Теорема о сумме двух квадратов

Целые числа, удовлетворяющие теореме о сумме двух квадратов, представляют собой квадраты возможных расстояний между целочисленными точками решетки; показаны значения до 100, при этом

•	Квадраты (и, следовательно, целые расстояния) выделены красным цветом и
•	Неуникальные представления (вплоть до вращения и отражения) выделены жирным шрифтом.

В теории чисел теорема о сумме двух квадратов связывает на простое разложение любого целого числа n > 1 число с тем, можно ли его записать в виде суммы двух квадратов , так что n = a ² + б ² для некоторых целых чисел a , b .

Целое число больше единицы можно записать в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда его простое разложение не содержит множителя p. ^к , где простое число $p\equiv 3{\pmod {4}}$ и k нечетно ​ .

При записи числа в виде суммы двух квадратов допускается, чтобы один из квадратов был равен нулю или оба были равны друг другу, поэтому в числа, которые можно быть представлены таким образом. Эта теорема дополняет теорему Ферма о суммах двух квадратов , которая говорит, когда простое число может быть записано как сумма двух квадратов, поскольку она также охватывает случай составных чисел .

Число может иметь несколько представлений в виде суммы двух квадратов, подсчитываемой функцией суммы квадратов ; например, каждая пифагорова тройка $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ дает второе представление для $c^{2}$ за пределами тривиального представления $c^{2}+0^{2}$.

Примеры

Простое разложение числа 2450 имеет вид 2450 = 2 · 5. ²  · 7 ² . Из простых чисел, встречающихся в этом разложении, 2, 5 и 7, только 7 конгруэнтно 3 по модулю 4. Его показатель в разложении 2 четен . Следовательно, теорема утверждает, что оно выражается как сумма двух квадратов. Действительно, 2450 = 7 ² + 49 ² .

Простое разложение числа 3430 равно 2 · 5 · 7. ³ . На этот раз показатель степени 7 в разложении равен 3, нечетному числу. Значит, 3430 нельзя записать в виде суммы двух квадратов.

Представительные числа

Числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов, образуют целочисленную последовательность

0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, ...

Они образуют набор всех норм гауссовских целых чисел ; их квадратные корни образуют набор всех длин отрезков между парами точек в двумерной целочисленной решетке .

Количество представимых чисел в диапазоне от 0 до любого числа. $n$ пропорционально ${\frac {n}{\sqrt {\log n}}}$, с предельной константой пропорциональности, определяемой константой Ландау-Рамануджана , примерно 0,764.

Произведение любых двух представимых чисел является другим представимым числом. Его представление может быть получено из представлений двух его факторов, используя тождество Брахмагупты-Фибоначчи .

Теорема Якоби о двух квадратах

Теорема о двух квадратах Якоби гласит:

Число представлений n в виде суммы двух квадратов в четыре раза превышает разницу между количеством делителей n, совпадающих с 1 по модулю 4, и количеством делителей n, совпадающих с 3 по модулю 4.

Хиршхорн дает краткое доказательство, полученное на основе тройного произведения Якоби .

См. также

• Теорема Лежандра о трёх квадратах
• Теорема Лагранжа о четырех квадратах
• Функция суммы квадратов
• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи