Формула характера Вейля

В математике формула характера Вейля в теории представлений описывает характеры неприводимых представлений компактных групп Ли через их старшие веса . Это доказал Герман Вейль ( 1925 , 1926а , 1926б ). Существует близкая формула для определения характера неприводимого представления полупростой алгебры Ли. В подходе Вейля к теории представлений связных компактных групп Ли доказательство формулы характера является ключевым шагом в доказательстве того, что каждый доминирующий целочисленный элемент на самом деле возникает как наивысший вес некоторого неприводимого представления. Важными следствиями формулы характера являются формула размерности Вейля и формула кратности Костанта .

По определению, персонаж $\chi$ представительства $\pi$ G ​ является следом ​ $\pi (g)$, как функция элемента группы $g\in G$. Все неприводимые представления в этом случае конечномерны (это часть теоремы Питера – Вейля ); поэтому понятие следа является обычным в линейной алгебре. Знание персонажа $\chi$ из $\pi$ дает много информации о $\pi$ сам.

Формула Вейля представляет собой замкнутую формулу характера $\chi$в терминах других объектов, построенных из G и ее алгебры Ли .

Формулировка формулы характера Вейля

Формула характера может быть выражена через представления комплексных полупростых алгебр Ли или через (по существу эквивалентную) теорию представлений компактных групп Ли .

Комплексные полупростые алгебры Ли

Позволять $\pi$ — неприводимое конечномерное представление комплексной полупростой алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$. Предполагать ${\mathfrak {h}}$ является подалгеброй картановской ${\mathfrak {g}}$. Характер $\pi$ тогда функция $\operatorname {ch} _{\pi }:{\mathfrak {h}}\rightarrow \mathbb {C}$ определяется

$\operatorname {ch} _{\pi }(H)=\operatorname {tr} (e^{\pi (H)}).$

Стоимость персонажа в $H=0$ это размерность $\pi$. Из элементарных соображений характер можно вычислить как

$\operatorname {ch} _{\pi }(H)=\sum _{\mu }m_{\mu }e^{\mu (H)}$,

где сумма колеблется по всем весам $\mu$ из $\pi$ и где $m_{\mu }$ это множественность $\mu$. (Предыдущее выражение иногда воспринимается как определение символа.)

Формула характера гласит что $\operatorname {ch} _{\pi }(H)$ также может быть вычислено как

$\operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}}$

где

• $W$ – группа Вейля ;
• $\Delta ^{+}$ – множество положительных корней корневой системы $\Delta$;
• $\rho$ — полусумма положительных корней, часто называемая вектором Вейля ;
• $\lambda$ - старший вес неприводимого представления $V$;
• $\varepsilon (w)$ является определяющим фактором действия $w$ о подалгебре Картана ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$. Это равно $(-1)^{\ell (w)}$, где $\ell (w)$ — длина элемента группы Вейля , определяемая как минимальное число отражений относительно простых корней таких, что $w$ равно продукту этих отражений.

Обсуждение

Используя формулу знаменателя Вейля (описанную ниже), формулу характера можно переписать как

$\operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}$,

или, что то же самое,

$\operatorname {ch} _{\pi }(H){\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}=\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}.$

Персонаж сам по себе представляет собой большую сумму экспонент. В этом последнем выражении мы затем умножаем символ на попеременную сумму экспонент, что, по-видимому, приведет к еще большей сумме экспонент. Удивительная часть формулы символов заключается в том, что когда мы вычисляем это произведение, на самом деле остается лишь небольшое количество членов. Гораздо больше членов встречаются хотя бы один раз в произведении характера и знаменателя Вейля, но большинство из этих членов сокращаются до нуля. Выживают только те термины, которые встречаются только один раз, а именно: $e^{(\lambda +\rho )(H)}$ (который получается путем взятия максимального веса из $\operatorname {ch} _{\pi }$ и старший вес из знаменателя Вейля) и вещи на орбите группы Вейля $e^{(\lambda +\rho )(H)}$.

Компактные группы Ли

Позволять $K$ — компактная связная группа Ли и пусть $T$ быть максимальным тором в $K$. Позволять $\Pi$ быть неприводимым представлением $K$. Затем определяем характер $\Pi$ быть функцией

$\mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K.$

Легко увидеть, что символ является функцией класса на $K$ а теорема Питера – Вейля утверждает, что характеры образуют ортонормированный базис пространства интегрируемых с квадратом классовых функций на $K$.

С $\mathrm {X}$ является функцией класса, она определяется ее ограничением на $T$. Теперь для $H$ в алгебре Ли ${\mathfrak {t}}$ из $T$, у нас есть

$\operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))=\operatorname {trace} (e^{\pi (H)})$,

где $\pi$ является ассоциированным представлением алгебры Ли ${\mathfrak {k}}$ из $K$. Таким образом, функция $H\mapsto \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))$ это просто характер соответствующего представления $\pi$ из ${\mathfrak {k}}$, как описано в предыдущем подразделе. Ограничение характера $\Pi$ к $T$ тогда задается той же формулой, что и в случае алгебры Ли:

$\mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}.$

Вейля Доказательство формулы характера в ситуации компактной группы полностью отличается от алгебраического доказательства формулы характера в ситуации полупростых алгебр Ли. В случае компактной группы обычно используются «действительные корни» и «действительные веса», которые различаются в разы. $i$ от корней и весов, использованных здесь. Таким образом, формула в случае компактной группы имеет множители $i$ в показателе повсюду.

Случай SU(2)

В случае группы SU(2) рассмотрим неприводимое представление размерности $m+1$. Если мы возьмем $T$ чтобы быть диагональной подгруппой SU(2), формула характера в этом случае читается как

$\mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.$

(И числитель, и знаменатель в формуле характера имеют два члена.) В этом случае поучительно проверить эту формулу непосредственно, чтобы мы могли наблюдать явление сокращения, неявное в формуле характера Вейля.

Поскольку представления известны очень явно, характер представления можно записать как

$\mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.$

Знаменатель Вейля, между тем, представляет собой просто функцию $e^{i\theta }-e^{-i\theta }$. Умножение символа на знаменатель Вейля дает

$\mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=\left(e^{i(m+1)\theta }+e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }\right)-\left(e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }+e^{-i(m+1)\theta }\right).$

Теперь мы можем легко убедиться, что большинство членов сокращаются между двумя членами в правой части выше, оставляя нам только

$\mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }$

так что

$\mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.$

Символом в данном случае является геометрический ряд с $R=e^{2i\theta }$ и этот предыдущий аргумент представляет собой небольшой вариант стандартного вывода формулы суммы конечной геометрической прогрессии.

Формула знаменателя Вейля

В частном случае тривиального одномерного представления характер равен 1, поэтому формула характера Вейля становится формулой знаменателя Вейля :

${\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}=\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}.$

Для специальных унитарных групп это эквивалентно выражению

$\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,X_{1}^{\sigma (1)-1}\cdots X_{n}^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})$

для определителя Вандермонда .

Формула размерности Вейля

Оценивая персонажа по $H=0$, формула характера Вейля дает формулу размерности Вейля

$\dim(V_{\lambda })={\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\rho ,\alpha )}$

для измеренияконечномерного представления $V_{\lambda }$ с наибольшим весом $\lambda$. (Как обычно, ρ — это половина суммы положительных корней и произведений, пробегающих положительные корни α.) Специализация не совсем тривиальна, поскольку обачислитель и знаменатель формулы характера Вейля обращаются в нуль в высоком порядке в единице, поэтому необходимо взять предел следа элемента, стремящегося к единице, используя версию правила Лопиталя . Например, в описанном выше случае SU(2) мы можем восстановить размерность $m+1$ представления, используя правило Лопиталя для оценки предела как $\theta$ стремится к нулю $\sin((m+1)\theta )/\sin \theta$.

В качестве примера мы можем рассмотреть комплексную полупростую алгебру Ли sl(3, C ) или, что то же самое, компактную группу SU(3). В этом случае представления помечаются парой $(m_{1},m_{2})$ неотрицательных целых чисел. В этом случае имеется три положительных корня и нетрудно проверить, что формула размерности принимает явный вид

$\dim(V_{m_{1},m_{2}})={\frac {1}{2}}(m_{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1}+m_{2}+2)$

Дело $m_{1}=1,\,m_{2}=0$ является стандартным представлением, и действительно, формула измерения в этом случае дает значение 3.

Формула постоянной кратности

Основная статья: Функция раздела Костанта

Формула характера Вейля определяет характер каждого представления как частное, где числитель и знаменатель представляют собой конечную линейную комбинацию экспонент. Хотя эта формула в принципе определяет характер, не особенно очевидно, как можно явно вычислить это частное как конечную сумму экспонент. Уже в описанном выше случае SU(2) не сразу очевидно, как перейти от формулы характера Вейля, которая дает характер как $\sin((m+1)\theta )/\sin \theta$ вернемся к формуле характера как суммы экспонент:

$e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.$

В этом случае, возможно, не так уж и сложно распознать выражение $\sin((m+1)\theta )/\sin \theta$ как сумма конечной геометрической прогрессии, но вообще нам нужна более систематическая процедура.

В общем, процесс деления можно выполнить, вычислив формальную величину, обратную знаменателю Вейля, а затем умножив числитель в формуле характера Вейля на эту формальную обратную величину. Результат дает характер как конечную сумму экспонент. Коэффициентами этого разложения являются размерности весовых пространств, то есть кратности весов. Таким образом, мы получаем из формулы характера Вейля формулу для кратностей весов, известную как формула кратности Костанта . Альтернативная формула, которая в некоторых случаях более удобна в вычислительном отношении, приведена в следующем разделе.

Формула Фрейденталя

Формула Ганса Фрейденталя представляет собой рекурсивную формулу для кратностей весов, которая дает тот же ответ, что и формула кратности Костанта, но иногдаего легче использовать для вычислений, поскольку суммировать можно гораздо меньше членов. Формула основана на использовании элемента Казимира , и ее вывод не зависит от формулы символа. В нем говорится

$(\|\Lambda +\rho \|^{2}-\|\lambda +\rho \|^{2})m_{\Lambda }(\lambda )=2\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )m_{\Lambda }(\lambda +j\alpha )$

где

• Λ – старший вес,
• λ — какой-то другой вес,
• m _Λ (λ) – кратность веса λ в неприводимом представлении V _Λ
• ρ — вектор Вейля
• Первая сумма ведется по всем положительным корням α.

Формула характера Вейля – Каца

Формула характера Вейля также справедлива для интегрируемых со старшим весом представлений алгебр Каца–Муди , когда она известна как формула характера Вейля–Каца . Аналогичным образом существует тождество знаменателя для алгебр Каца–Муди, которое в случае аффинных алгебр Ли эквивалентно тождеству Макдональда . В простейшем случае аффинной алгебры Ли типа это _A1 тождество произведения Якоби тройного

$\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.$

Формула характера также может быть расширена до интегрируемых представлений со старшим весом обобщенных алгебр Каца – Муди , когда характер задается формулой

${\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.$

Здесь S — поправочный член, заданный через мнимые простые корни формулой

$S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}\,$

где сумма пробегает все конечные подмножества I мнимых простых корней, попарно ортогональных и ортогональных старшему весу λ, и |I| — мощность I, а Σ — сумма элементов I. I

Формула знаменателя монструозной алгебры Ли представляет собой формулу произведения

$j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}$

для эллиптической модулярной функции j .

Петерсон дал рекуррентную формулу для кратностей mult(β) корней β симметризуемой (обобщенной) алгебры Каца – Муди, которая эквивалентна формуле знаменателя Вейля – Каца, но ее легче использовать для вычислений:

$(\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }c_{\delta }\,$

где сумма ведется по положительным корням γ, δ и

$c_{\beta }=\sum _{n\geq 1}{\operatorname {mult} (\beta /n) \over n}.$

Формула характера Хариш-Чандры

Хариш-Чандра показал, что формула характера Вейля допускает обобщение на представления реальной редуктивной группы . Предполагать $\pi$ является неприводимым допустимым представлением вещественной редуктивной группы G с бесконечно малым характером. $\lambda$. Позволять $\Theta _{\pi }$ быть Хариш-Чандры персонажем $\pi$; оно определяется интегрированием по аналитической функции на регулярном множестве. Если H — подгруппа Картана в G и H' — множество регулярных элементов в H, то

$\Theta _{\pi }|_{H'}={\sum _{w\in W/W_{\lambda }}a_{w}e^{w\lambda } \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.$

Здесь

• W — комплексная группа Вейля $H_{\mathbb {C} }$ относительно $G_{\mathbb {C} }$
• $W_{\lambda }$ является стабилизатором $\lambda$ в Вт

а остальные обозначения такие же, как указано выше.

Коэффициенты $a_{w}$ до сих пор недостаточно поняты. Результаты по этим коэффициентам можно найти, среди прочего, в статьях Херба , Адамса, Шмида и Шмид-Вилонена.

См. также

• Теория персонажей
• Алгебраический характер
• Формула характера Демазюра
• Формула интегрирования Вейля
• Kirillov character formula

Ссылки

• Фултон, Уильям и Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN   0387974954 . ОСЛК 22861245.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90053-7 .
• Infinite dimensional Lie algebras , V. G. Kac, ISBN   0-521-37215-1
• Дункан Дж. Мелвилл (2001) [1994], «Формула характера Вейля – Каца» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Вейль, Герман (1925), «Теория представления непрерывных полупростых групп линейными преобразованиями. I», Mathematical Journal , 23 , Springer Berlin/Heidelberg: 271–309, doi : 10.1007/BF01506234 , ISSN   0025-5874 , S2CID   123145812
• Вейль, Герман (1926a), «Теория представления непрерывных полупростых групп линейными преобразованиями. II», Mathematical Journal , 24 , Springer Berlin/Heidelberg: 328–376, doi : 10.1007/BF01216788 , ISSN   0025-5874 , S2CID   186229448
• Вейль, Герман (1926b), «Теория представления непрерывных полупростых групп линейными преобразованиями. III», Mathematical Journal , 24 , Springer Berlin/Heidelberg: 377–395, doi : 10.1007/BF01216789 , ISSN   0025-5874 , S2CID   186232780