Распределение (теория чисел)

В алгебре и теории чисел распределение — это функция системы конечных множеств в абелевой группе , аналогичная интегралу: таким образом, это алгебраический аналог распределения в смысле обобщенной функции .

Оригинальные примеры распределений встречаются без названия как функции φ на Q / Z, удовлетворяющие

$\sum _{r=0}^{N-1}\phi \left(x+{\frac {r}{N}}\right)=\phi (Nx)\ .$

Такие распределения называются обычными распределениями. Они также встречаются в теории p -адической интеграции в теории Ивасавы .

Пусть ... → X _{n +1} → X _n → ... — проективная система конечных множеств с сюръекциями, индексированными натуральными числами, и пусть X — их проективный предел . Мы задаем каждому X _n дискретную топологию так что X компактно . , Пусть φ = (φ _n ) — семейство функций на X _n, принимающих значения в абелевой группе V и совместимых с проективной системой:

$w(m,n)\sum _{y\mapsto x}\phi (y)=\phi (x)$

для некоторой весовой функции w . Тогда семейство φ является распределением проективной системы X .

Функция f на X является «локально постоянной» или «ступенчатой ​​функцией», если она учитывает некоторый X _n . Мы можем определить интеграл от ступенчатой ​​функции по φ как

$\int f\,d\phi =\sum _{x\in X_{n}}f(x)\phi _{n}(x)\ .$

Определение распространяется на более общие проективные системы, например, системы, индексированные положительными целыми числами, упорядоченными по делимости. В качестве важного частного случая рассмотрим проективную систему Z / n ‌ Z, индексированную целыми положительными числами, упорядоченными по делимости. Мы отождествляем это с системой (1/ n ) Z / Z с пределом Q / Z .

Для x в R мы обозначаем ⟨ x ⟩ дробную часть x , нормализованную до 0 ≤ ⟨ x ⟩ < 1, и пусть { x } обозначаем дробную часть, нормированную до 0 < { x } ≤ 1.

Примеры

Дзета-функция Гурвица

Теорема умножения для дзета-функции Гурвица

$\zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }(n+a)^{-s}$

дает отношение распределения

$\sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa)\ .$

Следовательно, для данного s отображение $t\mapsto \zeta (s,\{t\})$ является распределением на Q / Z .

Распределение Бернулли

Напомним, что полиномы Бернулли B _n определяются формулой

$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose n-k}b_{k}x^{n-k}\ ,$

для n ≥ 0, где bk _— числа Бернулли , с производящей функцией

${\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\ .$

Они удовлетворяют соотношению распределения

$B_{k}(x)=n^{k-1}\sum _{a=0}^{n-1}b_{k}\left({\frac {x+a}{n}}\right)\ .$

Таким образом, карта

$\phi _{n}:{\frac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q}$

определяется

$\phi _{n}:x\mapsto n^{k-1}B_{k}(\langle x\rangle )$

является распределением.

Циклотомные единицы

Круговые единицы удовлетворяют распределительным отношениям . Пусть a — элемент Q / Z , простой с p , и пусть g _a обозначает exp(2πi a )−1. Тогда при a ≠ 0 имеем

$\prod _{pb=a}g_{b}=g_{a}\ .$

Универсальное распространение

Рассматриваются распределения на Z со значениями в некоторой абелевой группе V и ищут «универсальное» или наиболее общее возможное распределение.

Распределения Стикельбергера

Пусть h — обычное распределение на Q / Z принимающее значения в поле F. , Пусть G ( N ) обозначает мультипликативную группу Z / N ‌ Z , и для любой функции f на G ( N ) мы расширяем f до функции на Z / N ‌ Z, принимая f равной нулю вне G ( N ). Определим элемент групповой алгебры F [ G ( N )] формулой

$g_{N}(r)={\frac {1}{|G(N)|}}\sum _{a\in G(N)}h\left({\left\langle {\frac {ra}{N}}\right\rangle }\right)\sigma _{a}^{-1}\ .$

Групповые алгебры образуют проективную систему с X. пределом Тогда функции g _N образуют распределение на Q / Z со значениями в X , распределение Стикельбергера, связанное с h .

p-адические меры

Рассмотрим особый случай, когда группа значений , или , в более общем смысле , _{V распределения φ на X принимает значения в локальном поле K, конечном над Qp} в конечномерном поле. p -адическое банахово пространство W над K со нормированием |·|. Назовем φ мерой, если |φ| ограничено на компактных открытых подмножествах X . Пусть D — кольцо целых чисел K , а L решетка в W , т. е. свободный D -подмодуль W , причем K ⊗ L = W. — Вплоть до масштабирования можно принять меру, чтобы иметь значения в L .

и

Пусть D — фиксированное целое число, простое число, равное p, и рассмотрим Z _D , предел системы Z / p ^н Д. . Consider any Рассмотрим любую собственную функцию оператора Гекке T ^п с собственным значением λ _p, простым с p . Опишем процедуру получения меры Z _D .

Зафиксируйте целое число N, простое с p и с D . Пусть F — D -модуль всех функций на рациональных числах со знаменателем, взаимно простым N. с Для любого простого числа l, не делящего N, определим оператор Гекке T _l формулой

$(T_{l}f)\left({\frac {a}{b}}\right)=f\left({\frac {la}{b}}\right)+\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {a+kb}{lb}}\right)-\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {k}{l}}\right)\ .$

Пусть f — собственная функция T _p с собственным значением λ _p в D . Квадратное уравнение X ² − λ _p X + p = 0 имеет корни π ₁ , π _2, где π ₁ единица и π ₂ делится на p . Определим последовательность a ₀ = 2, a ₁ = π ₁ +π ₂ = λ _p и

$a_{k+2}=\lambda _{p}a_{k+1}-pa_{k}\ ,$

так что

$a_{k}=\pi _{1}^{k}+\pi _{2}^{k}\ .$

Ссылки

• Куберт, Дэниел С .; Ланг, Серж (1981). Модульные агрегаты . Основные принципы математических наук. Том 244. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-90517-0 . Збл   0492.12002 .
• Ланг, Серж (1990). Циклотомные поля I и II . Тексты для аспирантов по математике . Том. 121 (второе объединенное изд.). Спрингер Верлаг . ISBN  3-540-96671-4 . Збл   0704.11038 .
• Мазур, Б. ; Суиннертон-Дайер, П. (1974). «Арифметика кривых Вейля». Математические изобретения . 25 : 1–61. дои : 10.1007/BF01389997 . Збл   0281.14016 .