произведение Эйлера

В теории чисел произведение Эйлера представляет собой разложение ряда Дирихле в бесконечное произведение, индексированное простыми числами . Исходное такое произведение было дано как сумма всех положительных целых чисел, возведенных в определенную степень, как доказал Леонард Эйлер . Этот ряд и его продолжение на всю комплексную плоскость позже стали известны как дзета-функция Римана .

Определение

В общем случае, если a — ограниченная мультипликативная функция , то ряд Дирихле

$\sum _{n}{\frac {a(n)}{n^{s}}}\,$

равно

$\prod _{p}P(p,s)\quad {\text{for }}\operatorname {Re} (s)>1.$

где произведение берется по простым числам p , а P ( p , s ) — сумма

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a(p^{k})}{p^{ks}}}=1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+{\frac {a(p^{3})}{p^{3s}}}+\cdots$

Фактически, если мы рассматриваем их как формальные производящие функции , существование такого формального разложения произведения Эйлера является необходимым и достаточным условием того, что a ( n ) является мультипликативным: это точно говорит о том, что a ( n ) является продуктом a ( п ^к ) всякий раз, когда n делит на произведение степеней p ^к различных простых чисел p .

Важным частным случаем является случай, когда a ( n ) , полностью мультипликативен так что P ( p , s ) является геометрической прогрессией . Затем

$P(p,s)={\frac {1}{1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}}},$

как и в случае с дзета-функцией Римана , где a ( n ) = 1 , и, в более общем плане, с характерами Дирихле .

Конвергенция

На практике все важные случаи таковы, что бесконечные ряды и разложения в бесконечные произведения абсолютно сходятся в некоторой области.

$\operatorname {Re} (s)>C,$

то есть в некоторой правой полуплоскости в комплексных числах . Это уже дает некоторую информацию, так как бесконечное произведение для сходимости должно давать ненулевое значение; следовательно, функция, заданная бесконечным рядом, не равна нулю в такой полуплоскости.

В теории модулярных форм здесь типично иметь произведения Эйлера с квадратичными многочленами в знаменателе. Общая философия Ленглендса включает сопоставимое объяснение связи многочленов степени m и теорию представления для GL _m .

Примеры

В следующих примерах будет использоваться обозначение $\mathbb {P}$ для множества всех простых чисел, то есть:

$\mathbb {P} =\{p\in \mathbb {N} \,|\,p{\text{ is prime}}\}.$

Произведение Эйлера, присоединенное к дзета-функции Римана ζ ( s ) , также использующее сумму геометрической прогрессии, равно

${\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)&=\prod _{p\ \in \ \mathbb {P} }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{ks}}}\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s).\end{aligned}}$

а для функции Лиувилля λ ( n ) = (−1) ^{ω ( п )} , это

$\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.$

Используя обратные величины, два произведения Эйлера для функции Мёбиуса μ ( n ) равны

$\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}$

и

$\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}.$

Взяв соотношение этих двух, получим

$\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1+{\frac {1}{p^{s}}}}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}\right)={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}.$

Поскольку для четных значений s дзета-функция Римана ζ ( s ) имеет аналитическое выражение через рациональное кратное π ^с , то для четных показателей это бесконечное произведение будет иметь рациональное число. Например, поскольку ζ (2) = ⁠ π ² / 6 ⁠ , ζ (4) = ⁠ π ⁴ / 90 ⁠ и ζ (8) = ⁠ π ⁸ / 9450 ⁠ , тогда

${\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}\right)&={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {10}{8}}\cdot {\frac {26}{24}}\cdot {\frac {50}{48}}\cdot {\frac {122}{120}}\cdots &={\frac {\zeta (2)^{2}}{\zeta (4)}}&={\frac {5}{2}},\\[6pt]\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{4}+1}{p^{4}-1}}\right)&={\frac {17}{15}}\cdot {\frac {82}{80}}\cdot {\frac {626}{624}}\cdot {\frac {2402}{2400}}\cdots &={\frac {\zeta (4)^{2}}{\zeta (8)}}&={\frac {7}{6}},\end{aligned}}$

и так далее, с первым результатом, известным Рамануджану . Это семейство бесконечных произведений также эквивалентно

$\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {2}{p^{s}}}+{\frac {2}{p^{2s}}}+\cdots \right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}},$

где ω ( n ) подсчитывает количество различных простых множителей числа n , а 2 ^{ω ( п )} — количество безквадратных делителей.

Если χ ( n ) является характером Дирихле проводника N , так что χ полностью мультипликативен и χ ( n ) зависит только от n mod N , и χ ( n ) = 0 , если n не взаимно просто с N , то

$\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.$

Здесь удобно опустить штрихи р, отделяющие проводник N от произведения. В своих записных книжках Рамануджан обобщил произведение Эйлера для дзета-функции как

$\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(x-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\approx {\frac {1}{\operatorname {Li} _{s}(x)}}$

для s > 1 , где Li _s ( x ) — полилогарифм . Для x = 1 приведенное выше произведение просто ⁠ 1 / ζ ( s ) ⁠ .

Известные константы

Многие известные константы имеют разложение в произведение Эйлера.

Формула Лейбница для π

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots$

можно интерпретировать как ряд Дирихле с использованием (уникального) символа Дирихле по модулю 4 и преобразовать в произведение Эйлера сверхчастных отношений (дробей, в которых числитель и знаменатель отличаются на 1):

${\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,$

где каждый числитель — простое число, а каждый знаменатель — ближайшее число, кратное 4.

Другие произведения Эйлера для известных констант включают:

• Константа простых чисел-близнецов Харди – Литтлвуда :

$\prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=0.660161...$

• Константа Ландау –Рамануджана :

${\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}&=0.764223...\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=0.764223...\end{aligned}}$

• Константа Мураты (последовательность A065485 в OEIS ):

$\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=2.826419...$

• Сильно беззаботная константа × ζ (2) ² ОЭИС : A065472 :

$\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{\left(p+1\right)^{2}}}\right)=0.775883...$

• Постоянная Артина OEIS : A005596 :

$\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.373955...$

• Константа Ландау OEIS : A082695 :

$\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.943596...$

• Константа беззаботности × ζ (2) OEIS : A065463 :

$\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p+1)}}\right)=0.704442...$

и соответствующий ему OEIS : A065489 :

$\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}+p-1}}\right)=1.419562...$

• Константа Феллера -Торнье OEIS : A065493 :

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\prod _{p}\left(1-{\frac {2}{p^{2}}}\right)=0.661317...$

• Квадратичная константа номера класса OEIS : A065465 :

$\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}(p+1)}}\right)=0.881513...$

• Общая суммативная константа OEIS : A065483 :

$\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784...$

• Константа истории OEIS : A065476 : .

$\prod _{p>2}\left(1-{\frac {p+2}{p^{3}}}\right)=0.723648...$

• Беззаботная константа OEIS : A065464 :

$\prod _{p}\left(1-{\frac {2p-1}{p^{3}}}\right)=0.428249...$

• Сильно беззаботная константа OEIS : A065473 :

$\prod _{p}\left(1-{\frac {3p-2}{p^{3}}}\right)=0.286747...$

• Постоянная Стивенса OEIS : A065478 :

$\prod _{p}\left(1-{\frac {p}{p^{3}-1}}\right)=0.575959...$

• Постоянная Барбана OEIS : A175640 :

$\prod _{p}\left(1+{\frac {3p^{2}-1}{p(p+1)\left(p^{2}-1\right)}}\right)=2.596536...$

• Танигучи Постоянная OEIS : A175639 :

$\prod _{p}\left(1-{\frac {3}{p^{3}}}+{\frac {2}{p^{4}}}+{\frac {1}{p^{5}}}-{\frac {1}{p^{6}}}\right)=0.678234...$

• Константа Хита -Брауна и Мороза OEIS : A118228 :

$\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{7}\left(1+{\frac {7p+1}{p^{2}}}\right)=0.0013176...$

Ссылки

• Г. Пойя , Индукция и аналогия в математике, том 1 , Princeton University Press (1954), LC Card 53-6388 (очень доступный английский перевод мемуаров Эйлера об этом «самом необычном законе чисел» появляется, начиная со страницы 91)
• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , MR   0434929 , Zbl   0335.10001 (Вводное обсуждение произведения Эйлера в контексте классической теории чисел.)
• Г.Х. Харди и Э.М. Райт , Введение в теорию чисел , 5-е изд., Оксфорд (1979). ISBN   0-19-853171-0 (в главе 17 приведены дополнительные примеры).
• Джордж Э. Эндрюс, Брюс К. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть I , Springer (2005), ISBN   0-387-25529-X
• Г. Никлаш, Некоторые теоретические константы: 1000-значные значения»

Внешние ссылки

• В эту статью включены материалы из продукта Euler на PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Степанов С.А. (2001) [1994], «Произведение Эйлера» , Математическая энциклопедия , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Произведение Эйлера» . Математический мир .
• Никлаш, Г. (23 августа 2002 г.). «Некоторые теоретико-числовые константы» . Архивировано из оригинала 12 июня 2006 года.