система Эйлера

В математике система Эйлера представляет собой совокупность совместимых элементов групп когомологий Галуа, индексированных полями . Они были введены Колывагиным ( 1990 ) в его работе о точках Хигнера на модульных эллиптических кривых , которая была мотивирована его более ранней статьей Колывагиным (1988) и работой Тейна (1988) . Системы Эйлера названы в честь Леонарда Эйлера, потому что факторы, связывающие различные элементы системы Эйлера, напоминают факторы Эйлера произведения Эйлера .

Системы Эйлера можно использовать для построения аннуляторов групп идеальных классов или групп Сельмера , давая тем самым границы их порядков, что, в свою очередь, привело к глубоким теоремам, таким как конечность некоторых групп Тейта-Шафаревича . Это привело к Карлом Рубином новому доказательству основной гипотезы теории Ивасавы , которое считается более простым, чем первоначальное доказательство, предложенное Барри Мазуром и Эндрю Уайлсом .

Определение

Хотя существует несколько определений особых видов системы Эйлера, похоже, не существует опубликованного определения системы Эйлера, которое охватывало бы все известные случаи. Но грубо сказать, что такое система Эйлера, можно так:

• Система Эйлера задается набором элементов c _F . Эти элементы часто индексируются определенными числовыми полями F, содержащими некоторое фиксированное числовое поле K , или чем-то тесно связанным, например, целыми числами без квадратов. Элементы c _F обычно являются элементами некоторой группы когомологий Галуа, такой как H ¹ ( F , T ) где T p -адическое представление абсолютной группы Галуа группы K .
• Наиболее важным условием является то, что элементы c _F и c _G для двух разных полей F ⊆ G связаны простой формулой, например:

${\rm {cor}}_{G/F}(c_{G})=\prod _{q\in \Sigma (G/F)}P(\mathrm {Fr} _{q}^{-1}|{\rm {Hom}}_{O}(T,O(1));\mathrm {Fr} _{q}^{-1})c_{F}$

Здесь «фактор Эйлера» P (τ| B ; x ) определяется как элемент det(1-τ x | B ), рассматриваемый как элемент O[ x ], который, когда x действует на B, не является элементом то же самое, что det(1-τ x | B ), рассматриваемый как элемент O.

• Могут существовать и другие условия, которым c _F должен удовлетворять, например, условия конгруэнтности.

Казуя Като называет элементы системы Эйлера «арифметическими воплощениями дзета» и описывает свойство системы Эйлера как «арифметическое отражение того факта, что эти воплощения связаны с особыми значениями произведений Эйлера».

Примеры

Циклотомные единицы

без квадратов Для каждого положительного целого числа n выберите n корень ζ _{-й степени} из 1, причем ζ _mn = ζ _m ζ _n для m , n взаимно простых чисел. Тогда круговая система Эйлера — это набор чисел α _{п знак} равно 1 - ζ _п . Они удовлетворяют отношениям

$N_{Q(\zeta _{nl})/Q(\zeta _{l})}(\alpha _{nl})=\alpha _{n}^{F_{l}-1}$

$\alpha _{nl}\equiv \alpha _{n}$ по модулю всех простых чисел выше l

где l — простое число, не делящее n , а F _l — автоморфизм Фробениуса с F _l (ζ _n ) = ζ ^л
_н .Колывагин использовал эту систему Эйлера для элементарного доказательства гипотезы Граса .

Очки Хигнера

Колывагин построил систему Эйлера из точек Хегнера эллиптической кривой и использовал ее, чтобы показать, что в некоторых случаях группа Тейта-Шафаревича конечна.

Система Эйлера Като

Система Эйлера Като состоит из определенных элементов, встречающихся в алгебраической К-теории модулярных кривых . Эти элементы, названные элементами Бейлинсона в честь Александра Бейлинсона , который представил их в Beilinson (1984) , были использованы Казуей Като в Kato (2004) Барри Мазура для доказательства одной делимости в основной гипотезе теории Ивасавы для эллиптических кривых .

Ссылки

• Банашак, Гжегож (2001) [1994], «Системы Эйлера для числовых полей» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Бейлинсон, Александр (1984), «Высшие регуляторы и значения L-функций», в Р. В. Гамкрелидзе (ред.), Современные проблемы математики (на русском языке), вып. 24, стр. 181–238, МР   0760999.
• Коутс, Дж. Х. ; Гринберг, Р.; Рибет, Калифорния ; Рубин, К. (1999), Арифметическая теория эллиптических кривых , Конспект лекций по математике, том. 1716, Шпрингер-Верлаг , ISBN  3-540-66546-3
• Коутс, Дж .; Суджата, Р. (2006), «Системы Эйлера», Циклотомные поля и дзета-значения , Монографии Springer по математике, Springer-Verlag, стр. 71–87, ISBN  3-540-33068-2
• Като, Казуя (2004), « p -адическая теория Ходжа и значения дзета-функций модулярных форм», у Пьера Бертло; Жан-Марк Фонтен; Люк Иллюзи; Казуя Като; Майкл Рапопорт (ред.), P-адические когомологии и арифметические приложения. III. , Астериск, том. 295, Париж: Математическое общество Франции, стр. 117–290, МР   2104361
• Като, Казуя (2007), «Теория Ивасавы и обобщения», в Марте Санс-Соле ; Хавьер Сориа; Хуан Луис Варона; и др. (ред.), Международный конгресс математиков (PDF) , том. Я, Цюрих: Европейское математическое общество, стр. 335–357, MR   2334196 , получено 12 августа 2010 г. Материалы конгресса, состоявшегося в Мадриде 22–30 августа 2006 г.
• Kolyvagin, V. A. (1988), "The Mordell-Weil and Shafarevich-Tate groups for Weil elliptic curves", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 52 (6): 1154–1180, ISSN  0373-2436 , MR  0984214
• Колывагин В.А. (1990), "Системы Эйлера", The Grothendieck Festschrift, Vol. II , прогр. Матем., вып. 87, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 435–483, doi : 10.1007/978-0-8176-4575-5_11 , ISBN.  978-0-8176-3428-5 , МР   1106906
• Мазур, Барри ; Рубин, Карл (2004), «Системы Колывагина» , Мемуары Американского математического общества , 168 (799): viii+96 , doi : 10.1090/memo/0799 , ISBN  978-0-8218-3512-8 , ISSN   0065-9266 , МР   2031496
• Рубин, Карл (2000), Системы Эйлера , Анналы математических исследований, том. 147, Издательство Принстонского университета , MR   1749177
• Шолль, AJ (1998), «Введение в системы Эйлера Като», представления Галуа в арифметической алгебраической геометрии (Дарем, 1996) , London Math. Соц. Лекционная конспект. Сер., т. 1, с. 254, Cambridge University Press , стр. 379–460, ISBN.  978-0-521-64419-8 , МР   1696501
• Тейн, Франциско (1988), «Об идеальных группах классов действительных абелевых числовых полей» , Annals of Mathematics , Second Series, 128 (1): 1–18, doi : 10.2307/1971460 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1971460 , МР   0951505

Внешние ссылки

• Несколько статей о системах Колывагина доступны на веб-странице Барри Мазура. Архивировано 17 мая 2011 г. на Wayback Machine (по состоянию на июль 2005 г.).