Лемма Ван дер Корпута (гармонический анализ)

В математике , в области гармонического анализа , лемма Ван дер Корпута представляет собой оценку осциллирующих интегралов назван в честь голландского математика Й. Г. ван дер Корпута .

Следующий результат сформулирован Э. Штейном :

Предположим, что вещественная функция $\phi (x)$ является гладким на открытом интервале $(a,b)$,и это $|\phi ^{(k)}(x)|\geq 1$ для всех $x\in (a,b)$.Предположим, что либо $k\geq 2$, или это $k=1$ и $\phi '(x)$ является монотонным для $x\in \mathbb {R}$.Тогда есть константа $c_{k}$, что не зависит от $\phi$,такой, что

${\bigg |}\int _{a}^{b}e^{i\lambda \phi (x)}{\bigg |}\leq c_{k}\lambda ^{-1/k}$

для любого $\lambda \in \mathbb {R}$.

Оценки набора подуровней

Лемма Ван дер Корпута тесно связана с оценками множества подуровней : которые дают верхнюю оценку меры множествагде функция принимает значения не более $\epsilon$.

Предположим, что вещественная функция $\phi (x)$ гладкийна конечном или бесконечном интервале $I\subset \mathbb {R}$,и это $|\phi ^{(k)}(x)|\geq 1$ для всех $x\in I$.Существует постоянная $c_{k}$, что не зависит от $\phi$,такой, чтодля любого $\epsilon \geq 0$мера множества подуровней $\{x\in I:|\phi (x)|\leq \epsilon \}$ограничен $c_{k}\epsilon ^{1/k}$.