Константа Ландау – Рамануджана

В математике и теории чисел константа Ландау –Рамануджана — это положительное действительное число b , которое встречается в теореме, доказанной Эдмундом Ландау в 1908 году: заявив, что для большого $x$, количество натуральных чисел ниже $x$ которые представляют собой сумму двух квадратных чисел, ведет себя асимптотически как

${\dfrac {bx}{\sqrt {\log(x)}}}.$

Эта константа b была вновь открыта в 1913 году Шринивасой Рамануджаном , в первом письме, которое он написал Г.Х. Харди .

Суммы двух квадратов

По теореме о сумме двух квадратов числа, которые могут быть выражены как сумма двух квадратов целых чисел, - это числа, для которых каждое простое число, соответствующее 3 по модулю 4, появляется с четным показателем степени в их простой факторизации . Например, 45 = 9 + 36 — сумма двух квадратов; в простой факторизации 3 ² × 5, простое число 3 появляется с четным показателем, а простое число 5 конгруэнтно 1 по модулю 4, поэтому его показатель может быть нечетным.

Теорема Ландау утверждает, что если $N(x)$ количество натуральных чисел меньше, чем $x$ это сумма двух квадратов, то

$\lim _{x\rightarrow \infty }\ \left({\dfrac {N(x)}{\dfrac {x}{\sqrt {\log(x)}}}}\right)=b\approx 0.764223653589220662990698731250092328116790541$ (последовательность A064533 в OEIS ),

где $b$ – константа Ландау–Рамануджана.

Константу Ландау-Рамануджана также можно записать в виде бесконечного произведения: ${\begin{aligned}b&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-1/2}\\&={\frac {\pi }{4}}\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{1/2}.\end{aligned}}$

История

Эта константа была сформулирована Ландау в предельной форме выше; Вместо этого Рамануджан приблизился $N(x)$ как интеграл, с той же константой пропорциональности и с медленно растущей погрешностью.