Циклотомная единица

В математике круговая единица (или круговая единица ) — это единица поля алгебраических чисел , которая является произведением чисел вида (ζ ^а
_n − 1) для ζ
_н и н ^й корень из единицы и 0 < a < n .

Характеристики

Круговые единицы образуют подгруппу конечного индекса в группе единиц кругового поля . Индекс этой подгруппы вещественных круговых единиц (тех круговых единиц в максимальном вещественном подполе) внутри полной группы вещественных единиц равен номеру класса максимального вещественного подполя кругового поля .

• Если n — степень простого числа, то ζ ^а
  _n − 1 не является единицей; однако числа (ζ ^а
  _п - 1)/(г
  _n - 1) для ( a , n ) = 1 и ±ζ ^а
  _n порождают группу круговых единиц.

• Если n — составное число, имеющее два или более различных простых делителей, то ζ ^а
  _n − 1 — единица. Подгруппа круговых единиц, порожденная (ζ ^а
  _п - 1)/(г
  _n − 1) с ( a , n ) = 1, вообще говоря, не имеет конечного индекса.

Круговые единицы удовлетворяют распределительным отношениям . Пусть a — рациональное число, простое с p , и пусть g _a обозначает exp(2 πia ) − 1 . Тогда при a ≠ 0 имеем ${\textstyle \prod _{pb=a}g_{b}=g_{a}}$.

Используя эти соотношения распределения и соотношение симметрии ζ ^а
_п - 1 = -г ^а
_п (г ^{− а}
_n − 1) базис B _n круговых единиц может быть построен таким образом, что B _d ⊆ B _n для d | н .

См. также

• Эллиптический блок
• Модульный блок

Ссылки

• Ланг, Серж (1990). Циклотомные поля I и II . Тексты для аспирантов по математике . Том. 121 (второе объединенное изд.). Спрингер Верлаг . ISBN  3-540-96671-4 . Збл   0704.11038 .
• Наркевич, Владислав (1990). Элементарная и аналитическая теория чисел (Второе, существенно переработанное и расширенное изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-51250-0 . Збл   0717.11045 .
• Вашингтон, Лоуренс К. (1997). Введение в циклотомные поля . Тексты для аспирантов по математике. Том. 83 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-94762-0 . Збл   0966.11047 .