

Многие знакомые распределения можно записать в виде осциллирующих интегралов.

подразумевает Теорема обращения Фурье , что дельта-функция , $\delta (x)$ равно

{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }\,\mathrm {d} \xi .

Если мы применим первый метод определения этого осциллирующего интеграла сверху, а также преобразование Фурье гауссианы : , мы получим хорошо известную последовательность функций, аппроксимирующих дельта-функцию

\delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }e^{-\varepsilon |\xi |^{2}/2}\mathrm {d} \xi =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{({\sqrt {2\pi \varepsilon }})^{n}}}e^{-|x|^{2}/(2\varepsilon )}.

Оператор $L$ в данном случае определяется, например,

L={\frac {(1-\Delta _{x})^{k}}{(1+|\xi |^{2})^{k}}},

где $\Delta _{x}$ является лапласианом относительно $x$ переменные и $k$ любое целое число больше, чем $(n-1)/2$ . Действительно, с этим $L$ у нас есть

\langle \delta ,\psi \rangle =\psi (0)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }L(\psi )(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} x,

и этот интеграл сходится абсолютно.

Ядро Шварца любого дифференциального оператора можно записать в виде осциллирующего интеграла. Действительно, если

L=\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)D^{\alpha },

где $D^{\alpha }=\partial _{x}^{\alpha }/i^{|\alpha |}$ , то ядро $L$ дается

{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\xi \cdot (x-y)}\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)\,\xi ^{\alpha }\,\mathrm {d} \xi .

Связь с лагранжевыми распределениями

Любое лагранжево распределение ^{[ нужны разъяснения ]} могут быть локально представлены осциллирующими интегралами, см. Хёрмандер (1983) . И наоборот, любой осциллирующий интеграл представляет собой лагранжево распределение. Это дает точное описание типов распределений, которые могут быть представлены в виде осциллирующих интегралов.

См. также

Ссылки

Хёрмандер , Ларс (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных IV , Springer-Verlag, ISBN 0-387-13829-3
Хёрмандер , Ларс (1971), «Интегральные операторы Фурье I», Acta Math. , 127 : 79–183, doi : 10.1007/bf02392052