Эллиптический блок

В математике построенных эллиптические единицы — это определенные единицы абелевых расширений мнимых квадратичных полей, с использованием сингулярных значений модулярных функций или значений деления эллиптических функций . Они были представлены Жилем Робером в 1973 году и использовались Джоном Коутсом и Эндрю Уайлсом в их работе над гипотезой Бёрча и Суиннертона-Дайера . Эллиптические единицы являются аналогом мнимых квадратичных полей круговых единиц . Они образуют пример системы Эйлера .

Определение

можно построить систему эллиптических единиц Для эллиптической кривой E с комплексным умножением на кольцо целых чисел R мнимого квадратичного поля F . Для простоты предположим, что F имеет класс номер один. Пусть a — идеал кольца R с образующим α. Для Вейерштрасса E модели определите

$\Theta _{\mathbf {a} }(P)=\alpha ^{-12}\Delta _{E}^{N\mathbf {a} -1}\prod _{\mathbf {a} P=0,P\neq 0}(x-x(P))^{-6}\ .$

где P — точка на E , Δ — дискриминант, а x — координата X в модели Вейерштрасса. Функция Θ не зависит от выбора модели и определена в области определения E .

Характеристики

Пусть b — идеал кольца R, взаимно простой с a , а Q — R -образователь b -кручения. Тогда Θ _a ( Q ) определяется над полем классов лучей K ( b ), и если b не является степенью простого числа, то Θ _a ( Q ) является глобальной единицей: если b является степенью простого числа p , то Θ _a ( Q ) находится на единицу дальше от p .

Функция Θ _a удовлетворяет соотношению распределения для b = (β), взаимно простого с a :

$\prod _{\mathbf {b} Q=0}\Theta _{\mathbf {a} }(P+R)=\Theta _{\mathbf {a} }(\beta P)\ .$

См. также

• Модульный блок

Ссылки

• Коутс, Дж. Х. ; Гринберг, Р.; Рибет, Калифорния ; Рубин, К. (1999). Арифметическая теория эллиптических кривых . Конспект лекций по математике. Том. 1716. Шпрингер-Верлаг . ISBN  3-540-66546-3 .
• Коутс, Джон ; Уайлс, Эндрю (1977). «О гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера». Математические изобретения . 39 (3): 223–251. дои : 10.1007/BF01402975 . Збл   0359.14009 .
• Куберт, Дэниел С.; Ланг, Серж (1981). Модульные агрегаты . Основные принципы математических наук. Том 244. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90517-4 . МР   0648603 . Збл   0492.12002 .
• Робер, Жиль Эллиптические агрегаты. (Эллиптические единицы) Bull. Соц. Математика. Франция, Доп. Память № 36. Бык. Соц. Математика. Франция, Том 101. Société Mathématique de France, Париж, 1973. 77 стр.