Тройное произведение Якоби

В математике тройное произведение Якоби представляет собой тождество:

$\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n},$

для комплексных чисел x и y , с | х | < 1 и y ≠ 0. Оно было введено Якоби ( 1829 ) в его работе Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum .

Тождество тройного произведения Якоби — это Макдональда для аффинной системы корней типа A1 _{тождество} и формула знаменателя Вейля для соответствующей аффинной алгебры Каца–Муди .

Характеристики

Доказательство Якоби основано на теореме Эйлера о пятиугольных числах , которая сама по себе является частным случаем тождества тройного произведения Якоби.

Позволять $x=q{\sqrt {q}}$ и $y^{2}=-{\sqrt {q}}$. Тогда у нас есть

$\phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.$

Тождества Роджерса -Рамануджана следуют с $x=q^{2}{\sqrt {q}}$, $y^{2}=-{\sqrt {q}}$ и $x=q^{2}{\sqrt {q}}$, $y^{2}=-q{\sqrt {q}}$.

Тройное произведение Якоби также позволяет тета-функцию записать Якоби в виде бесконечного произведения следующим образом:

Позволять $x=e^{i\pi \tau }$ и $y=e^{i\pi z}.$

Тогда тэта-функция Якоби

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}$

можно записать в форме

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2}}.$

Используя тождество тройного произведения Якоби, тэта-функция может быть записана как произведение

$\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\right]\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].$

Для выражения тройного произведения Якоби используется множество различных обозначений. Он принимает краткую форму, если выражается через q символы -Похгаммера :

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;\left(-{\tfrac {1}{z}};q\right)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },$

где $(a;q)_{\infty }$ — бесконечный символ q -Похгаммера.

Оно приобретает особенно элегантную форму, когда выражается через тета-функцию Рамануджана . Для $|ab|<1$ это можно записать как

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)}{2}}=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.$

Доказательство

Позволять $f_{x}(y)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{-2}\right)$

Замена xy на y и умножение новых членов дает

$f_{x}(xy)={\frac {1+x^{-1}y^{-2}}{1+xy^{2}}}f_{x}(y)=x^{-1}y^{-2}f_{x}(y)$

С $f_{x}$ является мероморфным для $|y|>0$, у него есть ряд Лорана

$f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)y^{2n}$

который удовлетворяет

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)x^{2n+1}y^{2n}=xf_{x}(xy)=y^{-2}f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n+1}(x)y^{2n}$

так что

$c_{n+1}(x)=c_{n}(x)x^{2n+1}=\dots =c_{0}(x)x^{(n+1)^{2}}$

и, следовательно,

$f_{x}(y)=c_{0}(x)\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n}$

Оценка c ₀ ( x )

Показывая, что $c_{0}(x)=1$ (полином от x от $y^{0}$ ) является 1 техническим. Один из способов — установить $y=1$ и покажите числитель и знаменатель

${\frac {1}{c_{0}(e^{2i\pi z})}}={\frac {\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }e^{2i\pi n^{2}z}}{\prod \limits _{m=1}^{\infty }(1-e^{2i\pi mz})(1+e^{2i\pi (2m-1)z})^{2}}}$

весят 1/2 модульные под $z\mapsto -{\frac {1}{4z}}$, поскольку они также 1-периодичны и ограничены в верхней полуплоскости, частное должно быть постоянным, так что $c_{0}(x)=c_{0}(0)=1$.

Другие доказательства

Другое доказательство дает Дж. Э. Эндрюс, основанное на двух тождествах Эйлера.

Об аналитическом случае см. Апостол.

Ссылки

• Питер Дж. Кэмерон, Комбинаторика: темы, методы, алгоритмы , (1994) Издательство Кембриджского университета , ISBN   0-521-45761-0
• Якоби, CGJ (1829), Новые основы теории эллиптических функций (на латыни), Кенигсберг: Borntraeger, ISBN  978-1-108-05200-9 , Перепечатано издательством Cambridge University Press, 2012 г.
• Карлитц , Л. (1962), Заметка о тета-формуле Якоби , Американское математическое общество.
• Райт, Э.М. (1965), «Перечислительное доказательство личности Якоби», Журнал Лондонского математического общества , Лондонское математическое общество : 55–57, doi : 10.1112/jlms/s1-40.1.55